关于“复合型积分因子的存在定理及应用”的一个注记

对“复合型积分因子的存在定理及应用”中给出的微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0复合型积分因子的定义进行剖析,得到了一般性复合型积分因子的定义及其存在的充要条件和计算公式.     

聚焦“高斯函数”的交汇性

十八世纪,函数f（x）=[x]被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数．“高斯函数”,又叫“取整函数”,其定义简洁、内涵丰富、应用灵活,与数论、组合数学息息相关,在离散数学、计算机算法分析、微积分、竞赛数学等领域得到广泛应用．     

为什么要用“ε-N”语言定义数列极限?

数列极限有如下描述性定义。定义1给定数列xn及常数a，若随着n的无限增大，数列的一般项xn，能无限地接近于a，则常数a是数列xn的极限，记作直观地，若以数轴上的对应点表示x，与a，则xn的极限为a表达了当n无限增大时，点xn；无限接近点a。例如：例1数列,即，…当n无限增大时，数列一般项xn在常数1的左右两边无限振荡，而振荡项无限接近O，从而无限接近常数1，因此但是定义1是不清晰的，什么叫“无限增大”，“无限接近”？我们不能确切地或定量地解释这些词的含义，有时也会有认识上的差别。比如一个爱抬扛的人（本文称其为D）会说，lin。…     

例谈函数符号“f”的“穿脱”技巧

探求、讨论函数的有关性质 ,历来都是高考和各级数学竞赛的重点之一 .例如求解函数或反函数的不等式、函数不等式的证明 ,函数周期性的探索等问题 .而解决这类问题的关键就是函数符号“f”的如何“穿脱” ,本文结合具体例子谈一些“f”的“穿脱”技巧与方法 .1　单调性穿脱法利用特殊函数的单调性 ,对函数“f”进行“穿脱” ,从而达到化简的目的 ,使问题获解 .例 1　 (2 0 0 2天津高中质量考试题 )已知f(x)是定义在 [- 1,1]上的奇函数 ,若a ,b∈ [- 1,1],a+b≠ 0时 ,有 f(a) + f(b)a +b >0 ,解不等式 f(x + 12 )相似文献   

“高等数学”教科书中常见的一个问题

<正> 关于周期函数的定义、国内外许多“高等数学”教科中都叙述得不够严密。通常的说如下: 对于的数f(x),如果存在常数T=0,使对f(x)的定义域D(f)之中任一x。     

“姊妹”双曲线辨析

下面的四条双曲线，其方程形式相象：性质又相近，我们称之为“姊妹”双曲线．她们的关系如何呢？让我们辨析一下吧．先看（1）与（2），把方程（1）右边的1换成-1，就可得到（2）．这里，一条双曲线的实轮是另一条双曲线的虚轴，称为共轭双曲线．再看（1）与（3）．把方程（1）中x、y互换，就可得到（3），所以，这两条双曲线关于直线y=x对称．实际上，双曲线（3）可以看作是将双曲线（1）绕着原点旋转90°而得到的，故称为转置双曲线．最后看（1）与（4）．把方程（1）中a、b互换，就可得到（4）．也可以这样进行：把方程（1）中x、y互换…     

此类“抽象函数”竟是“具体函数”

最近办公室里“吵得不可开交”,“罪魁祸首”是下面这道月考题:题1函数f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,对任意的想x,y∈(0,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且f(4)=5.(1)求f(2)的值;(2)解不等式f(m-2)≥3.参考答案:(1)因为f(4)=f(2+2)=2f(x)-1=5,所以f(2)=3.     

对“关于极限的一个定理”一文的意见

《数学通报》1963年11期登载了方国清同志的“关于极限的一个定理”一文(以下简称原文) 原文的“定理”是:设f(x),φ(x)为定义在区间(a, ∞)上的函数,其中φ(x)在区间(b, ∞)上单调增加,且当x→ ∞时φ(x)→∞,那么(如     

关于“指数函数的新定义”一文

颜怀曾同志在“指数函数的一个新定义”一文中(数学通报,1963年7月号)証明了如下結論: 設E(x)是定义在整个数軸上的函数,且滿足下面的关系: 1)E(x+y)=E(x)E(y), 2)■則E(x)是指数函数,卽E(x)=e~x。本文中,我們将給出上面結論的一个新的証明,这个証法比颜怀曾同志的証法要来得簡     

关于反函数问题的解法

近年高考试题把函数知识、函数的思想和函数的方法作为重点内容．“反函数”作为函数的一部分，在高考中也不乏出现．如何顺利地求解高考中的反函数问题，笔者在此谈一点体会．解反函数问题的关键在于从本质上理解反函数的意义．中学代数课本中给出的反函数的意义，仅就由代数式给出的函数来形式地定义，这个定义没有反映出反函数概念的本质属性．按此定义，不能深刻理解反函数的本质，因而造成教学上的难点．在高考总复习中，因学生已具备相当的数学水平，可向学生揭示反函数的本质属性：设记号y＝f（x）表示y是x的函数，定义域为集A，值…     

