对两个猜想的否定及改进

文[1]对一道高考试题进行了推广和引申,并在文末时提出了以下两个猜想.猜想1若几何体存在内切球,过内切球球心的任意戴面,将几何体分成两个几何体.若这两个几何体的体积分别为V1,V2,表面积分别为S1,S2,截面面积为S,则VV12=SS21--SS.猜想2若几何体存在内切球,过内切球球心的任意截面,将几何体分成两个几何体.若这两个几何体的体积分别为V1,V2,表面积分别为S1,S2,截面面积为S,几何体的体积为V几何体,表面积为S几何体,则VS几几何何体体=S1V-1S或VS几几何何体体=S2V-2S.本文举半球容球这一特例给予否定,我们一起考虑半球容球的情况.…     

特殊四面体的性质

三条棱两两互相垂直的四面体是一种特殊的几何体 ,它具有自己的一些独特性质 .本文介绍该特殊几何体中棱长与高的关系 ;侧面面积与底面面积的关系 ;侧面面积、底面面积以及侧面与底面的夹角之间的关系 ;棱与底面所成三个夹角之间的关系 ;给出该特殊几何体的外接球、内切球的半径公式 .四面体P ABC的三条棱PA ,PB ,PC两两互相垂直 .记PA =a ,PB =b ,PC =c.顶点P到平面ABC的距离为h .△PAB ,△PBC ,△PCA ,△ABC的面积分别为S1,S2 ,S3和S ,该特殊几何体具有如下性质 .性质 1　h- 2 =a- 2 +b- 2 +c- 2 .图 1　性质 1图证　如图 …     

四面体

四面体是最简单的多面体,它具有很多类似于三角形的性质:1.四面体都有外接球和内切球,且R≥3r,其中R为外接球半径,r为内切球半径.2.四面体的体积V=13S全·r,其中S全表示四个面的面积之和,r为内切球半径.3.若四面体的四条高分别为h1,h2,h3,h4,内切球半径为r,则1r=1h1 1h2 1h3 1h     

四面体的内接四面体的体积

若Ai'是四面体A1A2A3A4面上的点，则称四面体A1'A2'A3'A4'为内接四面体．设它们的体积分别为V、V1，则有定理1若A1'与人重合，Ai'在校A4Ai定理2若A'与A4重合，底面△A1A2A3的顶点Ai的对边上点为Ai'，且为了得出更一般的结论，我们首先引入“面积坐标”的概念．即：面积为S的△A1A2A3内一点P，它与Ai的对边构成的三角形面积为Si．记=1，2，3），则称有序实数组（a1，a2，a3）为点P关于△A1A2A3的面积坐标．定理3若A4'与人重合，A4'是Ai对面上的点（i=1，2，3），且它们关于它所在侧面三角形的面积坐标分别为A'（a2，a3，a4）…     

Simpson公式的联想

文 [1 ]、[2 ]所介绍的 Simpson公式是指如下的定理　夹在两平行平面之间的几何体 ,如果被平行于这两个平面的任何平面所截 ,截得的截面面积是截面距底平面高度的不超过三次的多项式函数 ,则此几何体的体积为V=h6( S上 +4 S中 +S下 ) , ( 1 )其中 h是几何体的高 ,S上 、S下 和 S中 分别表示几何体的上、下底面和中截面面积 .( 1 )式很容易利用平行截面面积为已知 ,立体体积的定积分方法得到 .设此立体的底面垂直于 x轴 ,下底面过坐标原点、立体的高为 h,平行于底面的截面面积 S( x)=ax3 +bx2 +cx+d,其中 a,b,c,d为常数 ,则此立体体积V=…     

