三维热传导方程的高精度有限差分方法

提出了数值求解三维热传导方程的一个四阶精度的有限差分格式,首先对三个空间方向上的二阶导数项,采用四次样条函数来近似,从而得到半离散的常微分方程.然后利用常微分方程的解析解表达式,时间矩阵利用Padé近似,得到时间和空间均为四阶精度的差分格式.最后利用方法计算了两个数值算例,并与文献中结果进行了对比,从而验证了高精度格式的性能.     

二维分数阶发展型方程的正式的二阶BDF交替方向隐式紧致差分格式

该文将研究二维分数阶发展型方程的正式的二阶向后微分公式(BDF)的交替方向隐式(ADI)紧致差分格式.在时间方向上用二阶向后微分公式离散一阶时间导数,积分项用二阶卷积求积公式近似,在空间方向上用四阶精度的紧致差分离散二阶空间导数得到全离散紧致差分格式.基于与卷积求积相对应的实二次型的非负性,利用能量方法研究了差分格式的稳定性和收敛性,理论结果表明紧致差分格式的收敛阶为O(k~(a+1)+h_1~4+h_2~4),其中k为时间步长,h_1和h_2分别是空间x和y方向的步长.最后,数值算例验证了理论分析的正确性.     

变系数双侧空间回火分数阶对流-扩散方程的隐式中点法

针对带非线性源项的变系数双侧空间回火分数阶对流-扩散方程,采用隐式中点法离散一阶时间偏导数,中心差商公式离散对流项,用二阶回火加权移位差分算子逼近左、右Riemann-Liouville空间回火分数阶偏导数,构造了一类新的数值格式.证明了数值方法的稳定性和收敛性,且方法在时间和空间均为二阶收敛.数值试验验证了数值方法的理论分析结果.     

时间分数阶对流-扩散方程的局部间断Galerkin谱方法

提出了求解时间分数阶对流-扩散方程的局部间断Galerkin谱方法.在空间方向上,按局部间断Galerkin谱方法进行离散,时间方向上,对α阶Caputo时间分数阶导数按有限差分格式进行离散,非线性项和源项采用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值,从而得到有限差分/局部间断Galerkin谱全离散格式,并且给出了其全离散格式线性情形下的稳定性和收敛性分析.最后给出了一些数值算例,比较了单区域方法和局部间断Galerkin谱方法的数值结果,得出后种方法更具优势.还通过对比Gorenflo-Mainardi-Moretti-Paradisi(GMMP)和有限差分这两种全离散格式下的数值结果,得出有限差分格式在某些问题中比GMMP格式精度更高,收敛速度更快.     

求解对流扩散方程的低耗散中心迎风格式

以四阶CWENO重构为基础,通过将对流项采用低耗散中心迎风格式离散,扩散项采用四阶中心差分格式离散,对得到的半离散格式采用四阶龙格库塔方法在时间方向上推进,得到一种求解对流扩散方程的高阶有限差分格式.数值结果验证了该格式的四阶精度和基本无振荡特性.     

带跳随机波动率模型的高阶ADI分裂格式

针对带跳随机波动率模型满足的偏积分微分方程,提出一种新的高阶交替方向隐式（ADI）有限差分格式,该模型是一个具有混合导数和非常数系数的对流扩散型初边值问题.我们将不同的高阶空间离散与时间步ADI分裂格式相结合,得到了一种空间四阶精度、时间二阶精度的有效方法,并采用Fourier方法分析了高阶ADI格式的稳定性.最后,通过对欧式看跌期权定价模型进行数值实验证实了数值方法的高阶收敛性.     

求解一维对流方程的高精度紧致差分格式

本文提出数值求解一维对流方程的一种两层隐式紧致差分格式,采用泰勒级数展开法以及对截断误差余项中的三阶导数进行修正的方法对时间和空间导数进行离散.格式的截断误差为O(τ~4+τ~2h~2+h~4),即该格式在时间和空间上均可达到四阶精度.利用von Neumann方法分析得到该格式是无条件稳定的.通过数值实验验证了本文格式的精确性和稳定性.     

带初始奇异性的多项时间分数阶扩散方程一类全离散数值方法的误差分析

本文研究了带有初始奇异性的多项时间分数阶扩散方程的一种全离散数值方法.首先,基于L1公式在渐变网格下离散多项Caputo时间分数阶导数,构造了多项时间分数阶扩散方程的时间半离散格式,证明了时间格式通过选取合适的网格参数r,时间方向的误差可以达到最优的收敛阶2-α_1,其中α_1(0 α_11)为多项时间分数阶导数阶数的最大值.然后,空间采用谱方法进行离散,得到了全离散格式,证明了全离散格式的无条件稳定性和收敛性.为了降低计算量和储存量,对多项时间分数阶扩散方程又构造了时间方向的快速算法,同时证明了该格式的收敛性.数值算例验证了算法的有效性,显示了快速算法的高效性.     

A High-Order Finite Difference Scheme for 3D Unsteady Convection Diffusion Reaction Equations北大核心CSCD

针对三维非稳态对流扩散反应方程,构造了一种高精度紧致有限差分格式,对空间的离散采用四阶紧致差分方法,对时间的离散采用Taylor级数展开和余项修正技术,所提格式在时间上的精度为二阶、在空间上的精度为四阶。利用Fourier稳定性分析法证明了该格式是无条件稳定的。最后给出数值算例验证了理论结果。     

空间分数阶偏微分方程非标准有限差分方法的稳定性和收敛性（英文）

本文研究空间分数阶偏微分方程非标准有限差分方法数值解的相关问题.采用Grünwald-Letnikov公式和平移Grünwald-Letnikov公式分别对两个空间分数阶导数进行离散.再运用带有时间和空间步长的分母函数构造非标准有限差分方法.进而利用von Neumann分析方法对差分格式的稳定性和收敛性进行研究,获得了一些新的结果.数值例子验证了非标准有限差分方法用于求解空间分数阶偏微分方程的有效性.     

