Il profilo alare ad arco di cerchio in flusso transonico continuo senza incidenza

Sunto Nella presente ricerca viene studiato con metodo diretto sul piano odografico il campo aerodinamico attorno a profili alari sottili ad arco di cerchio investiti senza incidenza da una corrente asintoticamente uniforme con numero di Mach M_∞<1. Il problema viene anzitutto formulato in forma analitica nell'ambito delle piccole perturbazioni transoniche effettuando alcune assunzioni atte a renderne possibile una trattazione di prima approssimazione. Esso viene ricondotto ad un particolare problema di valori al contorno con frontiera mobile, di cui si indica un metodo iterativo per la risoluzione. In questo procedimento iterativo interviene in modo essenziale la risoluzione di un altro problema di valori al contorno con frontiera fissa, di cui viene anzitutto data una formulazione variazionale. Succesivamente tale problema con frontiera fissa viene affrontato mediante calcolo numerico col metodo delle differenze finite. Si ottiene così un sistema di equazioni lineari per il quale si adattano i metodi di risoluzione utilizzati usualmente sui calcolatori elettronici.

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Summary In the present paper it is studied, with direct method on the hodograph plane, the aerodynamic field around thin circular arc aurfoils in asymptotically uniform flow with zero incidence and Mach number M_∞<1. The problem is, first of all, analitically formulated within the limits of small transonic perturbation with some assumption apt to make possible a first approximation treatment. Thus it is reduced to a particular boundary values problem with free boundary, for which an iteraction method for the solution is developed. In the iteraction process the solution of an other boundary values problem with fixed boudary occurs, for which it is given a variational formulation. The fixed boundary values problem is numerically treated by means of the finite differences method. Thus it is obtained a linear equations system which can be solved with the methods usually utilized on Computers.

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A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno

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Lavoro effettuato nell'ambito dei Contratti di ricerca della Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche. Esso, in una stesura più estensiva, ha conseguito il premio Rancati 1969 dell'Istituto Lombardo, Accademia di Scienze e Lettere di Milano. Al primo Autore è dovuta la parte aerodinamica del lavoro e l'impostazione della risoluzione del problema matematico che ne consegue; al secondo Autore lo studio del problema con frontiera fissa; al secondo ed al terzo Autore la trattazione numerica del problema stesso.

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Entrata in Redazione il 10 aprile 1970.     

Stability and bifurcations of symmetric periodic orbits

Se un problema Hamiltoniano integrabile non degenere, come si può ottenere dal problema dei due corpi in coordinate rotanti, è perturbato con una funzione potenziale simmetrica rispetto ad un asse, le proprietà di simmetria delle soluzioni consentono di semplificare la ricerca, di orbite periodiche. In tal modo si ottiene un teorema di continuazione delle orbite periodiche che fornisce più informazioni di quello classico. La funzione che descrive la simmetria delle orbite è genericamente una funzione di Morse, e le biforcazioni di orbite periodiche simmetriche possono essere descritte in termini di punti singolari e di valori critici di tale funzione. II problema ristretto dei tre corpi ed il problema del satellite in un potenziale non axisimmetrico sono trattati come esempi. Le stesse biforcazioni possono anche essere descritte come singolarità degeneri della funzione generatrice della trasformazione canonica associata all'applicazione di Poincaré, cioè al trascorrere di un periodo sinodico. In tal modo le proprietà di stabilità lineare delle orbite periodiche, la segnatura dei punti singolari della funzione generatrice e l'andamento qualitativo della funzione di simmetria appaiono correlate tra loro. Ne risulta la possibilità di predire, prima di qualsiasi esperimento numerico, non solo la struttura generica delle biforcazioni delle orbite periodiche simmetriche, ma anche la stabilità di tutte le orbite periodiche coinvolte.     

A minimum principle for an integral equation with mixed boundary conditions

We have considered an integral equation, which describes the dynamic problem of a viscoelastic body and submitted it to a boundary condition with fading memory. It has come out that the solution to this mixed initial-boundary value problem is a strict minimum of a proper class of functional with a weight function and vice versa.

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Sunto è preso in considerazione un problema misto con una condizione al contorno di tipo viscoelastico per un'equazione integrale, che descrive il problema dinamico di un corpo viscoelastico. Si mostra che la soluzione a tale problema rappresenta un minimo per un funzionale bilineare con una funzione peso e viceversa.

