The analogy between fluid friction and heat transfer of laminar forced convection on a flat plate

This paper has examined the validity of the analogies between heat transfer and fluid friction when they are applied to laminar forced convection on a flat plate. For the case of uniform wall temperature, all the analogies are valid for Prandtl number do not differ greatly from 1, and the Colburn analogy is consistent with numerical data forPr1. However, the previous analogies are not valid for the case of uniform wall heat flux. For fluids ofPr1 under uniform heating, the Colburn analogy factor is 0.72. In addition, these analogies are not applicable to the fluids of small Prandtl number. For the sake of completeness, this work has developed the analogies between heat and momentum transfer over the range of 0.001 Pr 0.1 for both the cases of constant wall temperature and heat flux.Die Gültigkeit der Analogien zwischen Wärmeübergang und Flüssigkeitsreibung wird für den Fall der erzwungenen Konvektion an einer ebenen Platte überprüft. Unter der Randbedingung gleichförmiger Wandtemperatur sind alle Analogien für Prandtl-Zahlen in der Nähe von 1 gültig und die Colburn-Analogie stimmt mit numerisch gewonnenen Ergebnissen fürPr1 überein. Die vorgenannten Analogien sind allerdings nicht gültig, wenn als Randbedingung gleichförmiger Wandwärmefluß unterstellt wird. Für Fluide mitPr1 und gleichförmigem Wärmefluß ist der Analogiefaktor nach Colburn gleich 0,72. Auch für Flüssigkeiten mit kleinen Prandtl-Zahlen gelten die Analogien nicht. Der Vollständigkeit halber wurden in dieser Arbeit die Analogien zwischen Wärme- und Impulsaustausch für den Bereich 0,001 Pr 0,1 entwickelt, und zwar sowohl für gleiche Temperatur wie gleichen Wärmefluß an der Wand.     

Natural convection in rectangular enclosures with adiabatic fins attached on the heated wall

The heat transfer by natural convection in vertical and inclined rectangular enclosures with fins attached to the heated wall is numerically studied using the energy and Navier-Stokes equations with the Boussinesq approximation. The range of study covers 10⁴Ra2×10⁵,A=H/L=2.5 to ,B=l/L=0 to 1,C=h/L=0.25 to 2 andPr=0.72. The inclination angle from the vertical was from 0 to 60 degree. The variation of the local Nusselt numberNu _loc along the enclosure height and the average Nusselt numberNu as a function ofRa are computed. Streamlines and isotherms in the enclosure are produced. The results show thatB is an important parameter affecting the heat transfer through the cold wall of the enclosure. The heat transfer is reduced for decreasingC and it passes from a maximum for an inclination angle. The results show that the heat transfer can generally be reduced using appropriate geometrical parameters in comparison with a similar enclosure without fins.Die Wärmeübertragung bei freier Konvektion in vertikalen und geneigten rechtwinkligen Behältern mit Rippen an den beheizten Wänden wird unter Verwendung der Energie- und Navier-Stokes-Gleichungen sowie der Boussinesq-Approximation numerisch untersucht. Der Bereich der Studie liegt bei 10⁴Ra2·10⁵,A=H/L=2,5 bis ,B=l/L=0 bis 1,C=h/L=0,25 bis 2 undPr=0.72. Der Neigungswinkel der Wand liegt zwischen 0 und 60 Grad. Die Veränderung der lokalen Nusselt-Zahl entlang der Höhe der Behälterwände und die mittlere Nusselt-Zahl in Abhängigkeit derRa-Zahl werden berechnet. Strömungslinien und Isothermen werden im Behälter erzeugt. Die Ergebnisse zeigen, daßB ein wichtiger Parameter für die Wärmeübertragung an der nicht beheizten Wand des Behälters ist. Die übertragene Wärmemenge verringert sich mit abnehmendemC und durchschreitet ein Maximum für eine bestimmte Wandneigung. Die Ergebnisse zeigen, daß im Vergleich zu einer Anordnung ohne Rippen, die Wärmeübertragung bei geeigneten geometrischen Parametern allgemein reduziert werden kann.     

Analysis of buoyancy-aided convection heat transfer from a horizontal cylinder in a vertical duct at low Reynolds number

This paper reports a numerical study on buoyancy-aided steady convection heat transfer from a horizontal cylinder situated in a vertical adiabatic duct. Numerical results have been generated forH ₁/D=2.5, 4, 8,H/D=8, 16, 24,S/D=2, 4, 6, 20Re60, andRi up to 4. The placing of a horizontal cylinder in a vertical duct of smaller width results in significantly enhanced pure forced convection due to the blockage effect, but degrades appreciably the extent of buoyancy-aided enhancement in the heat transfer rate. Nevertheless, the presence of a vertical duct leads to an overall enhancement of mixed convection heat transfer coefficient relative to that without the confining duct. Moreover, the average Nusselt number is rather insensitive to the variation of either the position of the cylinder in the duct or the duct height in the investigated ranges of these geometric parameters.Dieser Artikel beschreibt eine numerische Studie über auftriebsunterstützte konvektive Wärmeübertragung von einem horizontalen Zylinder der in einem vertikalen adiabaten Kanal positioniert ist. Die numerischen Ergebnisse sind fürH ₁/D=2, 5, 4, 8,H/D=8, 16, 24,S/D=2, 4, 6 sowie 20Re60 undRi bis 4 berechnet worden. Die Anordnung des horizontalen Zylinders in einem schmaleren vertikalen Kanal führt auf Grund des Blockierungs-effektes zu einem deutlichen Anstieg der reinen Zwangskonvektion. Aber sie verschlechtert deutlich den Betrag der auftriebsbedingten Steigerung in der Wärmeübergangsrate. Trotzdem führt die Anwesenheit des vertikalen Kanals insgesamt zu einer Steigerung des Wärmeübergangskoeffizienten bei Mischkonvektion im Vergleich zur Abwesenheit des begrenzenden Kanals. Des weiteren ist die durchschnittliche Nusseltzahl von der Variation der Zylinderposition im Kanal oder der Kanalhöhe abhängig.     

