談一題多解

本文試图对一个习題多种解法的問題,作比較系統的分析,供研究这一問题的老师們参考。一、一个习題为什么存在多种解法? 解答数学习題的方法是根据題里的式子或几何图形間的联系而得出的。由于有些习題里的式子或几何图形間的联系是多种多样的,这就决定了一个习題可以有多种解法。例如用图象解方程 x~2-2x-2=0.在这个习題里,方程x~2-2x-2=0与函数y=x~2-2x-2有联系,与函数y=x~2,y=2x-2也有联系。根据这两种联系,就可以得出两种不同的解法: (1)方程x~2-2x-2=0的根是使y=x~2-2x-2函数值为零的自变量x的值。根据这种联系,可得如图1的解法。 (2)方程x~2-2x-2=0的根,是使两个函数y_1=x~2和y_1=2x 2的值相等时自变量x的值。根据这个联系,可得如图2的解法。     

談数学綜合性題的練习

在中学高年級的数学教学中,对于綜合性题的练习,随着全国数学教學貭量的提高,已經更加引起数学教师的重视,无論是为了教育或教养的意义,大家认为它益发显出能促进巩固概念、启发思維和提高解題能力与熟练技巧的作用,因为当学生处理綜合性的綜习时,可以較好地把数学各科間的一些概念、定理、法则和公式等联系起来,加以应用,从而使学生能够进一步加深对于这些概念、定理、法則和公式等的理解与掌握。同时在考虑选择解法与步驟时,也正可以較好地培养学生的思維能力。近年來,在貫彻党的教育方針,进行教学改革中,我們在数学教学时,适当地配合一些綜合性的例題与习題,作了初步尝試。現将我们的做法和体会,提供同志们研究討論,并請予以指正。一、配备綜合性例題习题应該有計划有目的地进行 給学生配备综合性例題或留这类作业练习,是很受学生欢迎的,不过我們在教学中应当有目的有計划地进行,否則会打乱教材系統,或者影响教学进度計划。我们是依照以下几个方面来进行的:     

关于培养学生解題的基本技能和技巧

培养学生解題的基本技能和技巧,是数学教学中一項重要任务。只有不断地提高学生的解題能力,能正确、迅速、合理地解答問題,才能适应学生今后从事生产、工作或继續深造的需要。可是在学生演算的习題中常发現形形色色的錯誤。如常見的錯誤有:     

談一個求極限的問題

<正> 中國科學二卷四期有華羅庚先生的一篇文章,題為“一個求極限的問題”,其結果如下: 命ω(u)為u的實變函數,當u≥1時其定義如次:     

略談产生“忽視特例”的原因及防止的方法

(一) 解方程a~2x=0(a是实数)。解∵任何实数的平方为正数,∴x=0。 (二) 什么有理数与无理数的积是有理数? 答:因为一切有理数与无理数的积都是无理数。沒有一个有理数与无理数的积是有理数。中学生在邏輯思維方面有一个具有一定普遍性的缺陷:在研究多个对象組成的整体的性质时,常常把“很大部分是”和“常见的部分是”錯誤地当成了“都是”;或者把“很小部分是”和“常見部分不是”錯誤的断言为“不是”。上面两題的解答,正是这类錯誤的实例。这类錯誤,可名之曰:“忽視特例”。此处“特例”一詞,有双重意义,就数量言,它指个別对象的性貭;就接触情况言,它指很少接触的对象的性貭。分析一下学生“忽视特例”的原因,研究一下防止学生“忽视特例”的办法,在提高教学貭量,培养学生邏     

略談几何証明的邏輯联系

中学几何的理論与初等邏輯(形式邏輯)紧密地联系着。关于邏輯学中的名詞术語,一般不宜在几何課中向学生介紹,但对于教师本身来說,应当不断加强邏輯理論的修养,才可能有效地培养学生的邏輯思維,提高他們的推理論証能力。本文試从以下几个方面簡要地談談邏輯的証明在几何証明中的体現。一、証明的涵义与結构人們对于客观事物的属性的肯定或否定的思維形式叫做判断。引用其他真确的判断來証实某一判断的真确性,叫做对于这一判断的証明(本文前后所称証明同此义)。几何教材中便是引用前面的定义、公理、定     