关于四面体棱切球的一个猜想

文[1]中林祖成先生猜想：设四面体A1A2A3A4存在棱切球,其半径为e,内切球的半径为r,则有r≥√3r (1) 本文将证明上述猜想是正确的．     

河南省暨重庆市(1998)高中数学竞赛试题及解答

一、选择题：（本题满分30分，每小题5分）1．在等差数列｛an｝中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a9－a10的值为（C）2．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作倾角为的弦AB，则△ABF1的面积为（B）．5．一半径为a的半球内切于顶角为90°的圆锥，半球的底面在圆锥的底面内，则V半球：V圆锥等于（A）6．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，对任意x∈R，都有f（x＋4）＝f（x）＋f（2）成立．则f（1998＝（D）．即f（x）是以4为周期的函数．∴f（1998）＝f（499×4＋2）＝f（2）＝0．二、填空题（本题满分30分，…     

“容球旋转体的共性”再探

文[1]、文[2]、文[3]分别给出以下3个定理:定理1在存在内切球的前提下,多面体的体积均等于其表面积与相应内切球半径乘积的三分之一.定理2在存在内切球的前提下,圆柱、圆锥、圆台、球中的任何一个几何体的体积均等于其表面积与相应内切球半径乘积的三分之一.定理3“锥-锥”、“柱-锥”、“柱-台”,“台-台”、“台-锥”型组合旋转体,在存在内切球的前提下,任何一类几何体的体积均等于其表面积与相应内切球半径乘积的三分之一.但定理3未能给出统一证明,篇幅较长,现给出容球旋转体的一般性结论及其证明.定理任意多边形绕其一边旋转一周得到的…     

圆柱、正棱柱和长方体的一个有趣共性

文[1]讨论了“圆柱容球”、“圆台容球”和“圆锥容球”等常见旋转体的一个有趣共性,归纳如下共同性质:球与其外切圆柱、外切圆台、外切圆锥表面积之比等于体积之比.文[2]讨论了“多面体容球”的一个有趣共性,即球与其外切多面体的表面积之比等于体积之比.文[3]讨论了“一类旋转体容球”的一个有趣共性,即圆柱、圆锥及圆台的组合旋转体与其内切球的表面积之比等于体积之比.文[1]、文[2]及文[3]都是讨论几何体与其内切球的性质,笔者思考,若将内切球改为内切椭球,会有怎样的性质呢?本文将讨论圆柱、正棱柱及长方体容球与容椭球的关系,现叙述如…     

利用祖日恒原理时构造半球参照体的若干方法

利用祖日恒原理推证球的体积公式时,我们是先构造一个能够求出体积的几何体,使该几何体和半球都能夹在两个平行面之间,当用平行于这两个平面的任意一个平面去截它们时,截得的截面面积总相等,那么半球与这个所构造的几何体体积相等．这个所构造的几何体我们称之为参照...     

抛物线面积与一类几何体的求积公式

抛物线面积与一类几何体的求积公式刘爱农（湖南冷水江师范４１７５００）怎样求抛物线围成区域的面积？怎样推导出柱、锥、台、球等几何体的统一求积公式？本文用初等方法巧妙地解决了上述两个问题，从而也揭示了两者之间的本质联系．图１一、两抛物线围成区域的面积公式...     

关于多边形共点线的几个猜想的研究

文[1]给出了凸多边形中对角线和主对角线的定义．（编者按：为了规范名称，作为三角形和梯形相关概念的推广，我们称多边形顶点与对这中点连线为中线，两边中点连线为中位线，分布在其两侧顶点数相同的，再加个“主”字．）并提出如下猜想：1．若凸2n＋1边形的2n条主中线都平分其面积，则第2n＋1条亦然，且2n＋1条主中线共点O且被O分成等比的两段．2．若凸Zn边形n条主中位线均平分其面积，则它们共点O且均被O平分．3．若凸Zn边形n条主对角线均平分其面积，则它们共点．本文将证明上述猜想，并给出有关的结果．对文中所涉及的序号遍历性问…     

例说有关球的组合体问题

高考中考查的球的内容常是与几何体结合的组合体,这类组合体也是学生平时学习易错的内容,本文举例分析四类有关球的组合体问题. 第1类四面体 球例1球的内接正四面体内有一内切球,求这两球的表面积之比.     