利用“两边夹”法则解竞赛题

众所周知,若A≥B与B≥A同时成立,则有A=B.利用此“两边夹”法则,可巧妙地解决一些竞赛题. 例1设f(x)是定义在R上的函数,对任意的x∈R,都有f(x 3)≤f(x) 3和f(x 2)≥f(x) 2.设g(x)=f(x)-x. (1)求证:g(x)是周期函数;     

几类关于“不等式成立条件”问题的辨析

许多数学问题 ,往往只是一字之差 ,但审题不严、理解有误 ,则会导致解题错误 ,可谓“差之毫厘 ,谬之千里” .不等式的“能”成立、“恒”成立与“恰”成立问题便是一例 .例 1　已知 f(x)是定义在 (-∞ ,4 ]上的减函数 ,若 f(m -sinx)≤ f 1+2m - 74 +cos2 x对一切实数x恒成立 ,求m的取值范围 .解　由题意可得不等式组m -sinx≤ 4 ,1+2m - 74 +cos2 x≤ 4 ,m -sinx≥ 1+2m - 74 +cos2 x对x∈R恒成立 m≤ 4 +sinx ,1+2m≤2 34-cos2 x ,m - 1+2m≥sinx +cos2 x - 74对x∈R恒成立 m≤ (4+sinx) min,1+2m≤ 2 34-cos2 xmin,m - 1+2m≥sinx +cos2…     

有趣的“倒有心圆锥曲线”

圆锥曲线是高考的热门考点,在教学过程中偶尔遇到有粗心的学生把圆锥曲线方程写倒了,于是我将错就错,意外得到了倒圆,倒椭圆,倒双曲线,进一步得到统一的倒有心圆锥曲线.请看：定义1方程为1/x2＋1/y2=1/r2（r〉0）的轨迹称为倒圆.探究1过x2＋y2=r2上一点的切线分别交坐标轴于S,Q两点,     

关于连续函数导数不存在的定义及分类

一、引言“高等数学”教材中 ,函数导数的不存在性 ,一般仅在给出函数导数存在的定义之后 ,用一两句话带过。如 :同济大学的《高等数学》(第四版 ) ,在第 98页有这样一句话 :“如果极限 (4)不存在 ,就说函数 y=f (x)在点 x0 处不可导 ,如果不可导的原因是由于Δx→ 0时 ,比式 ΔyΔx→∞ ,为了方便起见 ,往往也说函数 y=f(x)在点 x0 处的导数为无穷大。”学生在学习时 ,容易产生这样的疑问 :到底函数不可导是如何定义的 ?它会出现哪些不同的情况 ?不连续必不可导这是大家熟知的 ,本文讨论了连续函数导数的不存在的定义及其分类 ,希望能解答…     

品味立体几何中的“即时定义题”

所谓“即时定义题”就是给出一个新定义，要求学生在短时间内利用这个新定义和已学过的知识解决题目给出的问题．旨在考查学生接受新事物、临场发挥等综合能力和创新能力．下面采撷四道立体几何中的即时定义题并予以深刻剖析，供同学们品读．     

三角形“四心”问题的向量解法探析

在平面向量的复习中。很多学生对向量与三角形的“四心”这类问题不知从何人手．究其原因在于学生对三角形的“四心”定义的理解不深刻·对向量条件转化不娴熟，下面就通常出现的几类问题例析如下．     

数学定理教学的“转识成智”——以初中“垂径定理”起始课为例北大核心

1问题提出重视定理教学“过程”是核心素养培养的必然要求,也获得了中小学数学教师的广泛赞同,但有些“过程”却事与愿违.以初中“垂径定理”的教学为例,很多教师并没有关注到这是“圆”章节的起始定理,直接让学生沿直径翻折圆形纸片,得出圆的轴对称性,并用动态课件验证(环节1);继而形式化分析证明圆的轴对称性,由此得到“垂径定理”(环节2).     

函数性质中的一对姊妹花——对称性和周期性

我们知道，奇、偶函数具有如下重要性质：“函数f（x）的图象关于原点（0，0）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）＋f（-x）=0成立”；“函数f（x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）-f（-x）=0成立”．函数的奇偶性是函数对称性的最基本、最特殊的体现，现将其推广．     

有趣的“倒有心圆锥曲线”

<正>圆锥曲线是高考的热门考点,在教学过程中偶尔遇到有粗心的学生把圆锥曲线方程写倒了,于是我将错就错,意外得到了倒圆,倒椭圆,倒双曲线,进一步得到统一的倒有心圆锥曲线.请看:定义1方程为1/x2+1/y2=1/r2(r>0)的轨迹称为倒圆.探究1过x2+y2=r2上一点的切线分别交坐标轴于S,Q两点,则矩形OQPS的顶点P     

对教材中“规定”教法之探索

教材中时常看到“我们规定……”的字样，对这些“规定”，教材中的出现形式是比较独特的：既不是定义，也不讲其为公理，更不证其为定理．那么，此类“规定”在教材中的地位如何？教学中如何处理？这是一个很值得探讨的问题．本文谈一点我们的体会，权当引玉之砖．就“规...