圆周向量定积定理

在平面几何中(如图1),我们知道“直径所对的圆周角为直角”.即M为⊙C上的动点,总有MA·MB=0为定值.起点⊙C圆周上的向量称为⊙C的圆周向量.图1图2定理设⊙C的半径为R,其同心圆⊙C′的半径为R′,R>R′,M是⊙C上的动点,AB是⊙C′的任一直径(如图2),那么MA·MB=R2-R′2为定值.证不     

一个命题的再推广

在圆中有结论：如图1,设AB是⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别相交于C、D.则OP2=PC·PD.     

2007年全国高中数学联赛平几题的其它证法

2007年全国高中联赛二试第1题是一道平面几何题:如图,在锐角△ABC中,AB相似文献   

一对几何定理的证明与一类趣题

<正>本文拟证明一对几何定理,并运用其证明一类有趣的几何问题.1.定理及证明定理1如图1,⊙O1与⊙O2内切于点P,过⊙O1上的点A作⊙O2的切点AB,切线为B,设⊙O1与⊙O2的半径分别为R与r,则有AP=     

一道中考题的多种证明和拓展

<正>题目(2016·江西)如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC于点F,交过点C的切线于点D.求证:DC=DP;一、本题的多种证明证法1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

花蝴蝶定理

文[1]介绍了圆中的两个著名定理,即 蝴蝶定理设M是⊙O的弦PQ的中点,过点M另作两弦CD、EF,连结CE、DF依次交弦PQ于点A、B·则1/MA=1/AB.     

发现 归纳 探究 创新——中考压轴题引发的思考

一、中考试题 如图1,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是 ⊙O1和⊙O2的一条外公切线,B、C为切点． (1)求证:AB⊥AC;(2)若R、r分别为 ⊙O1、⊙O2的半径,且R=2r,求AB/AC的值．     

一个结论的推广

有这样一个结论:椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)短轴为AB,M为椭圆上非A,B的点,MA,MB与x轴交于E,F,则OE·OF=a2.笔者对上述结论作了几次推广,得到了椭圆一些有趣的性质.1把短轴AB,长轴CD换成一般的共轭直径,得到如下性质.定理1如图1,AB,CD是椭圆x2a2 y2b2=1(a>b>0)的共轭直径,M为椭圆上非A,B的点,直线MA,MB分别交CD所在直线于E,F,则E,F在O的同侧,且OE·OF=OD2.图1定理1图证设A(acosα,bsinα),则B(-acosα,-bsinα),M(acosβ,bsinβ).由AB,CD共轭有kAB·kCD=-b2a2,又kAB=bsinαacosα,故kCD=-bcosαasinα,CD的方程为y=-bco…     

一道数学奥林匹克问题的简证

《中等数学》08年第3期《数学奥林匹克问题》初220题为:图1如图1,D是△ABC边BC上的点,DBCD=mn,P是AD上的任意一点,过A、P两点作⊙O1、⊙O2,⊙O1与AB、AC分别交于点M、N,⊙O2与AB、AC分别交于点E、F,M与E、N与F均不重合.求证:MNFE..AACB=mn.笔者认为,此题的参考答案,证明较繁.经     

源于课本 触类旁通

<正>习题呈现和解答苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级(上册)有这样一道题:如图1,P是⊙O外一点,直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙O上的点的最短距离,PB是点P到⊙O上的点的最长距离.你能说明理由吗?解先说明PA是点P到⊙O上的点的最短距离.如图2,在⊙O上取一点C(不与点A重合).当点C与点B重合时,PC=PB=PA+AB,故PA相似文献   

端点相连的三条弦的性质

<正>端点相连的三条弦可分为几种情形,下面介绍它们的性质.情形1[1]如图1,AB、AC、AD是⊙O中依次的三条弦,记∠CAD=α、∠BAC=β,则AC·sin(α+β)=AB·sinα+AD·sinβ.证明连接BD、BC、CD,由托勒密定理得AC·BD=AB·CD+AD·BC 1设⊙O的半径为R,显然有     

关于三角形中阿氏圆的有趣结论

我们知道 ,平面上到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是个圆 ,叫做阿波罗尼斯圆 ,简称为阿氏圆 ,这两个定点叫做该阿氏圆的基点 .在不等腰△ ABC中 ,以 B,C为基点 ,比值为 AB∶ AC的阿氏圆叫做边 BC上的阿氏圆 ,记其圆心为 Oa,半径为 Ra,并给边 CA,AB上的阿氏圆以类似的记号 .若∠ A的内角与外角平分线分别交边BC(或延长线 )于 Ta 和 Ta′,则由角平分线的性质知 Ta和 Ta′均在⊙ Oa上 ,且 A也在⊙ Oa上 ,故⊙ Oa 是以 Ta Ta′为直径 ,同时经过 A点的圆 .类似的结论也适用于⊙ Ob 和⊙ Oc.定理 1　任意不等腰△ ABC三边上…     

圆的切线性质在圆锥曲线上的推广

在平面几何里,关于圆的切线有如下结论: 如图1,设AB为⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点C、D.则 (1)OP2=CP·PD; (2)△CPO∽△OPD∽△COD; (3)OP.DC=DO2,CP·CD=CO2; (4)CO2+DO2=CD2. 本文拟将以上结论推广到圆锥曲线.     