     

On the incompressible limit of inviscid compressible fluids

We consider the Euler equations of barotropic inviscid compressible fluids in a bounded domain. It is well known that, as the Mach number goes to zero, the compressible flows approximate the solution of the equations of motion of inviscid, incompressible fluids. Here we discuss, for the boundary case, the different kinds of convergence under various assumptions on the data, in particular the weak convergence in the case of uniformly bounded initial data and the strong convergence in the norm of the data space.

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Sunto Nel presente lavoro consideriamo le equazioni di Eulero per un fluido inviscido comprimibile barotropico in un dominio limitato. è ben noto che, quando il numero di Mach tende a zero, i moti comprimibili approssimano le soluzioni delle equazioni del moto relative ad un fluido inviscido incomprimibile. Qui discutiamo, per il problema al contorno, i diversi tipi di convergenza sotto differenti ipotesi sui dati, in particolare la convergenza debole nel caso di dati iniziali uniformemente limitati e la convergenza forte nella norma dello spazio dei dati.

     

Sulla monogeneità negli spazi di Banach

Summary In assenza di struttura moltiplicativa, la definizione di funzione monogena viene data in questo lavoro basandosi sulla considerazione di una coppia di operatori lineari (uno dei quali coincidente ad es. col differenziale) che mandano 0-forme in 1-forme. Si stabiliscono risultati sull’esistenza delle derivate successive, delle primitive e un teorema integrale di tipo Cauchy. L’equivalenza fra il problema della primitiva e il problema della derivata appare qui dipendere dalla permutabilità dei ruoli degli operatori della coppia.

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Lavoro eseguito nell’ambito del Programma di Ricerca n. 9 del C.N.R.

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Entrata in Redazione il 25 giugno 1970.     

A two phase Stefan problem with flux boundary conditions

We studied a two phase Stefan problem in a infinite plane slab, when the thermal fluxes are assigned on the two limiting planes. We proved existence and uniqueness of the solution upon minimal smoothness assumptions upon the initial and boundary data, and we demonstrated the continuous and monotone dependence of the solution on the data. In sec. 5 we studied in which cases one of the two phases disappears and the asymptotic behavior in the cases in which the two phases exist for all time.

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Riassunto Si studia un problema di Stefan a due fasi in uno strato piano indefinito quando si suppongono assegnati i flussi termici sui piani che delimitano lo strato stesso. Viene dimostrata l’esistenza e l’unicità della soluzione con ipotesi assai generali sui dati iniziali ed al contorno del problema, nonchè la dipendenza continua e monotona della soluzione da tali dati. Si esaminano infine i casi in cui una delle due fasi può sparire ed il comportamento asintotico in caso di permanenza delle due fasi.

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The research was supported in part by the National Science Foundation contract G1 15724 and the NATO Senior Fellowship program.

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Entrata in Redazione il 14 settembre 1970.     

The quasi-static problem for an electromagnetic conductor

Viene studiato il problema quasi-statico per un sistema elettromagnetico con una condizione al contorno dissipativa e con memoria. Si dimostra che se il nucleo di memoria soddisfa un'opportuna restrizione, traduzione in termini analitici della dissipatività locale della frontiera, allora il problema quasi-statico ammette una ed una sola soluzione debole.     

Proprietà spettrali di una classe di operatori quasi ellittici

Riassunto In questo lavoro ci occupiamo di problemi al contorno per una classe di operatori lineari quasi ellittici del tipoA+σ, dove σ è una perturbazione assegnata; proviamo che l'operatore associato al problema è di Fredholm con indice zero e studiamo le proprietà spettrali dell'operatore associato al problema con condizioni al contorno omogenee.

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Summary In this paper we study boundary value problems for linear quasi elliptic (A+σ)-type operators, where σ is an assigned perturbation; we prove that the related operator is a Fredholm operator whose index is zero. Then we study spectral properties of the operator related to the problem with homogeneous boundary conditions.

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Lavoro eseguito nell'Istituto di Scienze dell'Informazione dell'Università di Salerno, nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C.N.R.     

On the uniqueness of the solution of a unified formulation for the boundary conditions in the Dam problem

We study a free boundary problem corresponding to a model for the Dam problem with generalized boundary conditions. Concentrating ourselves on a two dimensional example, we establish various properties of the solution, study the regularity of the free boundary and prove the uniqueness of the solution.