Unsteady forced convection heat/mass transfer from a flat plate

Numerical methods are used to investigate the transient, forced convection heat/mass transfer from a finite flat plate to a steady stream of viscous, incompressible fluid. The temperature/concentration inside the plate is considered uniform. The heat/mass balance equations were solved in elliptic cylindrical coordinates by a finite difference implicit ADI method. These solutions span the parameter ranges 10 Re 400 and 0.1 Pr 10. The computations were focused on the influence of the product (aspect ratio) × (volume heat capacity ratio/Henry number) on the heat/mass transfer rate. The occurrence on the plates surface of heat/mass wake phenomena was also studied.     

Messung und Berechnung des örtlichen und mittleren Stoffübergangs an stumpf angeströmten Kreisscheiben bei unterschiedlicher Turbulenz

Zusammenfassung In einer vergleichenden Literaturübersicht zu Umströmung, Druck- bzw. Geschwindigkeitsverteilung sowie Wärme- und Stoffübergang werden bislang vorliegende Angaben zu stumpf angeströmten Kreisscheiben und -Zylindern zusammengefaßt. Wenige und zudem divergierende Ergebnisse zum Wärme- und Stoffübergang machen grundlegende experimentelle und theoretische Untersuchungen notwendig, wie sie in [l, 2] für die Eichung von Stoffübergangsmeßmethoden benötigt werden.Unter Einbeziehung des quer angeströmten Kreiszylinders wird gezeigt, daß genaue Angaben zum Wärme- und Stoffübergang bei zwei- wie dreidimensionalen Staupunktströmungen bislang nur über die Messung möglich sind. Über gemessene Geschwindigkeitsverteilungen berechnete Stoffübergangskoeffizienten werden von der Messung nicht bestätigt. Sie liegen gegenüber dem Experiment zu niedrig.Die Messungen wurden bei Turbulenzintensiten 0,8%Tu6%, Reynolds-Zahlen 2·10³5 und Scheibendurchmessern 9,3mmd73,7mm durchgeführt. Der Einfluß der Turbulenz auf den Stoffübergang im Staupunkt von Kreisscheiben kann nur näherungsweise über den Smith-Kuethe-Parameter Tu · Re/100 erfaßt werden. Differenzen zwischen Theorie nach Smith und Kuethe für Tu· Re<5 und Messung lassen sich über die Stabilitätstheorie erklären. Für eine genauere Erfassung des Stoffübergangs muß den unterschiedlichen Transportvorgängen über Turbulenzballen oder Längswirbeln sowie der Struktur der Turbulenz Rechnung getragen werden.

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Measuring and computation of local and average mass transfer to disks in cross flow at different turbulence intensities

The results of different publications concerning the flow, pressure and velocity distributions as well as the heat and mass transfer of disks and cylinders in cross flow are compared by a literature review. A few diverging results for heat and mass transfer require new experimental and theoretical approaches. The calibration of recently developed techniques for the determination of mass transfer rates as published in [1, 2] make these investigations expecially necessary. Including the cylinder in cross flow the authors show, that up to now exact data of heat and mass transfer for two- or three-dimensional flow at a forward stagnation region can be obtained by direct measuring only.Mass transfer coefficients computed from measured velocity distributions are not confirmed by the experimental results. Compared to the experimental data they are too low. The measurements were accomplished for turbulence intensities 0.8%Tu6%, Reynolds-numbers 2· 10³5 and disk diameters 9.3 mm d 73.7 mm.The influence of the turbulence on the stagnation point mass transfer of disks can be obtained only approximately by the Smith-Kuethe-parameter Tu·Re/100. Differences between theoretical results of Smith and Kuethe and experimental ones for Tu·Re/100<5 may be explained by the stability theory. For a more accurate determination of the mass transfer the different transport mechanisms of the scale of turbulence or the tree-dimensional flow pattern like Taylor-Görtler-vortices as well as the structure of the turbulence itself have to be regarded.

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Bezeichnungen a Temperaturleitkoeffizient - C_p Beiwert für den statischen Druck - C₂, C₃ Gradient der bezogenen Geschwindigkeit U⁺ am Staupunkt bei ebener, räumlicher Strömung - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - d Durchmesser - Fr=Sh/Re Frössling-Zahl für den Stoffübergang - Fr=Nu/Re Frössling-Zahl für den Wärmeübergang - Le=a/D_A Lewis-Zahl - L Bezugslänge - M Maschenweite von Turbulenzgittern - Nu=·d/ Nußbelt-Zahl - n Exponent der Prandtl-bzw. Schmidt-Zahl - Pr=/a Prandtl-Zahl - p Druck, Partialdruck - p_x statischer Druck an der Stelle x am Rand der Grenzschicht - Re=U · d/ Reynolds-Zahl - r Radius - r(x) radiale Distanz von der Rotationsachse eines Körpers zu einem Oberflächenelement - Sc=/D_A Schmidt-Zahl - Sh= _A ·d/D_A Sherwood-Zahl - T absolute Temperatur - Tu Turbulenzintensität (Turbulenzgrad) in% - U Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - U Hauptströmungsgeschwindigkeit im freien Kanalquerschnitt - U⁺=U/U bezogene Geschwindigkeit in x-Richtung am Rand der Grenzschicht - u Strömungsgeschwindigkeit in x-Richtung, tangential zur Oberfläche - mittlere turbulente Geschwindig-keitsschwankung in x-Richtung - v Strömungsgeschwindigkeit in y-Richtung, normal zur Oberfläche - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - x_G Entfernung vom Turbulenzgitter in Strömungsrichtung - x⁺ bezogene Länge x/r - y Koordinate normal zur Oberfläche - Wärmeübergangskoeffizient - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - dimensionsloses Temperaturgefälle an der Wand - Keilvariable - Wärmeleitkoeffizient - Wirbelweilenlänge (mm) - kinematische Zähigkeit - transformierte bezogene Länge - _A Partialdichte von Ammoniak Indices B mit Korrektur aufgrund der Verengung - m mittel - S bezogen auf die Kreisscheibe - Z bezogen auf den Kreiszylinder Herrn Prof. Dr.-Ing. habil. Josef Ipfelkofer zum 70. Geburtstag am 7. April 1977 gewidmet.     