也談中学初等几何課的設置問題

本刊1964年第11期发表了莫绍揆同志关于中学初等几何课设置问题的文章,提出了当前中学初等几何课存在的问题、产生问题的原因及解决问题的建议。莫同志对中学数学教学是热情关切的,提出的问题一部分也是中肯的。但总的说来,莫同志在文中对问题的分析以及由此作出的结论还是值得商榷的。目前中学初等几何课的确部分地存在着“先难后易”等缺点,既不能很好地完成训练学生空间概念方面的任务,又不能很好地完成训练学生逻辑推理能力的     

关于解題能力的培养

中学数学的教学目的之一是:“培养学生的运算能力,逻辑思维能力和空间想象能力,以逐步形成运用数学知识来分析和解决实际问题的能力.”此由看来,三种基本数学能力的培养,和形成解决问题的能力有密切关系。解题是使学生牢固掌握数学基础知识和基本技能的重要手段,是培养能力发展智力的有效途径.解题过程能培养学生辩证的思维方     

在高三代数教学中提高学生解題的基本技能的点滴体会

解題基本技能的培养是数学教学的經常性任务,要很好地完成这一任务,教师必須努力不懈地进行一系列的細致的工作。近年来,我在学习和在高三代数的教学实践中关于提高学生解題基本技能方面有几点粗浅的体会和做法,茲写在下面,祈指正。一、在备課中深鉆教学大綱和教材,明确每一单元基本技能的要求要經常而有效地进行基本技能的培养,关鍵就在于教师首先深鉆教学大綱和教材,明确每一单元教材內容的基本技能的要求,然后才能做到心中有底且有計划地貫彻于教学过程和課外工作中。例如在不等式一章中的第一个部分不等式这一单元教材的基本技能,我通过鉆研,在单元計划中提出了如下要求:使学生在彻底理解不等式的基本性貭和同解不等式的定理的基础上,能严密地正确地証明不等式、准确地求出极值和合理地解一元一次不等式与不等式組。具体来說,就是:     

再談关于使用計算尺进行乘除时的定位問題

数学通报1957年8月号登載了管仲希同志的“計算尺使用方法”一文,文中介紹了計算尺的各部名称、尺度的刻法及使用方法,但該文談到关于使用計算尺进行乘除的定位方法时說:“心算法定位用慣了以后比較快,并可养成习惯来校正刚做好的計算,可以及早发現錯誤,免得在冗长的計算中錯誤一直存留到最后才发現。定位除心算估計外,还有另一种比較繁复的法則,但因沒有什么实用价值,故从略。”(p.13)同頁中談到关于(7)連續乘除时只应用了C,D尺度。1958年数学通报2月号,又发表了葛云书同志“关于使用計算尺进行乘除时的定位問題”一文,該文又只介紹了使用C,D尺进行乘除的定位方法。     

学生解代数证明题困难的原因分析

在中学数学教学中,证明题特别是代数证明题占有较大的比例,无论是现行教材还是新课程标准教材都十分重视代数证明的教学.究其原因,是因为数学证明具有良好的教育功能.通过数学证明的教学不仅能促进学生数学知识的理解和掌握,数学技能的熟练和提高,而且能培养学生的数学思维能力、数学交流和数学发现的能力,并能进一步培养学生的理性精神.代数证明题是数学证明的表现形式之一,它具有数学证明的所有功能,同时还具有其独特的功能及重要作用,如培养学生的运算能力,形成与发展学生的函数与方程的思想、分类讨论思想以及数形结合思想等.     

