某些Hermite-Fejér型算子的逼近阶

1.设ω(t)为给定的连续模,Hω={f;ω(f,t)≤ω(t)}。用P_n~(α,β)(x)(α,β>-1)表示n阶Jacobi多项式,其中P_n~((-1/2),1/2)(x)=C_n cos(2n 1)θ/2/cos θ/2(x=cosθ),这里C_n是与n有关的常数,X_k=cosθ_k=cos 2k-1/2n 1 π(k=1,…,n)是它的n个零点;P_n~(1/2,1/2)(x)=     

关于n=2情形下的V.I.Arnold问题的注记(高次奇点稳定性的讨论)

关于n=2情形下的V.I.Arnold问题,即方程dx/dt=a_1x+a_2y+α_1x~2+α_2xy+α_2y~2 dy/dt=b_1x+b_2y+β_1x~2+β_2xy+β_2y~2 (1)的零解(x=0,y=0)的稳定性问题,王联、王慕秋作了很好的工作,不仅解决了直接利用系数判定高次奇点的稳定性,而且利用Баутин的方法完满地解决了中心焦点的判     

插值多项式对函数|x|α的逼近

研究插值多项式对| x |α达到最佳逼近度的一种构造方法,证明了对n=2m,m∈N,有Fn(α)＜Ca,n/na,其中F2m(α)=max-1≤x≤1| | x |α-R2m(x)|,R2m(x)是以x0=0,xj=cos(j-1/2)π/2m(j=1,2,…,n)为插值结点的对|x |α的Lagrange插值多项式,且limn→∞Cα,n=π(a+3)+(π/2)α-1.     

关于哈尔级数

设X_n(t)(n=1,2,…)是[0,1]上的哈尔(Haar)函数系。乌里耶诺夫,高鲁勃夫曾对哈尔系作过很多研究工作。本文研究哈尔多项式对函数的逼近问题,讨论了哈尔-富里埃系数,还考虑了一类特殊的哈尔级数。借助于哈尔级数,构造出函数f(x),使f(x)属于一切L~P(0,1)(1≤P< ∞),对任何(α,β)((?)(0,1)),f(α,β)=[-∞, ∞],即若-∞≤α≤ ∞,则有t_0∈(α,β),使f(t_0)=α。 文中的部分结果,与三角级数理论相应的命题类似。     

带权逼近的正定理和逆定理

设X是周期2π的可积函数的线性子集按范数||·||_x构成的线性赋范空间.又设一切三角多项式属于空间X.对于f(X)∈X,记△_tf(x)=f(x+t)-f(x),记△_t~k=△_t…△_t(共k次)(k=1,2,…).称量ω_k(f,t)_x=(?)||△_t~kf(x)||_x为f在X中的k阶光滑模.称量E_n(f)_x=inf_(α_j,β_j)||f(x)-∑_(j=0)~n(α_jcosjn+β_jsinjx)||_x为f在X中的n阶最佳三角多项式逼近.周知,假如X是通常的[0,2π]上p次Lebesgue空间L~p,1≤P≤∞,那么成立着下面的逼近论正定理和逆定理.定理A(正定理)设1≤p≤∞,k为正整数.那么存在常数C_(k,p)使对一切n=     

对数平均的推广

记J_1(x,y)=[t(x~(t+1)-y~(t+1)]/[(t+1)(x~t-y~t)]。它有性质:J_(-1/2)(x,y)=G(x,y),J_(1/2)(x,y)=He(x,y),J_1(x,y)=A(x,y)。我们证明了J_1(x,y)关于t单调增加。同时有(?)。那么我们有不等式G(x,y)≤L(x,y)≤He(x,y)≤A(x,y)。     

一类空间自回归模型的强相合性

(∧αn,∧βn)表示在空间自回归模型Zij=αZi-1,j βZi,j-1-αβZi-1,j-1 εij中参数(α,β)的Guass-Newtor估计.根据已知的结论:当α=β=1时,{n(3/2)(∧αn-α,∧βn-β)}收敛于二元正态随机向量分布即limn{(n(3/2)(∧αn-α,∧βn-β))'}→DN2(0,Γ),其中Γ=diag(2.2).利用双参数强鞅收敛定理,可以证明:当r＜(3/2)时,nr(∧αn-α,∧βn-β)→(0-).a.e.     