Hypersonic flow past blunt-edged delta wings

A method is proposed for calculating hypersonic ideal-gas flow past blunt-edged delta wings with aspect ratios = 100–200. Systematic wing flow calculations are carried out on the intervals 6 M 20, 0 20, 60 80; the results are analyzed in terms of hypersonic similarity parameters.Translated from Izvestiya Akademii Nauk SSSR, Mekhanika Zhidkosti i Gaza, No. 5, pp. 175–179, September–October, 1990.     

Mixed convection on vertical plate for fluids of any prandtl number

A mixed convection parameter=(Ra) ^1/4/(Re)^1/2, with=Pr/(1+Pr) and=Pr/(1 +Pr)^1/2, is proposed to replace the conventional Richardson number, Gr/Re², for combined forced and free convection flow on an isothermal vertical plate. This parameter can readily be reduced to the controlling parameters for the relative importance of the forced and the free convection,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) forPr 1, and (RaPr)^1/2/(RePr ^1/2 forPr 1. Furthermore, new coordinates and dependent variables are properly defined in terms of, so that the transformed nonsimilar boundary-layer equations give numerical solutions that are uniformly valid over the entire range of mixed convection intensity from forced convection limit to free convection limit for fluids of any Prandtl number from 0.001 to 10,000. The effects of mixed convection intensity and the Prandtl number on the velocity profiles, the temperature profiles, the wall friction, and the heat transfer rate are illustrated for both cases of buoyancy assisting and opposing flow conditions.

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Mischkonvektion an einer vertikalen Platte für Fluide beliebiger Prandtl-Zahl

Zusammenfassung Für die kombinierte Zwangs- und freie Konvektion an einer isothermen senkrechten Platte wird ein Mischkonvektions-Parameter=( Ra) ^1/4 (Re)^1/2, mit=Pr/(1 +Pr) und=Pr/(1 +Pr)^1/2 vorgeschlagen, den die gebräuchliche Richardson-Zahl, Gr/Re², ersetzen soll. Dieser Parameter kann ohne weiteres auf die maßgebenden Kennzahlen für den relativen Einfluß der erzwungenen und der freien Konvektion reduziert werden,Ra ^1/4/(Re ^1/2 Pr ^1/3) fürPr 1 und (RaPr)^1/4/(RePr)^1/2 fürPr 1. Weiterhin werden neue Koordinaten und abhängige Variablen als Funktion von definiert, so daß für die transformierten Grenzschichtgleichungen numerische Lösungen erstellt werden können, die über den gesamten Bereich der Mischkonvektion, von der freien Konvektion bis zur Zwangskonvektion, für Fluide jeglicher Prandtl-Zahl von 0.001 bis 10.000 gleichmäßig gültig sind. Der Einfluß der Intensität der Mischkonvektion und der Prandtl-Zahl auf die Geschwindigkeitsprofile, die Temperaturprofile, die Wandreibung und den Wärmeübergangskoeffizienten werden für die beiden Fälle der Strömung in und entgegengesetzt zur Schwerkraftrichtung dargestellt.

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Nomenclature C _f local friction coefficient - C _p specific heat capacity - f reduced stream function - g gravitational acceleration - Gr local Grashoff number,g T _w –T )x³/v² - Nu local Nusselt number - Pr Prandtl number,v/ - Ra local Rayleigh number,g T _w –T x ³/( v) - Re local Reynolds number,u x/v - Ri Richardson number,Gr/Re ² - T fluid temperature - T _w wall temperature - T free stream temperature - u velocity component in thex direction - u free stream velocity - v velocity component in they direction - x vertical coordinate measuring from the leading edge - y horizontal coordinate Greek symbols thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - mixed convection parameter (Ra)1/4/Re)^1/2 - pseudo-similarity variable,(y/x) - ₀ conventional similarity variable,(y/x)Re ^1/2 - dimensionless temperature, (T–T T _W –T - unified mixed-flow parameter, [(Re) ^1/2 + (Ra)^1/4] - dynamic viscosity - kinematic viscosity - stretched streamwise coordinate or mixed convection parameter, [1 + (Re)^1/2/(Ra) ^1/4]^–1=/(1 +) - density - Pr/(1 + Pr) _w wall shear stress - stream function - Pr/(l+Pr)^1/3 This research was supported by a grand from the National Science Council of ROC     

Zum Einfluß der Porengeometrie auf den Druckverlust bei der Durchströmung von Porensystemen

