如何用导数判断函数单调性

函数的单调性是函数的重要性质,也是高考的热点问题,若利用函数定义求解,一般较为复杂.但是利用导数求函数的单调就有效地解决了这一难题.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.下面对利用导数判断函数的单调性的几个注意点加以说明.一、f′(x)>0(<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件例1用导数来判断函数f(x)=x3(x∈     

浅谈导数学定义在导数计算的中地位与作用

不少学生学习了求导公式后 ,往往对导数定义不太重视。其实 ,导数的定义不仅是导数的原始基本概念 ,而且它在求极限、求导数的计算及证明中都有着重要的、甚至是不可替代的作用。本文仅就导数定义在导数计算中的地位与作用问题谈点粗浅的认识 ,以期学生对此问题引起重视。一、在分段函数求导计算中的情形对分段函数分段点的导数的计算 ,必须按定义求 ,不能套公式。例 1　设 f ( x) =e|x|,求 f′( x)。[错解 ]　因为 f ( x) =ex,　　 x≥ 0e- x,　 x <0 ,所以 ,f′( x) =ex,　　 x≥ 0-e- x,　 x <0[辨析 ]　 x=0是分段点 ,而对分段点的导数 …     

运用导数的性质解高考试题

设 y =f(x)为可导函数 .①在某个区间内 ,如果 f′(x) >0 ,则 f(x)为增函数 ;如果 f′(x) <0 ,则 f(x)为减函数 .反之亦然 .②函数 f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零且该点两侧的导数异号 .③函数 f(x)在点x0 处的导数 f′(x0 )是曲线y =f(x)在点 (x0 ,f(x0 ) )处切线的斜率 .运用上述性质可解决下面几类高考题 .1　求参数的取值范围图 1　例 1图例 1　 (2 0 0 0年春北京高考题 )已知函数 f(x) =ax3+bx2 +cx +d的图象如图 1所示 ,则 (　　 )(A)b∈ (-∞ ,0 ) .(B)b∈ (0 ,1) .(C)b∈ (1,2 ) .(D)b∈ (2 ,+∞ ) .解　由图象知…     

变式教学要多让学生“变”

1现象呈现题已知函数f(x)=√x-lnx.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;(2)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.     

“三招齐下”破解含参数函数的导数应用的题

导数在高中数学中可以说是“叱咤风云”,具有深刻的内涵与丰富的外延,在应用中显示出独特的魅力和势不可挡的渗透力.导数是解决函数、方程、不等式、数列和曲线等问题的利器,是沟通初等数学与高等数学的桥梁.以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.对导数应用的考查的广度和深度也在不断拓宽、加深.尤其是运用导数确定含参数函数的参数取值范围的问题,这类问题不仅综合性强、难度高,而且解题思路妙、方法巧,学生不容易掌握.例1(2010年全国Ⅱ理科)设函数f(x)=1-e(-s)(Ⅰ)证明:当x＞-1时f(x)≥者;(Ⅱ)设当x≥0时f(x)≤x/(ax+1),求a的取值范围.参考答案(Ⅰ)要证明当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1),只需证明ex≥1+x.令g(x)=ex-x-1,则g′(x)=ex-1.当x≥0时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)是增函数;当x≤0时,g′(x)≤0,g(x)在,(-∞,0]是减函数.于是g(x)在x=0处达到最小值,因而当x∈ R时,g(x)≥g(0),即es≥1+x.所以当x＞-1时,f(x)≥x/(x+1).     