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Sunto Studiamo un problema di frontiera libero corrispondente al modello relativo al problema della diga con condizioni al contorno generalizzate. Concentrandoci su di un esempio in due dimensioni, stabiliamo varie proprietà della soluzione, studiamo la regolarità della frontiera libera e proviamo l’unicità della soluzione.

     

Sul problema di Picard in ipotesi di Carathéodory

Sunto Viene studiato il problema di Picard per una equazione differenziale del secondo ordine di tipo iperbolico in due variabili, stabilendo, in ipotesi del tipo di Carathéodory e con dati al contorno assolutamente continui, dei teoremi di esistenza. La tecnica seguita per tale studio richiede la dimostrazione di alcuni criteri di compatezza rispetto alla convergenza quasi uniforme del tipo semiregolare nonchè di alcuni risultati concernenti la dipendenza da un parametro della soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Vengono anche utilizzati dei nuovi risultati sulla derivazione sotto il segno d’integrale recentemente stabiliti, altrove, dall’Autore.

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Summary The Picard problem for a second order partial differential equation of hyperbolic type in two variables is studied. Existence theorems are established under rather mild assumptions of Carathéodory type on the data. The technique used requires some compactness criteria with respect to a certain type of convergence, as well as some results, not be found in the current literature, about ordinary d.e. depending on a parameter and Leibnitz rule for derivation of an integral.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di ricerca matematica del C.N.R.     

Principi variazionali nella teoria lineare delle miscele di due solidi elastici

Riassunto In questa nota gli Autori stabiliscono dei principi variazionali che caratterizzano in maniera completa il più generale problema ai limiti sia della statica sia della dinamica di una miscela isotropa di due solidi elastici lineari. Questi principi sono del tutto generali poichè non si richiede agli stati o processi ammissibili di soddisfare ad alcuna delle equazioni di campo e delle condizioni iniziali o al contorno. Tale risultato viene ottenuto esprimendo i problemi considerati in forma operazionale.

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Summary In this paper the Authors establish variational principles which characterize the most general boundary-value problem for statics and dynamics of an isotropic mixture of two linear elastic solids. These principles are completely general because the admissible states or processes are not required to meet any of the field equations, boundary or initial conditions and they are obtained by expressing the problems in operator form.

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Il lavoro è stato eseguito nell’ambito del Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica del C.N.R.     

Theorems of continuous dependence in elasticity for exterior domains

Nel presente lavoro si dimostrano alcuni teoremi di dipendenza continua in elasticità per il problema dei piccoli spostamenti sovrapposti ad una deformazione finita. Si suppone che il corpo elastico occupi un dominio esterno dello spazio fisico. I teoremi vengono stabiliti con il metodo della «funzione peso».     

The Dirichlet problem for the wave equation

Summary We consider a vibrating string fixed at the ends for which the position is known at two different times. This corrisponds to a classical not well posed problem, theDirichlet problem for the wave equation, which we reconsider here in order to determine under what conditions it is possible to obtain useful information about the physical phenomenon. This problem is related to a functional equation from which the principal results can be deduced.

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Sunto Si riesamina un classico esempio di problema ? non ben posto ?, il problema diDirichlet corrispondente al modello fisico di una corda vibrante, fissa agli estremi e assumente posizioni note in due diversi istanti. Lo studio relativo all'esistenza ed unicità della soluzione è ricondotto a quello di una equazione funzionale ed è strettamente connesso a questioni di teoria dei numeri. Si esamina poi la dipendenza della soluzione dai dati e si discute il problema dal punto di vista delle sue applicazioni.

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This research was supported in part by the United States Air Force under contract No. AF 49 (638) 228 monitored by the Office of Scientific Research, Air Research and Development Command.     

Alcuni risultati nella dinamica dei solidi elastici inestensibili

Riassunto In questa nota gli Autori dapprima formulano un problema ai limiti di tipo misto molto generale per la dinamica dei solidi elastici inestensibili in una data direzione e stabiliscono per tale problema un teorema di unicità della soluzione relativamente a domini sia limitati che illimitati. In secondo luogo prendono in considerazione il problema ai limiti relativo al solo spostamento ed anche per esso ottengono un teorema di unicità della soluzione. Infine stabiliscono un teorema di reciprocità valido per domini limitati e illimitati.

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Summary In this paper the Authors first formulate a very general mixed boundary-value problem for dynamics of inextensible elastic solids and they establish for this problem a theorem of uniqueness of solution in bounded and unbounded domains. Then they consider displacement boundary-value problem for which they obtain another theorem of uniqueness of solution. At last the Authors establish a reciprocal theorem for bounded and unbounded domains.