Zusammenfassung Es wird das Strömungsverhalten newtonscher und nicht-newtonscher Fluide in Kanälen mit variierendem Querschnitt untersucht, deren Konturen aus einer analytischen Betrachtung geordneter Kugelpackungen hergeleitet werden. Die untersuchten Kanäle sind den zugeordneten Kugelpackungen insofern ähnlich, als sich deren kreisförmige Strömungsquerschnitte in Fließrichtung in der gleichen Weise ändern wie die Porenquerschnitte entsprechender Packungstypen.Auf der Suche nach geeigneten Kennzahlen zur Beschreibung des Strömungsproblems für newtonsche Fluide werden verschiedene Darstellungsarten der Widerstandskennlinien = f(Re) diskutiert. Hierbei zeigen die Modellkanäle im Bereich der schleichenden und der turbulenten Strömung das gleiche Widerstandsverhalten wie die entsprechenden Packungsarten, wenn die Kennzahlen undRe analog mit dem hydraulischen Durchmesser und der nachDupuit definierten mittleren Kanalgeschwindigkeit gebildet werden. Während sich bei der Durchströmung von Kugelpackungen der Übergang von der schleichenden zur turbulenten Strömung allmählich vollzieht, ist jedoch bei der untersuchten Kanalströmung ein charakteristisches Übergangsverhalten festzustellen.Mit Hilfe einer geeignet definierten Durchmesserkenngröße, die sich theoretisch aus der Kanalgeometrie berechnen läßt und einer von diesem Durchmesserparameter abhängig gewählten Kanalgeschwindigkeit kann das Widerstandsverhalten aller Kanäle für newtonsche und nicht-newtonsche Fluide im Bereich der schleichenden Strömung durch die bekannte Hagen-Poiseuille-Gleichung beschrieben werden. Zur Bestimmung der scherabhängigen Viskosität nicht-newtonscher Fluide wird ein modifiziertes vonChmiel undSchlümmer vorgeschlagenes Berechnungsverfahren herangezogen, wobei die oben angeführten Geschwindigkeits- und Durchmesserparameter zur Definition einer charakteristischen SchergeschwindigkeitD _rep verwendet werden.Darüber hinaus lassen sich die Widerstandskennlinien für newtonsche und wenig elastische nichtnewtonsche Fluide im BereichRe 30 undRe 1200 durch die Gleichung = 64/Re + C_t/Re^0,1 beschreiben; hierbei hängt der FaktorC _t, für den eine halbempirische Berechnungsgleichung angegeben wird, mit 0,39 C _t 1,7 allein von der Kanalgeometrie ab. Demgegenüber zeigen Fluide mit ausgeprägten viskoelastischen Eigenschaften fürRe > 1 ein deutlich überhöhtes Druckverlustverhalten, das von der Lösungskonzentration und von der Kanalgeometrie beeinflußt wird. Gestützt auf die experimentellen Ergebnisse kann an Hand theoretischer Überlegungen gezeigt werden, daß bis zuRe 300 das auf viskoelastischen Phänomenen beruhende Widerstandsverhalten neben den genannten Kennzahlen undRe durch eine ÄhnlichkeitskennzahlDe = _fl D _rep charakterisiert werden kann, wobei _fl eine fluidspezifische Relaxationszeit bedeutet.

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Summary In this paper, the flow of Newtonian and non-Newtonian fluids in channels with varying diameter along the longitudinal axis is investigated. The contures of these channels are calculated by means of the analysis of systematical packings of spheres. The investigated channels are similar to the appointed packings as their circular cross-sections vary in the same way as the cross-sections of the pores in the corresponding types of packings.In search of appropriate characteristic numbers for the flow problem of Newtonian fluids different kinds of representation of the friction factor — Reynolds number correlation, = f(N_Re) are discussed. If the characteristic numbers andN _Re are built analogously to the hydraulic diameter and the flow rate in pores, according toDupuit's definition the models show the same pressure-drop characteristics as the corresponding types of packing, in creeping flow as well as in fully developed turbulent flow. In contrast to the flow through packed beds, where the transition from laminar to turbulent flow occurs continuously, the flow through the channels shows a remarkably different transition behaviour forN _Re 600.By means of an appropriately defined characteristic diameter which is to be calculated theoretically from the channel geometry, and by means of a characteristic flow rate, which depends on this diameter, the flow characteristics of all channels can be described by the well known Hagen-Poiseuille equation, for creeping flows of Newtonian as well as non-Newtonian liquids. For the determination of the shear-rate dependent viscosity of non-Newtonian fluids, a modified method, proposed byChmiel andSchümmer, is used, i.e. the shear rateD _rep is defined with the above specified exoressions of the diameter and the characteristic flow rate.Furthermore, the friction factor — Reynolds number correlation for Newtonian and inelastic or slightly elastic non-Newtonian liquids can be desribed in the rangeN _Re 30 andN _Re 1200 by the equation = 64/N_Re + C_t/N _Re ^0.1 where the factorC _t, for which a semi-empiric equation is given, depends only on the geometry of the channels, with values of 0.39 C _t 1.7. In contrast to this liquids with strong viscoelastic properties show atN _Re > 1 a pronounced excess pressure drop, which depends on the concentration of the polymer solution and the channel geometry. Based on experimental results it is demonstrated by theoretical arguments that up toN _Re 600 the flow characteristics depending on viscoelastic phenomena can be described with the characteristic numberN _De = _fl D _rep, in addition to andN _Re. Here _fl signifies the relaxation time of the polymer solution.

