不等式中的一对姐妹花

若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有（1/b＋c -a）1/c＋a-b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3当且仅当a=b=c=1/3时取等号。     

一对优雅的姊妹不等式

本文给出一对优雅的姊妹不等式． 定理若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式： 若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有 （1/b＋c -a） （1/c＋a -b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3     

关于“一个不等式的推广”的失误与纠正

文 [1 ]把关于正数组ｘｉ,ｙｉ 的不等式 [2 ]∑ｎｉ=1ｘ2 ｉｙｉ ≥(∑ｎｉ=1ｘｉ) 2∑ｎｉ=1ｙｉ(1 )推广为 :设ａｉ,ｂｉ ∈Ｒ ,(ｉ =1 ,2 ,… ,ｎ) ,且ａ1 ａ2 … ａｎ =ｋ ,ｂ1 ｂ2 … ｂｎ =ｐ ,则∑ｎｉ=1ａｍｉｂｉ ≥ ｎ2 -ｍｋｍｐ .(｜ｍ｜≥ 1 ) (2 )事实上 ,以上不等式 (1 )即柯西不等式的一个变形 ,而推广不等式 (2 )并不成立 .我们试举以下反例 :于式 (2 )取ｍ =1 ,ｎ=2 ,ａ1 =4,ａ2 =1 ,ｂ1= 2 ,ｂ2 =1 ,式 (2 )左边 =3 <式 (2 )右边 =1 0 /3,可知不等式 (2 )不真 .那么原文在证明推广不等式 (2 )时问题出在哪里 ?我们…     

一道不等式试题的再推广

题目（美国大学生竞赛试题）给定正数a，b，c，d，证明：     

一个不等式的推广

文 [1]提出了一个对称不等式 :已知ｘ ,ｙ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ =1,则　　　 2 <(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ)≤ 94 (1)这个不等式自然使人想到三个变量的情形 .本文用微分法证明 (1)的一个推广 :已知ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ+,且ｘ + ｙ +ｚ =1,则(1ｘ -ｘ) (1ｙ - ｙ) (1ｚ-ｚ)≥ (83) 3(2 )证　由对称性 ,不妨设ｘ≤ｙ≤ｚ ,则 0 <ｘ + ｙ≤23,13≤ｚ <1,0 <ｘｙ≤ 19.由ｘ + ｙ +ｚ =1得ｚ =1-ｘ - ｙ ,代入 (2 ) ,整理得2 7(1-ｘ2 ) (1- ｙ2 ) (2 -ｘ - ｙ) (ｘ + ｙ)≥ 5 12ｘｙ·(1-ｘ - ｙ) ,两边取对数 ,欲证之式等价于ｆ(ｘ ,ｙ) =ｌｎ2 7-ｌｎ5 12 +ｌ…     

一道不等式的证明及推广

题 :已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+且ａ +ｂ+ｃ =1求证　(ａ+1ａ) (ｂ+1ｂ) (ｃ+1ｃ) ≥1 0 0 02 7①分析　证明此题的关键在三个方面 :(1 )等号何时成立 :(2 )怎样拆项 ;(3 )会用平均值不等式 .易知ａ=ｂ =ｃ=13 时①取等号 ,①等价于 (3ａ+3ａ) (3ｂ+3ｂ) (3ｃ+3ｃ) ≥ 1 0 0 0 .将 3ａ +3ａ 拆成 3ａ与 9个 13ａ的和 ,这样拆的目的使 3ａ与 13ａ在ａ =13 时取等号 ,3ｂ +3ｂ 与3ｃ+3ｃ 同理 ,再用平均值不等式 ,问题便迎刃而解 .证明　因为 (3ａ+3ａ) (3ｂ+3ｂ) (3ｃ+3ｃ)= (3ａ +13ａ+… +13ａ9个) (3ｂ+13ｂ+… +13ｂ9个)· (3ｃ+13ｃ+… +13ｃ9…     

一个不等式的再证与推广

已知ａ>13,ｂ>13,ａｂ=29,求证ａ ｂ<1 ,文 [1 ]采取构造二次方程来证明此不等式 ,文 [2 ]又给出了一个更为简捷的证法 ,的确是三言两语便说明了问题 .但要说证法最优 ,倒很难判定 :什么叫“最”优证法 ?有独一无二的“最”优证法吗 ?现将上面的题目稍加推广 :已知　ａ1 >14,ａ2 >14,ａ3>14;ａ1 ａ2 ａ3=24 3.求证　ａ1 ａ2 ａ3<1 .要用文 [1 ]、[2 ]的证法给予证明便行不通了 ,可见 ,这两种证法都有局限性 ,适用范围不广 .另外 ,文 [1 ]在构造二次方程ｘ2 -ｔｘ 29=0中 ,还可由判别式Δ=ｔ2 - 89≥ 0 ,得到不等式　ｔ=ａ ｂ≥2 23.当然…     

一道不等式的推广及证明

文[1]中给出了如下两个不等式及证明:1.设a1,a2,…,am均为正数,且a1 +a2+…+am=ms0,则(a1+1+a1)a+(a2+1/a2)a+…+(am+1/am)a≥m (s0+1/s0)a (m,a∈N*,m≥2)① 2.设a1,a2,…,am均为正数,且a1+a2+…+ am=ms0,若s0≤s≤1或1≤s≤s0,则(a1+1/a1)a+(a2+1/a2)a+…+(am+1/am)a≥m(s+1/s)a(m,a∈N*,m≥2) ②笔者认为当a是大于等于1的实数时,上述不等式也是成立的.     