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Il lavoro è stato eseguito mentre il secondo Autore usufruiva di una Borsa di Studio C.N.R.     

Sul problema unidimensionale non lineare di Stefan in uno strato piano indefinito

Sunto Considerato un processo unidimensionale di cambiamento di fase in un mezzo occupante uno strato piano indefinito di spessore finito, supposte le caratteristiche fisiche delle due fasi e il calore latente funzioni della temperatura, si dimostra l'esistenza di una sola soluzione per il problema al contorno connesso col problema diStefan non lineare in esame. A Giovanni Sansone nel suo 70^mo compleanno.     

Proprieta delle soluzioni di una particolare equazione integrale

Sunto. Nella presente Memoria ho considerato un'equazione integrale che ha origine dallo studio della popolazione totale d'un territorio. Considerata come incognita il numero dei nati, si ha un'equazione integrale di prima specie, con entrambi i limiti variabili, la cui risoluzione si riconduce a quella di un'equazione integrale diVolterra di seconda specie. Ho mostrato che il problema ammette infinite soluzioni, fra loro asintotiche (1).     

On the principle of exchange of stabilities in Rayleigh-Bénard convection,II-No-slip Boundary conditions

Rayleigh-Bénard convection with internal heat sources and a variable gravity field is treated with no-slip boundary conditions. It is proved that the principle of exchange of stabilities holds at all Prandtl numbers, as long as the gravity field and the integral of the heat sources both have the same sign. The proof is based on the idea of a positive operator, and uses the positivity properties of Green's function. The generalized Green's function is also employed.

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Sunto La convezione di Rayleigh-Benard con sorgenti interne di calore ed un campo di gravità variabile è trattato con condizioni di aderenza al bordo. è provato che il principio di scambio di stabilità vale per tutti i numeri di Prandtl, fintanto che il campo gravitazionale e l'integrale delle sorgenti di calore abbiano lo stesso segno. La dimostrazione è basata sull'idea di un operatore positvo, ed usa le proprietà di positività della funzione di Green. La funzione generalizzata di Green è anche usata.

     

Remarks on the analyticity of the free boundary for the one-dimensional Stefan problem

Sunto Si dimostra che nel problema di Stefan (con una o due fasi) nelle variabili x(-,+) e t0il contorno libero è una funzione analitica di t ^1/2 per t0,se il dato iniziale è assunto in una classe di fungioni intere. I coefficienti dello sviluppo del contorno libero in serie di poterne di t^1/2 sono determinati mediante formule ricorrenti. Un particolare esame è svolto per il caso in cui non c'è raccordo tra il dato iniziale e quello sul contorno libero, dimostrando l'esistenza di soluzioni dotate di contorno analitico, sotto opportune limitazioni sul salto tra i due dati; sono peró messi in evidenza anche casi in cui il problema non ammette soluzioni. Infine una breve analisi è svolta per i problemi in domini limitati, fornendo una dimostrazione della analiticità del contorno libero rispetto a t per t>0,alternativa a quella di [1].

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Work partially supported by the Italian CNR, while the first of the Authors was visiting the Mathematical Institute «U. Dini» of the University of Florence.     

Sul problema di Dirichlet per l'equazione del calore

Sunto Nella presente nota dimostriamo alcuni criteri di regolarità dei punti di frontiera per il primo problema di valori al contorno relativo all'equazione del calore. Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.A.F.A. del C.N.R. Entrata in Redazione l'8 marzo 1973.     

Su un problema di frontiera libera connesso a questioni di idraulica

Sunto Si dimostra esistenza e unicità della soluzione di un problema di frontiera libera che traduce il moto di filtrazione di liquidi attraverso mezzi porosi. Il problema è ricondotto alla minimizzazione di un funzionale quadratico su un convesso chiuso di uno spazio di Hilbert, il che fornisce anche dei procedimenti per l'approssimazione numerica del problema stesso. Entrata in Redazione il 16 dicembre 1971. Indirizzo dell'autore:C. Baiocchi, Istituto di Matematica, Università, Pavia. Questo lavoro è stato eseguito nell'ambito delle attività del Laboratorio di Analisi Numerica del C.N.R. di Pavia; i risultati qui ottenuti sono stati annunciati in una nota preventiva sui C. R. Acad. Sc. Paris, t. 273, pp. 1215–1217.