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A _ges Gesamtfläche - A _f,A _p Porenquerschnitt - A _i benetzte Oberfläche - A _s Fläche - A ₀ Anströmquerschnitt - c Formfaktor - C ₁,C ₂ Konstanten im Widerstandsgesetz - d Durchmesser - d _k Partikeldurchmesser - d _p Porendurchmesser, Kanaldurchmesser - D Schergeschwindigkeit - D _rep repräsentative Schergeschwindigkeit - h, hydr hydraulisch (als Index) - i Zählindex, Packungsindex - j Zählindex - k Potenzgesetzkonstante - KZ Koordinatenzahl - l Länge - l ₀ Kugellagenabstand, Periodizitätsfaktor - L Höhe eines porösen Körpers - l _e,L _e effektive Länden - MK Modellkanal - n Potenzgesetz-Exponent - p Druck - P Bezeichnung für Packung - r Radius - S spezifische Oberfläche - t Zeit - V Volumen, Gesamtvolumen - V _f Hohlraumvolumen - V _s Feststoffvolumen - Volumenstrom - w Geschwindigkeit - w ₀ Anströmgeschwindigkeit - x,y,z kartesische Koordinaten - z Hauptfließrichtung - reziproke Permeabilität - Trägheitskoeffizient - _f Flächenlückengrad - _v Volumenporosität - dynamische Viskosität - _rep repräsentative Viskosität - ₂₉₃ dynamische Viskosität bei 293 K - Temperatur - Relaxationszeit - µ Umlenkfaktor - Dichte - Schubspannung - Durchmesserverhältnis - D/Dt Substantielle Ableitung - über die Fläche gemittelter oder arithmetisch gemittelter Wert einer Funktionf - f über das Volumen gemittelter Wert einer Funktionf - II _d zweite Invariante des Deformationsgeschwindigkeitstensors Erster Teil einer von der Abteilung Chemietechnik der Universität Dortmund genehmigten Dissertation; auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 8.–10. Mai 1978.Mit 27 Abbildungen und 5 Tabellen     

Interpolation formulas for maxwell viscosity of certain metals as a function of shear-strain intensity and temperature

The purpose of this study is the construction of interpolation formulas for the dependence of Maxwell viscosity, a quantity which is the reciprocal of shear-strain relaxation time , on shear-strain intensity and temperature for several metals: iron, aluminum, copper, and lead. This function was interpolated in various temperature and deformation velocity ranges in accordance with available experimental data for iron (0 10⁷ sec^–1, 200 ° T 1500 °); aluminum (0 10⁷ sec^–1, 300 ° T 900 °); copper (0 10⁵ sec^–1, 300 ° T 1300 °); lead (0 10⁶ sec^–1, 90 ° T 400 °); temperatures in °K.Translated from Zhurnal Prikladnoi Mekhaniki i Tekhnicheskoi Fiziki, No. 4, pp. 114–118, July–August, 1974.     

On flow and stability of a Newtonian fluid past a rotating plane

An exact solution is given for the steady flow of a Newtonian fluid occupying the halfspace past the plane z=0 uniformly rotating about a fixed normal axis (Oz). This solution is obtained in a velocity field of the form considered by Berker [2] and can be deduced as a limiting case, as h+, of the solution to the problem relative to the strip 0zh imposing at z=h either the adherence boundary conditions or the free surface conditions. Furthermore, the stability of this flow, subject to periodic disturbances of finite amplitude, is studied using the energy method and the result is compared with those corresponding to stability of flows in the strip 0zh.

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Sommario In questa nota si mostra che-oltre alla calssica soluzione di von Karman [1] — esiste, per opportuni valori del gradiente di pressione all'infinito, una soluzione esatta per il moto stazionario di un fluido Newtoniano posto nel semispazio limitato dal piano z=0 uniformemente rotante attorno ad un asse ad esso perpendicolare (Oz). Tale soluzione, ottenuta sulla scia del lavoro di Berker [2], si può dedurre anche come limite, per h+, della soluzione del problema relativo alla striscia 0zh quando sul piano z=h si assegnano o le condizioni di aderenza o le condizioni di frontiera libera. Si studia poi la stabilità di tale moto rispetto a perturbazioni spazialmente periodiche di ampiezza finita col metodo dell'energia e si confronta il risultato ottenuto con quelli relativi alla stabilità dei moti nella striscia 0zh.

     

On the approximate solution of elastic contact problems for a circular annulus

Paper concerns the Boussinesq and Reissner-Sagoci contact problems for a rigid punch in contact with the plane face of an isotropic elastic half-space over a circular annulusbra. It is shown that a simple combination of the interior and exterior Dirichlet and Neumann solutions for a circle, when expressed in terms of oblate spheriodal coordinates, yields extremely accurate approximate solutions provided that 0b/a0.8.     

Study of initial segment of turbulent jets of various gases in a parallel air stream

Results are presented of a study of the gasdynamic parameters and the geometric characteristics of the mixing zone of axisymmetric jets of gases of differing density (Freon-12, air, and helium) propagating in a parallel air stream, within the limits of the initial segment (0x/R3–30). Experimental data are presented on the effect of different densities (0. 27 n8.2) and velocities (0m1.7) of the gas jet and the parallel stream on the mixing process.     