一类带有黎曼边界条件的时间分数阶积分微分方程的紧差分格式（英文）

本文研究带黎曼边界条件的时间分数阶积分微分方程的数值方法.将L1离散公式逼近Caputo分数阶导数,加权带位移的Grünwald公式逼近Riemann-Liouville分数阶积分及其紧差分逼近空间二阶导数结合起来,建立一种求解该方程的差分格式并对其进行分析.尽管黎曼边界条件使得边界上的截断误差会比内部网格点的截断误差低一阶,本文仍严格证明格式是无条件稳定且全局收敛精度为O(τ^2-α+h⁴).最后,本文进行数值实验来验证理论结果.     

RLW-KdV方程的高阶紧致有限差分格式（英文）

对RLW-KdV方程提出一种新的四阶精度紧致有限差分格式.用离散能量法证明差分格式的能量守恒性、可解性、收敛性和稳定性.在离散L~∞-范数下,所建格式在空间上四阶收敛且在时间上二阶收敛.通过两个数值算例验证了该格式的有效性和可靠性.     

广义Rosenau-KdV方程的高精度守恒差分格式

对广义Rosenau-KdV方程提出一种在时间层和空间层上分别具有二阶和四阶精度的三层线性差分格式,所建格式是离散质量守恒和离散能量守恒的,利用离散能量法证明了差分格式的可解性、收敛性和稳定性.数值实验验证了该格式的精度和守恒性.     

带非线性源项的Riesz回火分数阶扩散方程的预估校正方法

本文针对带非线性源项的Riesz回火分数阶扩散方程,利用预估校正方法离散时间偏导数,并用修正的二阶Lubich回火差分算子逼近Riesz空间回火的分数阶偏导数,构造出一类新的数值格式.给出了数值格式在一定条件下的稳定性与收敛性分析,且该格式的时间与空间收敛阶均为二阶.数值试验表明数值方法是有效的.     

带非线性源项的双侧空间分数阶扩散方程的隐式中点方法

本文用隐式中点方法离散一阶时间偏导数,并用拟紧差分算子逼近Riemann-Liouville空间分数阶偏导数,构造了求解带非线性源项的空间分数阶扩散方程的数值格式.给出了数值方法的稳定性和收敛性分析.数值试验表明数值方法是有效的.     

求解二阶波动方程的三次样条差分方法

有限差分法在求解二阶波动方程初边值问题过程中通常受到精度和稳定性的限制.本文对二阶波动方程的时间、空间项分别采用三次样条公式进行离散,推导出精度分别为O(τ2+h2),0(τ2+h4),O(τ4+h2)和O(τ4+h4)的四种三层隐式差分格式,以及与之相匹配的第一个时间步的同阶离散格式,并采用Fourier方法分析了格...     

Riesz空间分数阶对流-扩散方程的一种新型Crank-Nicolson有限体积法

分数阶微分方程作为整数阶微分方程的推广,近年来被广泛应用于科学和工程领域,从而受到越来越多学者的关注.本文提出一种新型Crank-Nicolson有限体积方法求解具有Dirichlet齐次边界的Riesz空间分数阶对流-扩散方程.为了得到Riesz空间分数阶对流-扩散方程的离散格式,在时间层上,利用Crank-Nicolson方法对一阶时间偏导数进行离散.在空间层上,利用有限体积法近似对流项的一阶空间偏导数和扩散项的Riesz空间分数阶偏导数.更进一步,我们也得到了该Crank-Nicolson有限体积离散格式的稳定性和收敛性两个主要理论结果.证明了该离散格式是无条件稳定的,以及在离散L₂-范数下的收敛阶为O(h²+τ²),其中h和τ分别为空间和时间上的步长.最后,通过数值试验验证了该离散格式理论结果的正确性.     

含源反应扩散方程的两类修正差分格式

本文针对含扰动参数ε的含源反应扩散方程,采用待定系数法,在三点模板的中心点处进行泰勒展开,对泰勒展式中的高阶导数项充分利用原微分方程进行"降阶",然后分别从"横向"和"纵向"两个角度进行修正,得到了两类差分格式,其中横向系列差分格式(HDS)的精度分别达到二阶、四阶和六阶.数值实验与参考格式比对效果较好,且横向差分格式...     

求解Riesz空间分数阶扩散方程的一种新的数值方法

本文利用Diethelm方法构造了一种逼近Riesz空间分数阶导数的O（△x^3-α）格式,其中1 < α < 2,△x是空间步长.进一步对一阶时间导数采用Crank-Nicolson方法离散,得到了求解Riesz空间分数阶扩散方程的一种新的有限差分格式,并用矩阵方法证明了稳定性和收敛性,其误差估计为O（△t²+△x^3-α）,其中△t为时间步长.最后,数值算例验证了差分格式的正确性和有效性.     

五次非线性Schr?dinger方程的一个新型守恒紧致差分格式

本文研究了带五次项的非线性Schr?dinger方程初边值问题.利用有限差分法构造了一个四阶紧致差分格式,证明格式在离散意义下保持原问题的两个守恒性质,即质量守恒和能量守恒.引入"抬升"技巧,运用标准的能量方法和数学归纳法建立了误差的最优估计,证明数值解在空间和时间两个方向分别具有四阶和二阶精度.数值实验对理论结果进行了验证,并与已有结果进行了对比,结果表明本文格式在保持精度相当的前提下具有更高的计算效率.