三角形的一个外心判定定理及其应用

一、判定定理如图1,若OA=OB=OC,则点O为△ABC的外心.简证以点O为圆心,以OA长为半径画圆,如图2所示,由于OA=OB=OC,因此⊙O必经过A、B、C,即⊙O为△ABC的外接圆,故点O为△ABC的外心.二、应用举例例1(《中学生数学》2007(6)·P8)如图3,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AC=AD=3,BC=2,求对角线BD的长.解由AB=AC=AD知点A为△DBC的外心,延长BA交△ABC的外接圆于E,连DE,由AB∥DC知DE=BC=2,又EB=2AB=2×3=6,     

一道关于切线与直径的试题的多证和拓展

<正>2016年江西省中考数学第18题.如图1,AB是⊙O的直径,点P是弦AC上的一动点(不与A、C重合),过点P作PE⊥AB,垂足为E,射线EP交AC︵于点F,交过点C的切线于点D.(1)求证:DC=DP;(2)略.本文拟对该题进行多种证明,并且把切线变为割线和分裂直径AB为平行且相等的弦拓展该题.一、原中考题的多种证明证明1如图2,延长FE与⊙O交于点G.     

一道中考题的解题思路分析

题目(2011黄石)已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图1,若AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图2,若C是⊙O1外一点,求证:O1C⊥AD;     

角格点一些猜想的统一证明

文 [1 ]给出了文 [2 ]中一些猜想的证明 .在此 ,笔者运用角元形式的塞瓦定理再给出这些猜想统一简捷的证明 .角元形式的塞瓦定理　设 A′,B′,C′分别是△ ABC的三边 BC,CA,AB上的点 ,则三直线 AA′,BB′,CC′共点的充要条件是sin∠ BAA′sin∠ A′AC.sin∠ CBB′sin∠ B′BA.sin∠ ACC′sin∠ C′CB=1 .事实上 ,如图 1 ,由BA′A′C=S△ ABA′S△ AA′C =AB . sin∠ BAA′AC . sin∠ A′AC,CB′B′A=BC . sin∠ CBB′AB . sin∠ B′BA,AC′C′B=AC . sin∠ ACC′BC . sin∠ C′CB.图 1三式相乘 ,再运用…     

初三几何第二学期自测题

一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .△ABC中 ,AB =1 3 ,AC =5 ,BC =1 2 ,则△ABC的外接圆直径为 .2 .圆的半径为 5 ,圆中一条弦的弦心距为 4,那么这条弦长为 .3 .已知⊙O的半径为 5cm ,圆心O到直线AB的距离为 5cm ,那么直线AB与⊙O的位置关系为 .4.正六边形的半径与边心距之比为 .5 .半径为 6cm的圆中 ,长为πcm的弧所对的圆周角为 .6.如图 1所示 ,EF是⊙O的弦 ,P是EF上一点 ,EP =5 ,PF =4,OP =4,则⊙O的直径是 .7.如图 2所示 ,PA是⊙O的切线 ,A为切点 ,PBC是过点O的割线 ,PA =4cm ,PB =2cm ,则⊙O的面积为.8.已知⊙…     

数学问题解答

20 0 4年 7月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 5 0 1　设点O、I、P分别为△ABC的外心、内心和BC边外的旁切圆圆心 ,R和ra分别为外接圆半径和BC边上的旁切圆半径 .AD是高 ,且R=ra,求证点I在OD上 .(辽宁省瓦房店市第二十五中　田　晶　 1 1 63 0 9)证明 　如图 ,设AP交OD于I′,交BC于H ,交⊙O于M .⊙P切BC于E .连结OM、MC、PE .作直径AK ,连结KC .则∠ABC =∠AKC ,∠ADB =∠ACK=90° .于是∠BAD =∠CAK .由点P为旁心知∠BAP=∠CAP .所以∠DAM =∠KAM .又∠KAM =∠OMA ,故OM ∥AD .　　所以 AI′I′M =…     

数学问题解答

2012年8月号问题解答(解答由问题提供人给出)2076已知:在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为E,点M1、M2分别在OC与CO的延长线上,且CM1=OM2,AM1交⊙O于点F1,AM2的延长线交⊙O于点F2,DF1交AB于G1,DF2的延长线交AB的延长线于点G2.