2007年江苏高考数学压轴题的巧思妙解

题目 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实数根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根     

与直线方程有关的最值问题

（2006年江苏高考第21题）设数列{an}，{bn}，{Cn}，满足：bn=an-an＋2，Cn=an＋2an＋1＋3an＋2（n=1，2，3，…），证明{an}为等差数列的充分必要条件是{Cn}为等差数列且bn≤bn＋1（n=1，2，3，…）     

等差数列方幂和的统一处理

定理 设数列{αn}是等差数列，sn=α1^m＋α2^m＋…＋αn^m，m∈N^＊，则存在λi∈R（i=2，3，…，m＋1），有g（n）=λm＋1αn^m＋1＋λmαn^m＋…＋λ3αn^3＋λ2αn^2，使{sn-g（n）}为等差数列．     

一个不等式的另一简证

定理 设a1，a2,…，an∈R^＋且a1＋a2＋…＋an=S，k≤0，则有a1^k/S-a1＋a2^k/S-a2＋…an^k/S-an≥Sn^k-1/（n-1）n^k-2,当且仅当a1=a2=…=an时取等号．     

两个题目的内在联系

题1 若实数a，b，c满足2a＋2b=2a＋b,2a＋2b＋2c=2a＋b＋c，则c的最大值是——．     

几类递推式求通项的统一简便方法

有关数列递推式的问题在最近几年的高考中经常见到，已经成为高考命题的一个热点．以下几类递推式：an＋1=Aan＋B，an＋1=Aan＋Bn，an＋1=Aan＋Bq^n，在高考中或在各种资料中已经很常见，本文介绍求解它们的统一简便解法．     

不等式中的一对姐妹花

若a，b，c是正数，且a＋b＋c=1，则有（1/b＋c -a）1/c＋a-b）（1/a＋b -c）≥（7/6）^3当且仅当a=b=c=1/3时取等号。     

一道函数综合题的多角度求解

题目 已知实数s，t满足9^s＋9^t=3^s＋1＋3^t＋1，求u=3^s＋3^t的取值范围．     

数学问题解答

1561 已知函数y=f（x）=ax^2＋bx＋c，其中a〉b≥0〉c，a＋b＋c=0，（1）试证：方程f（x）=-a有实数根，（2）设方程f（x）=-a的两实根为x1，x2，问能保证f（x1＋m）和f（x2＋m）中至少一个为正数的实数m是否存在？若存在，确定m的取值范围。     

类比思想的一则应用

题目如图1，PA切⊙O于A，弦AB、AC交OP于M、N，BC交OP于Q，求证：〈1=〈2→←〈3=〈4． 证明 由题设得〈5=〈B，〈2=〈5＋〈4，〈1=〈B＋〈3， ∴〈1=〈2→←〈B＋〈3=〈5＋〈4→←〈3=〈4．     

构造二次齐次方程解一类解析几何问题

定理若直线Lx＋my＋n=0（n≠0）和曲线Ax^2＋Bxy＋Cy^2＋Dx＋Ey＋F=0有两个交点P，Q，0为坐标原点，则直线OP，OQ上的点均满足方程.     

归纳法阅读材料

有一道数学题，小学生都能明白其义，却难了世人两百多年，到现在还没有证明出来，那就是著名的“哥德巴赫猜想”：“任何一个不小于6的偶数都可以写成两个奇素数（素数又叫质数）之和．”如6=3＋3，8=5＋3，10=5＋5，12=7＋5等等，这个命题简称为“1＋1”．     

用点到直线距离公式解决与函数相关的问题

点P（x，y）到直线Ax＋By＋C=0距离为d=｜Ax＋By＋C｜/√A^2＋B^2,当P（x，y）在函数y=f（x）上时，该公式变为d=｜Ax＋Bf（x）＋C｜/√A^2＋B^2,本文通过引进函数y=f（x），借助该公式解决一些与函数相关的问题．     

关于广义Ramanujan-Nagell方程的一个猜想

设D=3a^2＋1，P=4a^2＋1是奇素数，其中a是正整数．本文证明了：当a〉6．10^18时，方程x^2＋D^m=P^n恰有2组正整数解（x，m，n）=（a，1，1）和（8a^3＋3a，1，3）．     

综合题新编选登

题197 设a1=1，an＋1=2an＋n＋1． （Ⅰ）是否存在常数p，q使{an＋qn＋q}为等比数列？若存在，求出p，q的值，若不存在，说明理由：     

对一道自创题的引申和总结

题目 已知a1＋a2＋a3=4，b1＋b2＋b3=3，且a1，a2，a3，b1，b2，b3均为正数，试求√a1^2＋b1^2＋√a2^2＋b2^2＋√a3^2＋b3^2的最小值。     

三角形中线长度计算面积的公式

如果m，n，p分别是△ABC三边上的中线，那么S△ABC=√（m＋n＋p）（m＋n-p）（m＋p-n）（n＋p-m）/3。推导过程如下：如图1，设ALE，BF，CD是△ABC三边上的中线，O是重心，ALE=m，BF=以，CD=p．     

一道奥赛问题的几种基本解法

第三届北方数学奥林匹克邀请赛有这样一道试题：设△ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋b＋c=3，求f（a，b，c）=a^2＋b^2＋c^2＋4/3abc的最小值．     

一个定理的进一步推广

文[1]给出了一个定理：若f（x）是[a，b]上的增函数，x＋f（x）=m，x＋f^-1（x）=m的两根分别为a，b，则口a＋b=m．     

2011年重庆高考数学文科第15题解法探讨

考题1（2011年重庆文科15题）若实数a,b，c满足2^a＋2^b=2^a＋b，2^a＋2^b＋2^c=2^a＋b＋c，则C的的最大值是______． 考虑到题目的结构特征，不妨采用换元方法做变更处理．