Einfluß von Anströmprofil und Turbulenzintensität auf die Umströmung längsangeströmter Platten endlicher Dicke

Zusammenfassung An längsangeströmten dicken Platten löst sich die Strömung im Bereich des Anströmprofils ab und legt sich nach einer gewissen Entfernung wieder an die Platte an. Dies führt gegenüber der dünnen Platte zu signifikanten Veränderungen von Umströmung, Wärmeübergang und Druckverlust.Die Aussagen zur Umströmung werden aus örtlichen Stoffübergangsmessungen (Sc=0,616) mit Hilfe einer remissionsfotometrischen Stoffübergangsmeßmethode auf der Basis von Absorption, chemischer Reaktion und gekoppelter Farbreaktion gewonnen. Als wesentliche Einflußgrößen auf Umströmung und zugeordneten Stoffübergang sind das Anströmprofil, die Anström-Reynolds-Zahl Re_sB sowie insbesondere die Turbulenzintensität Tu zu nennen. Die Untersuchungen erstrecken sich auf Platten mit Dicken 0,8 mms91, 3 mm mit stumpfem, halbrundem und keilförmigen Anströmprofilen sowie auf längsüberströmte Kreiszylinder mit stumpfem, halbkugelförmigem und kegelförmigen Anströmprofilen. Die mit der Plattendicke s gebildete Re_sB -Zahl wurde in weiten Grenzen 10² < Re_sB < 2 · 10⁵, die Turbulenzintensität zwischen 0,8 Tu 6% variiert.Die Ergebnisse zeigen, daß sich die Umströmung dicker Platten generell in drei Hauptströmungsformen Plattengrenzschicht, Ablöseblase und Querwirbelablösung untergliedern läßt. Der Übergang von einer Strömungsform zur anderen wird durch kritische Re_sB -Zahlen erfaßt und die Abhängigkeit vom Anströmprofil über einen Profilfaktor beschrieben. Bei Ablöseblasen konnten erstmals an Platten Längswirbel nachgewiesen werden mit ihren charakteristischen Auswirkungen auf Umströmung und Stoffübergang.Dicke Platten mit Strömungsablösung lassen sich in drei Abschnitte unterteilen: 1. Profilbereich, 2 Bereich abgelöster Strömung, 3. Plattengrenzschicht ab Wiederanlegen der Strömung. Im Hinblick auf eine Berechnung des örtlichen Stoffübergangs wird die Lage des Stoffübergangsmaximums beim Wiederanlegen der Strömung — als Trennlinie der beiden letzten Plattenabschnitte — unter Einbeziehung der wesentlichen Parameter Anströmprofil, Re_sB-Zahl und Turbulenzintensität erfaßt und als Berechnungsgleichung angegeben.

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The influence of nose section and turbulence intensity on the flow around thick plates in parallel flow

The flow parallel to thick plates separates in the nose section and reattaches on the flat plate after a certain distance. Compared with the thin flat plate the flow separation with reattachement causes significant changes of flow, heat transfer and pressure drop.The informations about the flow are recieved from measurements of local mass transfer coefficients (Sc=0,616), which are fotometrically determined by light-remission. The fundamentals of the measuring technique are based on absorbed ammonia and subsequent chemical reaction with immediate color reaction. The main parameters of flow and related mass transfer are the nose of the plate, the Reynolds-number Re_sB and especially the turbulence intensity Tu. The measurements were accomplished with plates of a thickness 0.8 mm s 91.3 mm of truncated, hemicylindrical and wedge-shaped noses and with cylinders in parallel flow of truncated, hemispherical and conical noses. The Re_sB -number with the plate thickness as characteristic length was varied in a wide range between 10² < Re_sB < 2 · 10⁵, the turbulence intensity Tu between 0,8% Tu 6%.The measured results indicate, that the flow around thick plates may generally be subdivided into three main forms of the flow: boundary layer of flat plate, separation bubble and vortex shedding with reattachement. The critical Reynolds-numbers for the transition of one form to another were determined as a function of the different shapes of noses. For the first time longitudinal vortices can be observed for separation bubbles with significant influence on the flow and on the mass transfer.Thick plates with flow separation and reattachement may be subdivided into three sections: 1. the nose section, 2. the section of separated flow, 3. the section of boundary layer of flat plate downstream of reattachement. For the computation of local mass transfer rates, the position of the maximum mass transfer at the point of reattachement — the dividing line of the 2nd and 3rd section — are determined as a function of the main parameters plate nose, Re_sB -number and turbulence intensity.

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Bezeichnungen d Zylinderdurchmesser - D_A Diffusionskoeffizient von Ammoniak in Luft - K_P Koeffizient in Gl. (7) - K_Tu Koeffizient in Gl. (6) - Re_dB=U_B · d/ Reynolds-Zahl - Re_sB=U_B · s/ Reynolds-@#@ Zahl - Re_skrit1=U_B · s/ Reynolds für den Übergang von Plattengrenzschicht zu Strömungsablösung - Re_skrit2=U_B · s/ Reynolds-Zahl für den Übergang von Ablöseblase zu Querwirbelablösung - Re_xkrit=U_B · x_krit/ Reynolds-Zahl für den Übergang von laminarer zu turbulenter Plattengrenzschicht - s Plattendicke einschließlich Trägerfolie - Sh_s=_A · s/D_A Sherwood-Zahl - Tu Turbulenzintensität in % - U_B Hauptstromgeschwindigkeit im verengten Kanalquerschnitt - U Hauptstromgeschwindigkeit im freien Kanal querschnitt - mittlere turbulente Geschwindigkeitsschwankung in x-Richtung - x Koordinate in Strömungsrichtung, tangential zur Oberfläche - X_P Profillänge des Anströmprofils - x Koordinate in x-Richtung ab Profilende (Plattenbeginn) - x_max' Entfernung von Plattenbeginn bis zum Wiederanlegen der Strömung nach Strömungsablösung (Stoffübergangs-maximum) - x_min Entfernung von Plattenbeginn bis zur Stelle minimalen Stoffübergangs - x^* Koordinate in x-Richtung ab Wiederanlegen der Strömung nach Strömungsablösung - _A Stoffübergangskoeffizient (Ammoniak) - _Am mittlerer Stoffübergangskoeffizient - kinematische Zähigkeit Unter dem Titel Einfluß des Anströmprofils auf die Umströmung von Platten endlicher Dicke gekürzt vorgetragen auf der Sitzung des GVC-Fachausschusses Wärme- und Stoffübertragung am 5./6. April 1976 in Schliersee.Herrn Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. E.h. Peter Grassmann zum 70. Geburtstag am 13. August 1977.     