例说导数中几个重要的关系

《极限与导数》这一部分内容是进一步学习微积分的基础,目前高中阶段的教材只向学生介绍一些最基础、最浅显的知识,因此,在知识的系统性和理论性方面就很难做到严谨、周密(尤其是使用人教版《数学》第三册(选修1)),但教师还是必须以学生能理解、接受的方式向学生讲清楚以下几个关系.1.函数在一点处的导数与曲线在这点处切线的斜率的关系一般地,函数y=f(x)在x=x0处的导数是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率.问:若函数y=f(x)在x=x0处无导数,曲线y=f(x)在x=x0处有切线吗?答:若函数y=f(x)在x=x0处无导数,曲线y=f(x)在x=x0处可能有切线,也可能无切…     

多元函数取局部极值的一个充分条件

约定 :设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D( D Rn)上具有连续偏导数的 n元函数 ,若方程组 f′xi= 0 ( i=1 ,2 ,… ,n)有实数解 P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,xn0 ) ,则称 P0 是 f的一个稳定点。定理　设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D上具有二阶连续偏导数的 n元函数 ,P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,x0n)是它的一个稳定点。对任意点 P( x1,x2 ,… ,xn) ,记 aij =f″xixj( P) ,矩阵 A =( aij) =a11a12 … a1na2 1a2 2 … a2 n…………a2 1a2 2 … a2 n。若矩阵 A在稳定点 P0 的某邻域上恒是正定或半正定的 (负定或半负定的 ) ,那么 f在点 P0 处取局部极小 …     

关于二元函数最值的一个注记

在求一元函数最大、最小值问题时 ,有一个被各类高等数学教材广泛使用的性质 :设函数 y=f( x)在区间 I上可导 ,如果 y=f( x)在区间 I上有唯一的驻点 x0 ,而且 f( x0 )是函数 y=f ( x)在 I上极大值 (或极小值 ) ,那么 f ( x0 )就一定是函数 y=f ( x)在区间 I上的最大值 (或最小值 )。证明并不难 ,几何意义也很明显。以极大值为例 ,在极值点 x0 左边的导数将保持正值 ,而右边的导数值将保持负值 ,因此 f ( x)的函数值只能从 x0 往两边下降直到区间 I的边界。当函数 y=f( x)在 I上只有一个极值点时 ,用这个性质非常方便 ,因此 ,近年出版的各…     

考点40 函数的极限与连续

1.(辽宁卷,2)极限limx→x0f(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的().(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要的条件2.(广东卷,3)limx→-3x+3x2-9=().(A)-16(B)0(C)61(D)313.(全国卷,5)limx→1(x2-31x+2-2x2-4x+3)=().(A)-21(B)21(C)-61(D)614.(湖北卷,8)若limx→1(1-a x-1-b x2)=1,则常数a,b的值为().(A)a=-2,b=4(B)a=2,b=-4(C)a=-2,b=-4(D)a=2,b=45.(江西卷,8)若limx→1f(x-1)x-1=1,则limx→1x-1f(2-2x)=().(A)-1(B)1(C)-21(D)21考点40函数的极限与连续1.f(x)在x=x0处连续,必有limx→x0f(x)存在,…     

秘密在哪儿？

在函数y =f(x)中隐含着秘密 ,发现并利用y =f(x) 的秘密 ,是顺利解题的关键 .那么 ,秘密到底藏在哪儿呢藏在函数的关系式之中例 1 :(0 1年全国高考题 )设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,对于任意x1 ,x2 ∈ 0 ,12 ,都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 ) ,且 f(1 ) =2 .求 f 12 ,f 14 .分析 :怎样由 f(1 ) =2去求f 12 呢 ?从题设给出的函数关系式 :f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )启发我们 ,只要把 1分成两个 12 之和 ,即可解决问题 .解析 :首先 ,由x1 ,x2 ∈ 0 ,12 都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )的条件 ,可推出x∈ [0 ,1 ]时都成立的一般式子 :f(x) =f …     