一个不等式的加强及其推广

笔者在翻阅文[1]时,看到如下问题问题1已知x12 x22 … x2100=300,求证:x1 x2 … x100≤200.文[1]指出,可以构造多项式x2-2x 1=(x-1)2≥0进行证明.读完文[1],笔者就想,既然可以构造(x-1)2≥0和(x-3)2≥0来进行证明,那么用其他形如(x-a)2≥0的表达式进行证明行吗?经过试验可知,取a=12时达不到目的,只能得出i1∑=001xi≤325;而当取a=2时,得到了不等式∑100i=1xi≤7400<200,这不仅证明了问题1,而且还把所要证明的不等式∑100i=1xi≤200进一步加强为∑100i=1xi≤7400.因此,我们有理由猜想,在所有不等式1∑00i=1xi≤Bt中,只要选择适当的a,利用(x-…     

一个加强不等式的推广

文[1]将法国Mohammed Aassila教授提出的不等式     

一个不等式的推广及猜想

在浏览《中国不等式研究小组》(http://old.irgoc.org/)网站时,发现杨路教授应用通用软件Bottema给出了以下不等式的一个机器证明:     

谈一类不等式的证明思路

有一类不等式,其条件都是三个正数乘积为1.该类不等式的证明技巧强,难度较大,因此本文特介绍它的三种证明思路,以供参考.思路1直接运用条件例1已知a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,求证2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.证明设t=a+b+cf(t)=2t+3/t,∵a＞0,b＞0,c＞0,abc=1,∴t=a+b+c≥3√abc=3,∵f'(t)=2-3/t2=(2t2-3)/t2,∴.当t＞3时,f＇(t)＞0,∴函数f(t)在[3,+∞)上为增函数,∴f(t)≥f(3)=7,故有2(a+b+c)+3/(a+b+c)≥7.点评三元均值不等式在例1中起到了沟通已知与未知的桥梁作用,也使得直接运用条件“a＞0,b＞0,c＞0,abc=1”的目的得以达成.     

两道不等式的探究与推广

近日,看到文[1]中利用不等式的方法解决了一道求最小值的问题,作者的解法引起了我的遐想,正如牛顿所说"没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现".下面将该题目改换一下形式,谈谈自己的点滴想法,希望能和大家共勉.     

两个不等式的三角证法及其推广

在一些刊物上 ,常讨论下述不等式 :设a >1,b>1,c>1,则a3b2 - 1+ b3c2 - 1+ c3a2 - 1≥ 92 3(1)a5b2 - 1+ b5c2 - 1+ c5a2 - 1≥2 56 15 (2 )本文就这两个不等式给出统一的三角证法 ,并给以推广 .首先给出下面引理 .引理　若θ∈ 0 ,π2 ,k是正整数 ,则sin2 θ·cos2k - 1θ≤ 2 (2k - 1) 2k - 1(2k + 1) 2k +1.当且仅当secθ =2k + 12k - 1时 ,等号成立 .证　由均值不等式得 :(2k - 1) (sin2 θ +cos2 θ) =(2k - 1)sin2 θ2 +(2k - 1)sin2 θ2 +cos2 θ+cos2 θ +… +cos2 θ(2k - 1)项≥ (2k +1)·2k + 1(2k - 1) 24 (sin2 θ·cos2k - 1…     

一个不等式猜想的推广及证明

在文 [1]中 ,宋庆、宋光在证明下面两个不等式 :若ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,则(ａ ｂ) (1ａ 1ｂ)≥ 4 4 (4 ｂａ -4 ａｂ) 2 (1)(ａ ｂ ｃ) (1ａ 1ｂ 1ｃ)≥ 9 6 [(6ｃｂ -6ｂｃ) 2 (6ａｃ -6ｃａ) 2 (6ｂａ -6ａｂ) 2 ](2 )后 ,提出了下面的猜想 :若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,2 ,… ,ｎ) ,则 ｎｋ =1 ａｋ ｎｋ =11ａｋ≥ｎ2 2ｎ 1≤ｉ <ｊ≤ｎ(2ｎ ａｊａｉ-2ｎ ａｉａｊ) 2(3)并作注 :采用上述“步步为营”的方法 ,可繁笨地证明ｎ =4,5等时 (3)式正确 .下面我们将不等式 (3)进行推广 ,得到了比不等式 (3)更强的结果 .定理 1　若ａｋ∈Ｒ (ｋ=1,…     

关于一对不等式的推广

文[1]证明了一对有趣的不等式:设a,b,c为正数,且a b c=1,则有(b1 c-a)(c 1a-b)(a1 b-c)≥(67)3,(b1 c a)(c 1a b)(a1 b c)≥(161)3.为了推广这两个不等式,文[1]提出下面四个命题,要求证明或否定之.设a1,a2,…,an为正数且其和为1.命题1∏ni=1(ai 1ai 1-ai 2)≥(2n-1n)n.命题2∏ni=1(ai 1ai 1 ai 2)≥(2n 1n)n.命题3∏n-1i=0(∑K1j=1ai j-∑nj=k 1ai j)≥(kn nk-1)n.命题4∏n-1i=0(∑K1j=1ai j ∑nj=k 1ai j)≥(kn-nk 1)n.其中an i=ai(i=1,2,…,n-1),k为小于n的正整数.本文先证明命题3为真,然后对其余三个命题给出反例.令f(x)=ln(1-1x-x),0相似文献