Natural convection in shallow enclosures with multiple conducting partitions

Laminar natural convection and conduction in shallow enclosures having multiple partitions with finite thickness and conductivity have been studied. An approximate analytical solution is obtained by using the parallel flow approximation in horizontal shallow enclosures heated isothermally at two vertical ends while adiabatic on horizontal end walls. The same problem is solved also using a finite difference formulation and the control volume method. The study covers the range ofRa from 105 to 107,A=H/L0.2, C=1/L from 0 to 0.15, and the thermal conductivity ratio of partition to fluidk _r from 10^–4 to 10¹¹. The partition numberN was varied from 0 to 5. The Prandtl number was 0.72 (for air). The results are reduced in terms ofNu as a function ofRa, k, and various geometrical parameters (A, C). The streamlines and isotherms are produced to visualize the flow and temperature fields.Es wird der kombinierte Einfluß von laminarer Naturkonvektion und Leitung in flachen Behältern mit mehreren Trennwänden endlicher Dicke und Leitfähigkeit untersucht. Eine analytische Näherungslösung läßt sich über die Parallelstromapproximation bezüglich horizontaler flacher Behälter finden, deren zwei vertikale Begrenzungswände isotherm beheizt sind, während die Horizontalflächen adiabat sein sollen. Das selbe Problem wird unter Verwendung eines Differenzverfahrens und der Kontrollvolumen-Methode gelöst und zwar für die Parameterbereiche 105 Ra 10⁷;A=H/L<0.2;>C=1/L 0.15; 10^–4k_r 1011, wobei der letzte Parameter das Verhältnis der Leitfähigkeit von Trennwand und Fluid bezeichnet. Die Zahl der TrennwändeN variierte Zwischen 0 und 5, die Prandtl-Zahl betrug 0.72 (Luft). Die Ergebnisse werden in dimensionsloser Form gemäß der BeziehungNu =f (Ra, k _r ,A, C) mitgeteilt bzw. durch Diagrammdarstellungen der Stromlinien- und Isothermenfelder veranschaulicht.Financial support from the Natural Sciences and Engineering Council Canada is acknowledged. Financial support to A. Kangni from Canadian Fellowship Program For French Speaking Countries is also acknowledged.     

Torsion of two bonded layers by a rigid disk

The problem considered in this paper describes the torsion of a homogeneous isotropic elastic layer (0zd ₁) of finite thickness d ₁, perfectly bonded to another elastic layer (-d ₂z0) of finite thickness d ₂. The problem is reduced to the solution of a Fredholm integral equation of the second kind. The solutions are given for some particular cases.

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Sommario In questo lavoro si considera il problema della torsione di uno strato elastico omogeneo ed isotropo (0zd ₁) di spessore finito d ₁, perfettamente incollato ad un altro strato elastico (-d ₂z0) di spessore finito d ₂. II problema é ricondotto alla soluzione di una equazione integrale di Freedholm del secondo ordine. Le soluzioni sono ottenute per alcuni casi particolari.

     

Internal waves generated by the turbulent wake of a sphere

Internal waves generated by the turbulent wake of a sphere travelling horizontally through a linearly stratified fluid were studied using shadowgraph and particle-streak photography. The Reynolds and internal Froude number ranges considered were 2,000 Re 12,900 and 2.0 Fi 28.0, respectively. Two quite distinct flow regimes based on the structure of the turbulent wake were identified. In one, the wake is characterized by large-scale coherent structures. In the other, the wake, as viewed on a side-view shadowgraph, grows in a roughly symmetric fashion to a maximum height and then collapses slowly; such flows are termed the smallscale structures regime.Wave lengths and maximum wave heights of the internal waves were measured as functions of Nt and Fi, where N is the Brunt-Väisälä frequency and t the time. It was found that the wave lengths scale well with the streamwise dimension of the spiralling coherent structures. The maximum amplitude of the internal waves were found to scale with the vertical dimension of the turbulent wake, upon varying the internal Froude number.     

Über den Einfluß der veränderlichen Viskosität auf die Stabilität der ebenen Kanalströmung

Zusammenfassung Der Einfluß einer veränderlichen Viskosität auf die Stabilität der ebenen Kanalströmung wird untersucht. Um den Effekt der Viskositätsänderung besonders hervorzuheben, wird ein Materialgesetz ohne Relaxationseigenschaften zugrundegelegt. Außerdem wird nur das Verhalten von ebenen Störungen untersucht. Unter der Ausnutzung der Verwandtschaft der Problemstellung mit dem newtonschen Fall können die Näherungsgleichungen vonC. C. Lin in modifizierter Form übernommen werden. Die Stabilität wird durch die Änderung des Grundprofils infolge der veränderlichen Viskosität und die differentielle Viskosität in der kritischen Schicht bestimmt.