P■形图的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设P_n和C_n是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S~*_(r(m+1)+1)表示rP_(m+2)的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,E■表示把P_m的一个1度点与S~*_(r(m+1)+1)的r度点重迭后得到的图,可简记为E■,δ=(r+1)m+r;设n(≥3)是奇数,λ=n+2~(-1)(n+1)δ,图P■表示把2~(-1)(n+1)E■的每个分支的r+1度顶点分别与P_n的下标为奇数的2~(-1)(n+1)个顶点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇E■∪rK_1、P■∪K_1和P■∪E■的伴随多项式的因式分解式,令n=2~(k-1)q-1,λ_k=(2~kq-1)+2~(k-1)qδ,讨论了图簇P■和P■∪(k-1)K_1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

关于Iyengar一个不等式的拓广

Iyengar,S.K.S.证得 定理A 设f(x)为[a,b]上可微函数,且|f′(x)|≤M,则 |integral from n=a to b(f(x)dx)-1/2(b-a)(f(a) f(b))|≤M(b-a)~2/4-1/(4M)[f(b)-f(a)]~2 。(1) 1979年Vasi,P.M.与Milovanovi,G.V.将(1)拓广成关于平均 A(f,p)=integral from n=a to b (p(x)f(x)dx)/integral from n=a to b (p(x)dx) (2)的不等式,其中p(x)是[a,b]上可积函数,且存在常数c>0,λ≥1适合     

求解具有重因子的多项式的修正Bairstow方法

设f(x)=sum from t=0 to n(a_ix~(n-1))(1)是n次实系数多项式,q~*(x)=(x~2-u~*x-v~*)=(x-a~*)(x-β~*)是f(x)的m≥1重因子:f(x)=[q~*(x)]~mg(x).当m=1且g(a~*)g(β~*)≠0时,从(u~*,v~*)的适当近似出发,用熟知的Bairstow方法求(u~*,v~*)时,具有二阶收敛.当m≥2时,Bairstow方法的收敛速度很慢.用Newton方法求f(x)的m≥1重因子(x-a)~m时,也有类似的结论.由于f~(m-1)(x)具有单根,因此,如能知道m的话,对f~(m-1)(x)使用Newton法,将具有二阶收敛.Carrano,F.M.对Bairstow方法作了类似的推广,并提出了一种估计重数的方法.     

一个带不确定权的积分方程组解的对称性

结合积分形式移动平面法的思想,讨论Rn上积分方程组u(x)=∫Rn|x-y|α-na(y)v(y)qdy,v(x)=∫Rn|x-y|α-nb(y)u(y)pdy的正解关于某一点的对称性和单调性,其中0αn,p,q1,p+11+q+11=n n-α,a(x)和b(x)满足一些对称性、单调性.     

以(1-x2)Un(x)的零点为节点的Hermite插值算子的收敛性

对于节点组X_n:1≥x_(1n)>x_(2n)>…>X_(nn)≥-1(n=1,2,…)(为简便计,今后记x_(kn)为x_k(k=1,2,…,n)),记ω(x)(?)ω_n(x)=c_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n), (1)l_k(x)(?)l_(kn)=ω(x)/ω’(x_k)(x-x_k),k=1,2,…,n, (2)     

Grǖnwald插值算子的加权Lp收敛速度

对以第1类Chebyshev多项式的零点为插值结点组的Grǖnwald插值多项式Gn(f,x),给出了如下的加权Lp(P＞0)收敛速度估计:[∫1 -1|Gn(f,x)-f(x)|p1/√1-x2 dx]1/p≤{Cp[ωφ(f,1/n+‖f‖/1/np],p＞1, Cp[ωφ(f,1/n+‖f‖/√n],0＜p≤1,并证明了,当p＞1时估计的阶是精确的.     

Gruenwald插值算子的加权Lp收敛速度

对以第1类Chebyshev多项式的零点为插值结点组的Grǖnwald插值多项式Gn(f,x),给出了如下的加权Lp(P＞0)收敛速度估计[∫1 -1|Gn(f,x)-f(x)|p1/√1-x2 dx]1/p≤{Cp[ωφ(f,1/n+‖f‖/1/np],p＞1, Cp[ωφ(f,1/n+‖f‖/√n],0＜p≤1,并证明了,当p＞1时估计的阶是精确的.     