类比·猜想·证明

平面几何中有一个结论: 在Rt△ABC中,两直角边AC=b,BC= a,斜边AB上的高为h,则1/h2=1/a2 1/b2. 该结论的证明很简单．类比它,在立体几何中有何发现? 我们猜想,在立体几何中,也有类似的一个公式: 在三棱锥V-ABC中,若三条侧棱VA、 VB、VC两两垂直,且长度分别为a、b、C,顶点V到底面ABC的距离VH=h,则1/h2=1/a2 1/b2 1/c2. 注意这只是由类比得到的一个猜想,是否成立还须证明．     

一道课本习题的应用

由立几课本 P1 0 8习题十三的第一题可知 ,正方体截去四个直角后 ,得到一个正四面体 .如图 1 ,若设正方体的棱长为 a,正四面体的棱长为 a′,正方体及正四面体的外接球半径分别为 R、R′,正方体的内切球及正四面体的棱切球半径分别为 r、r′,易知有如下结论 :1正四面体内接于一正方体 ,且 a′=2 a;2 V正四面体 =13V正方体 ;3R =R′;　 4 r =r′.(证明略 )利用上述结论可迅速解决如下各题 :图 1　　　　　　　　图 2例 1　正三棱锥 S- ABC的侧棱与底面边长相等 ,如果 E、F分别为 SC、AB的中点 ,那么异面直线 EF与 SA所成的角等于(　…     

五、多面体与旋转体

A 组一、填空 1.圆柱底面面积为Q,轴截面面积为S,则圆柱的体积为___。 2.矩形边长的比为l:2,以其边为轴旋转一周,则得到的两个圆柱的体积的比为__。 3.正三棱柱的棱长均为a,过底面一边和两底中心连线的中点作截面,则截面面积为__。 4.用平行于底的平面S截圆锥V,①若S把V分为体积相等的两部分,则截得的圆台与小圆锥的高之比为__;②若S把V分为侧面积相等的两部     

类比猜想又一例

<正>在文[1]中邢老师将平面几何中的一个结论:在Rt△ABC中,两直角边AC=b,BC= a,斜边AB上的高为h,则1/h~2=1/a~2+1/b~2.类比猜想得到立体几何中的一个类似结论:在三棱锥V—ABC中,若三条侧棱VA、VB、VC两两垂直,且长度分别为a、b、c,顶点V到底面     

证明球体积公式的又一参照体

众所周知 ,证明球的体积公式时 ,首先是构造一个可求体积的几何体 ,即从一个底面半径和高都等于Ｒ的圆柱中 ,挖去一个以圆柱的上底面为底面 ,下底面圆心为顶点的圆锥后剩下部分所形成的几何体 ,然后证明该几何体与半径为Ｒ的半球符合祖日桓原理的条件 .在证明过程中有个关键的式子 :πＲ2 -πｌ2 (ｌ为任一截面截两个几何体时 ,截面到底面的距离 ) ,若将其变形为 (πＲ2 ) - (πｌ) 2 ,就可以看成是以πＲπｌ为边长的两个正方形的面积差 ,这样我们就能构造出一个参照体———从底面是边长为πＲ的正方形、高为Ｒ的直四棱柱中挖去一个以直四…     

一个猜想的证明及推广

一个猜想的证明及推广４１０００５长沙市一中唐立华文［１］证明了：设ｒ１，ｒ２，ｒ３分别为△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到三边ａ，ｂ，ｃ的距离．则其中ｒ，△分别为△ＡＢＣ的内切国半径和面积；并猜测：对θ≥０，有本文中，我们将证明θ≥１时猜想（３）是成立的，并进一...     

Chartrand问题的若干拓广

记 Ω(G)和π(G)分别为图 G 的全体支撑树和全体悬挂点所成之集.对于子集 S(?)V(G),定义Ω~(S)(G)(?){T∈Ω(G)|π(T)(?)S}.若 G 是赋权图,记Ω_min~(S)(G)为 Ω~(s)(G)中全体最小支撑树所成之集.Chartrand 猜想:若有 T_1,T_2∈Ω(G),其相应的悬挂点数分别为m 和 n,且 m相似文献