函数与数列综合问题例析

数列是高考的热点 ,是学生进一步学习的基础 .数列与函数知识的综合应用是学生学习的难点 ,下面列举这方面的例子进行分析 .例 1　已知函数f(x)在 ( - 1,1)上有定义 ,f 12 =- 1,且满足x ,y∈ ( - 1,1)有 f(x) +f(y) =f x + y1+xy .1)证明 :f(x)在 ( - 1,1)上为奇函数 ;2 )对数列x1 =12 ,xn + 1 =2xn1+x2 n,求 f(xn) ;3)求证 1f(x1 ) + 1f(x2 ) +… + 1f(xn) >- 2n + 5n + 2 .解　 1)令x =y =0 ,则 2 f( 0 ) =f( 0 ) ,∴ f( 0 )= 0 .令 y =-x∈ ( - 1,1) ,则f(x) + f( -x) =f( 0 ) =0 ,∴ f( -x) =- f(x) ,即f(x)为 ( - 1,1)上的奇函数 .( 2 …     

数学归纳法、极限、函数的连续性

选择题　本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.若an =1- 12 2 1- 132 … 1- 1n2 ,则limn→∞an= (　　 )(A) 1.　 (B) 0 .　 (C) 12 .　 (D)不存在 .2 .函数 f(x)在x =x0 处连续是函数 f(x)在x=x0 处有极限的 (　　 )(A)充分不必要条件 .(B)必要不充分条件 .(C)充要条件 .(D)不充分不必要条件 .3.用数学归纳法证明不等式“1+ 12 + 14 +…+ 12 n - 1>12 76 4成立” ,则n的第一个值应取 (　　 )(A) 7.　　 (B) 8.　　 (C) 9.　　 (D) 10 .4 .函数 f(x) =|x|在x =0处 (　　 )(…     

如何判定多元函数的可微性--一节习题课片段

如何判定多元函数的可微性 ,理解多元函数全微分的概念 ,以及多元函数可微与偏导数存在、可微与连续之间的关系 ,是多元函数微分学的难点 .为了帮助学生更好地掌握这些知识 ,老师安排了这样一次习题课 .先给出一道习题 :设函数z =f (x,y) =xyx2 y2 　　 x2 y2 ≠ 0　 0　　　　 x2 y2 =0研究全微分 dz| ( 0 ,0 ) 是否存在 ?一位同学这样做 :因为f′x(0 ,0 ) =limΔx→ 0f (0 Δx,0 ) -f (0 ,0 )Δx =limΔx→ 00Δx=0 ,f′y(0 ,0 ) =limΔy→ 0f (0 ,0 Δy) -f (0 ,0 )Δy =limΔy→ 00Δy=0 ,所以全微分 dz在 (0 ,0 )存在 ,且 dz| …     

函数不等式e~x≥x+1及其变形在高考压轴题中的应用

1.不等式ex≥x+1(x∈R)的证明记f(x)=ex-x-1,则f′(x)=ex-1.令f′(x)=0得x=0,当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,∴f(x)在R上的最小值为f(0)=0,∴ex≥x+1(x∈R),当且仅当x=0时等号成立.     

函数单调性在证明不等式中的应用

利用函数的某些性质解决不等式的证明问题 ,在高等数学中是经常使用的方法 ,本文结合实例 ,利用函数的单调性来处理不等式的证明问题 .例 1　当 0 f (x) >limx→ π2 - 0f (x) ,而 limx→ 0 f (x) =1 ,limx→ π2 - 0f (x) =2π ,故 1 >sinxx >2π.例 2　当 x>0时 ,证明 :x -x22 相似文献   

平均值函数的性质及应用

设函数 f (x)在 (-∞ , ∞ )上连续 ,当 x≠ 0时 ,我们称 F(x) =1x∫x0 f (t) dt为 f (x)在 [0 ,x]上的平均值函数 ,本文将介绍平均值函数 F(x)的若干性质并举例说明其应用 .一、F(x)的性质性质 1　 f(x)是 [0 ,x](或 [x,0 ])上的有界函数 ,F(x)也是 [0 ,x]或 [x,0 ]上的有界函数 .性质 2　若 f (x)为奇 (偶 )函数 ,则 F(x)也为奇 (偶 )函数 .性质 3　若 f(x)是周期为 T(T>0 )的周期函数 ,则limx→ ∞1x∫x0f (t) dt=1T∫T0f (t) dt (1 )　　　性质 4　若 f(x)为单调递增 (减 )函数 ,则 F(x)也为单调递增 (减 )函数 .性质 5　若对任意…     