一种有效的贝赛尔公式修正系数的简便计算方法

在误差理论和数据处理中 ,标准偏差σ是一个非常重要的量 ,它是由下式σ =∑ni=1δ2i/ n (1 )定义的 .由于随机误差δi =xi -x0 是相对于真值 x0 定义的 ,而真值 x0 在绝大多数情况下是未知的 ,所以通常是利用贝赛尔 (Bessel)公式S =∑ni=1v2in -1 (2 )对标准偏差σ进行估计 .(2 )式中 vi=xi -x是第 i次测量的残余误差 ,这里的 xi 是第 i次测量的测得值 ,x是 n次测量的算术平均值 .而在 n次有限测量中 ,S实际上是标准偏差σ的估计量σ.可以证明σ =bn .S, (3)其中系数 bn 为bn =n -12Γ (n -12 )Γ (n2 ). (4 )由于用 (4 )式计算系…     

一种修正的插值算子在Lpw空间中的收敛速度

本文就一种修正的以第一类Chebyshev多项式Tn(x)的零点为插值结点的f的Grunwald插值多项式算子Gn(f,x),给出了Lpw收敛速度(∫1-1 l Gn(f,x)-f(x)lpdx);≤Cp{γ2np∥f∥p+w2(f,γnp)p|,(1＜p＜∞);∫1-1 | Gn (f,x)-f(x)|dx≤C{I√n n/√n∥f∥1+w2(f,(√Inn/√n)1/2)}.     

具阻尼项的二阶非线性中立型微分方程的振动准则

建立了二阶非线性中立型阻尼微分方程[a(t)|z’(t)|^α-1z’(t)]’+b(t)|z’(t)|^α-1z’(t)+q(t)|x(σ(t))|^β-1x(σ(t))=0的若干振动准则,其中z(t)=x(t)+p(t) x(τ(t))。改进、推广和统一了已有文献的相关结果,并通过实例说明了所得准则的广泛应用效果。     

Fourier变换在球面上的限制的加权模不等式(英文)

设Tf=f|s~(n-1)是Fourier变换在单位球面S~(n-1)上的限制,对于1≤q≤2≤p<∞,本文给出了使加权不等式 integral from n=s~(n-1)|Tf|~qdθ)~(1/q)≤C(integral from n=R~n|f(x)|~p|x|~adx)~(1/p)成立的充要条件是n(p-1)>a>((n+1)/2)p-n。     

关于截尾U一统计最的Chernof f型大偏差

设M_(nαβ)=(1-α-β)~(-m)(?)和M_(nαβ)=(1-α- β)~(-m)(?)为截尾U-统计量,本文首先给出U-统计量的Chernoff型大偏差的结果,利用它我们得到截尾U-统计量的Chernoff型大偏差.这里所采用的方法为a.s.表示.     

关于复数阶蔡查罗求和法的求和因子

We say thatu_n is summable(C,a)to sum s,ifwherewhen a is a complex number,σ_n~a can be still defined as above.For Rea>0,Cesaro means(C,a)is regular.When I_ma_1I_m a_2,Re a_2>Re a_1>-1,any serieswhich is summable(C,a_1)is summable(C,a_2).If Rea_1=Rea_2,I_ma_1I_ma_2 and a_1,a_2-1,-2,…,it is known that there exists a series which is summable(C,a_1)but not summable(C,a_2).The object of this note is to find all convergence and summability factors inorder that the seriesu_k is summable(C,β)wheneveru_k is summable(C,a)a and β are any two complex numbers.For a real convex sequence{f_k},theproblems in the case a=0,β=iτ;a=1,β=1+iτ have been solved by volkof(3).I should like to discuss more general case for the generalized convex sequen-ce.We say that the sequence{f_k}is generalized convex,ifThe following theorems are proved.THEOREM 1.Let α,β be any two given complex numbers with 1>Re α=Re β>-1,I_m,αI_mβ and suppose that{f_k}is a generalized convex sequence.The neeesary and sufficieng condition forf_ku_k being summable(C,β)wheneveru_k is summable(C,α)is that f_n=0(1). THEOREM 2.Let α,β be any two given complex numbers with 1>Re α>max(Reβ ,1/2 R_e β—(1/2)),I_m αI_mβ,furthermore α,β-1,-2,…,and supposethat{f_k}is a generalized convex sequence.The necessary and sufficient conditionforf_k u_k being summable(C,β)wheneveru_k is summable(C,α)is thatTHEOREM 3.Let a and β be any two given complex numbers withand suppose that{f_k}is a generalized convex sequence.The necessary andsufficient condition foru_k being summable(C,α)wheneverf_k u_k is summable(C,β)is that|f_n|≥M>0for all n=0,1,2,…M-constant.THEOREM 4.Let α,β be any two given complex numbers withand suppose that{f_k}is a generalized convex sequence.The necessary andsufficient condition foru_k being summable C,α)wheneverf_ku_k is summable(C,β)is that|f_n|≥Mn~(Re(β-α))for all n=0,1,2,… M— constant.