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Summary The influence of shear rate dependent viscosity on the stability of plane channel flow is investigated. In order to demonstrate the effect of the viscosity variation a constitutive model without relaxation properties is choosen. Furthermore only perturbations in the plane of flow are investigated. Since the problem is similar to the newtonian case, the approximate equations ofC. C. Lin can be appropriately modified. The stability depends on the change of the basic profile due to shear rate dependent viscosity and on differential viscosity in the critical layer.

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Liste der wichtigsten Symbole A Dimensionslose Kennzahl: - b Stoffkonstante - h Halbe Kanalhöhe - Druckgradient - Re Reynoldszahl - Re _k Kritische Reynoldszahl - Re _k Kritische Reynoldszahl für ein newtonsches Fluid mit der Viskosität - u _g(y) Grundgeschwindigkeitsprofil - U _M Maximale Geschwindigkeit - Viskosität - Viskosität im zweiten newtonschen Bereich - _D Differentielle Viskosität - Stoffkonstante - _k Kritischer Druckgradient _k = –(dp/dx)_k - _k Kritischer Druckgradient für ein newtonsches Fluid mit der Viskosität - Dichte des Fluids Mit 8 Abbildungen     

The irrotational waves and the convergence of Levi-Civita's series

Summary The paper shows that the existence of irrotational surface waves established by an investigation of Levi-Civita may be extended till the breaking, but that it is valid when is 0,84 p 1 (and when p₁=np with n whole number). No solution is known till to day when is p<0,84 (and when is 1,00<p₁<<1,68).

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Sommario La nota estende la dimostrazione dell'esistenza di onde superficiali irrotazionali, data dal Levi Civita per una ampiezza finita ma sufficientemente piccola dimostrando l'esistenza di queste onde fino al frangimento. Tanto questa dimostrazione che quella originaria di Levi Civita sono valide finchè sia 0,84 p 1 (e quando sia p₁=np con n intero). Nessuna soluzione è nota fino ad oggi quando sia p<0,84 (e quando sia 1 p₁ 1,68).

     

Multiple Steady State Solutions Resulting From Coupling Between Mixed Convection And Radiation In An Inclined Channel

In this work, we present a numerical study of mixed convection coupled with radiation in an inclined channel with an aspect ratio B = L/H=10, and locally heated from one side. Convective, radiative and total Nusselt numbers, evaluated on the cold surface and at the exit of the channel, are presented for different combinations of the governing parameters namely, the surface emissivity (0 1), the Reynolds number (10 Re 50), the inclination of the channel with respect to the horizontal surface (0° 90°) and the Rayleigh number (Ra = 10⁵). The ratio, R = Q_C/Q_E, of the heat quantities, leaving the channel through the cold wall, Q_C, and through the exit, Q_E, is presented to identify the most favorable issue to the heat transfer in the studied configuration. The results obtained show that the flow structure is significantly altered by radiation which contributes to reduce or to enhance the number of the solutions obtained.     

Mixed convection flow in narrow vertical ducts

The mixed convection flow in a vertical duct is analysed under the assumption that , the ratio of the duct width to the length over which the wall is heated, is small. It is assumed that a fully developed Poiseuille flow has already been set up in the duct before heat from the wall causes this to be changed by the action of the buoyancy forces, as measured by a buoyancy parameter . An analytical solution is derived for the case when the Reynolds numberRe, based on the duct width, is of 0 (1). This is extended to the case whenRe is 0 (^–1) by numerical integrations of the governing equations for a range of values of representing both aiding and opposing flows. The limiting cases, || 1 andR=Re of 0 (1), andR and both large, with of 0 (R ^1/3) are considered further. Finally, the free convection limit, large with R of 0 (1), is discussed.

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Mischkonvektion in engen senkrechten Rohren

Zusammenfassung Mischkonvektion in einem senkrechten Rohr wird unter der Voraussetzung untersucht, daß das Verhältnis der Rohrbreite zur Länge, über welche die Wand beheizt wird, klein ist. Es wird angenommen, daß sich bereits eine voll entwickelte Poiseuille-Strömung in dem Rohr eingestellt hat, bevor Antriebskräfte, gemessen mit dem Auftriebsparameter , aufgrund der Wandbeheizung die Strömung verändern. Es wird eine analytische Lösung für den Fall erhalten, daß die mit der Rohrbreite als charakteristische Länge gebildete Reynolds-ZahlRe konstant ist. Dies wird mittels einer numerischen Integration der wichtigsten Gleichungen auf den FallRe =f (^–1) sowohl für Gleich- als auch für Gegenstrom ausgedehnt. Weiterhin werden die beiden Grenzfälle betrachtet, wenn || 1 undR=Re konstant ist, sowieR und beide groß mit proportionalR ^1/3. Schließlich wird der Grenzfall der freien Konvektion, großes mit konstantem R, diskutiert.

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Nomenclature g acceleration due to gravity - Gr Grashof number - G modified Grashof number - h duct width - l length of the heated section of the duct wall - p pressure - Pr Prandtl number - Q flow rate through the duct - Q ₀ heat transfer on the wally=0 - Q ₁ heat transfer on the wally=1 - Re Reynolds number - R modified Reynolds number - T temperature of the fluid - T ₀ ambient temperature - T applied temperature difference - u, velocity component in thex-direction - v, velocity component in they-direction - x, co-ordinate measuring distance along the duct - y, co-ordinate measuring distance across the duct - buoyancy parameter - ₀ modified buoyancy parameter, ₀=R ^–1/3 - coefficient of thermal expansion - ratio of duct width to heated length, =h/l - (non-dimensional) temperature - _w applied temperature on the wally=0 - kinematic viscosity - density of the fluid - ₀ shear stress on the wally=0 - ₁ shear stress on the wally=1 - stream function