三点共线条件在解题中的应用

由解析几何知 ,三点P1(x1,y1) ,P2 (x2 ,y2 ) ,P3(x3,y3)共线的充分必要条件是 :(x3-x1) (y2 - y1) - (x2 -x1) (y3- y1) =0 .这一结论除用于判定或求解有关解析几何的共线问题外 ,也可用于求解一些三角以及代数中的问题 ,其解法具有一定的启发性 ,下面举几例说明 .例 1　已知一次函数 f(x) =ax +b ,且 - 1≤f(- 1) ≤ 2 ,- 2≤f(2 )≤ 3,求 f(3)的取值范围 .解　由已知 f(- 1) =-a +b ,f(2 ) =2a +b ,f(3) =3a +b ,整理即-a - f(- 1) +b =0 ,2a - f(2 ) +b =0 ,3a - f(3) +b =0 ,上式表明点P1(- 1,f(- 1) ) ,P2 (2 ,f(2 ) ) ,P3(3,f(3) …     

函数的周期性和对称性

1　周期函数问题设函数 f(x)的定义域为D ,若存在非零常数T ,使得对每个x∈D ,都有 f(x +T) =f(x -T) =f(x)成立 ,则称 f(x)为周期函数 ,T为 f(x)的一个周期 .如果 f(x)的所有正周数中存在最小值T0 ,则称T0 为周期函数 f(x)的最小正周期 .一般说函数的周期通常是指最小正周期 .例 1　判定函数 f(x) =x - [x],x∈R(其中[x]表示不超过x的最大整数 )的周期性并作出其图象 .解　如图 1,我们作出 f(x)的图象 .图 1　例 1图由 f(x)的图像可知 ,当x∈R时 ,f(x) =x -[x]是周期函数 ,且T =1是它的最小正周期 .事实上 ,对x∈R ,有f(x + 1) =x + 1…     

二元函数极值的一种新判别方法

通常都是利用二阶偏导数来判别二元函数 z =f (x,y)的极值存在性 .本文将讨论如何利用一阶偏导数来判别二元函数的极值存在性 .我们知道 ,在利用二阶偏导数判别 z =f (x,y)的极值时存在着两方面的不便 :1°要计算三个二阶偏导数值 ;2°当 [fxx .fyy -f2xy]( x0 ,y0 ) =0时 ,不能确定极值是否存在 .下面我们受一元函数极值判别的启发 ,利用一元函数的性质 ,研究如何用一阶偏导数判别二元函数的极值 .设二元函数 z =f (x,y)在点 (x0 ,y0 )的 δ-邻域 B| ( x0 ,y0 ) ={ (x,y) | 0 <(x -x0 ) 2 (y -y0 ) 2 <δ}内有连续偏导数 ,(x,y)是该邻域…     

综合题新编选登

题 6 7　 已知函数 f(x) =x2 - 2tx + 1,其定义域为 {x| 0≤x≤ 1或 7≤x≤ 8} .1)f(x)在定义域内是否一定有反函数 ?2 )当 f(x)在定义域内有反函数 ,求t的范围 .3)在 2 )的条件下 ,求反函数 f- 1(x) .解　 1)取t =12 ,有 f(0 ) =f(1) =1.∴f(x)在其定义域内不一定有反函数 .2 )∵f(x)在x∈R时其对称轴为x =t.当t≤ 0时 ,f(x)在其定义域内为增函数 ,∴此时 f(x)有反函数 ;同理 ,当t≥ 8时 ,f(x)在其定义域内也有反函数 .图 1　题 6 7图当 1≤t≤ 4时 ,f(x)图象在x∈ [0 ,1]的一段比在x∈ [7,8]的一段更靠近对称轴 .那么要使 f(x)有反函数 ,…