如何培养和提高学生解几何題的技能和熟練技巧

“几何題实在难作”,“几何作業做了兩个小时多还沒完成”,“上課听的滿懂,可是难一点的題就不会作”………这些是我們时常可以听到的学生的反映。学生課后不会作題,或者花費过多的时間去完成作業,这不但影响了教学質量,也影响了学生的学習时間和休息时間。教师並不是在課堂上把所教的部分講解清楚就算完成任务了,应該使学生对所講的知識有充分     

最优分层問題(或量化問題)的漸近解

<正> §1.引言 晚近提出了一种新的調制方式——脉冲編碼調制(PCM),它較其他調制方式有一系列的优点. 脉冲編碼調制的过程是一个把連續信号离散化的过程.离散化分两步进行:抽样和分层(或称量化). 抽样的作用在于使連續的信号函数{x(t):-∞相似文献   

漫談第一届全俄数学竞賽的几个題目

1961年三月底在莫斯科举行了第一屆全俄数学竞賽,这次竞赛的題目非常有趣,大部分題目都不要求中学数学課程以外的东西,所要求于学生的是比較丰富的想象分析能力和一定的解題技巧。本文只想围繞十年級的竞賽題讲解几个有趣的数学問題。另外还推荐同志們自己回家去做几道題。Ⅰ首先,我們来解第一題。 題1.设有三个由自然数組成的无穷敍列     

略談通过問、議、讲、看、練的教学方式启发学生思維

在教学工作中,采用启发式的教授法,废止注入式的教授法,正如人民日报1964年4月11日社论所指出的:“这是培养坚强的革命后代,培养生气勃勃的无产阶级战士所必需的。”我在本期的教学实践中,感到了解了两个实际,确立了重点难点之后,课堂教学中,采用问、议、讲、看、练五种方式进行,是有利于调动学     

談当前高三学生的数字运算能力

一、情况严重目前我們的高三学生在数字运算方面,存在着极其严重的問題。主要表現在: (1) 运算方法不合理。例如某生在解“将三个直径分别为6cm,8cm,和10cm的三个小球熔成一个大球,試求大球直径”。一題时,他作出了如下的解答: 設三个小球体积分別为V_1,V_2,和V_3。大球为V; V_1=4/3πr_1~2=4/3×3.14×3~3=110.14, V_2=4/3πr_2~3=4/3×3.14×4~3=265.813, V_3=4/3πr_2~3=4/3×3.14×5~3=145.37, ∵ V=V_1+V_2+V_3, ∴ 4/3πr~3=110.14+265.813+145.37=     

在相似形一章的教学中培养学生解題的技能技巧的体会

在相似形一章中,通过三角形内角的平分减的件质耕授,对于坛养学生解题的技能技巧能起很大的作用.现在靛明如下. 兰角形内角的平分隆,分对边成两条钱段,伙两条获段和夹达角的两边成比例. 已知:在△汉刀C中,匕刀汉D“匕D俘c,之D交刀c于D.城上去,那末就可使用平行佼截得此例液段定理来解抉.因儿在另一条钱段B汉的延夫珑上截取J召使它薄于汉c,这才农拢仍只耍求征丑ODC肪可以了。耍征明些DC竺兰才石四此只耍征明乙BAD=,只耍征明刁D!1 CE就可以,乙石￡C,或者匕D才C=乙才CB 刀D DC三三注C 分析(1):如图1,把所要征明的比例钱段分别在图上…     

提高初二学生証題能力的体会

初学几何証明題的困难究竟在哪里?从学生的反映,作业中发現的問題以及平时观察了解,不外有下列几点: 1.缺乏叙述問題的能力。当学生初接触几何証明,就会感到这种証明的叙述过程不同子在算术或代数里的解題方法,不习慣于层层推理論証,叙述吋詞語不通,例如把“以A点为圓心,4cm为半径作弧交CE于B”。叙述成:“以A点为圆心,半径4cm为弧到B”。往往用冗长的文字叙述代替用数学符号来表达問題。对于常用的詞,如相同与相等、平分与平均、含有与具有等往往区别不清。 2.概念不清,表达錯誤。我們常見学生把△ABC三内角和等于180°写成△ABC=180°;把图1中的∠BDC和∠CEB写成∠D和∠E,或写成∠1和∠2(图中未标∠1,∠2);分不清三角形的高与垂綫;     

二元高次联立方程的解的个數問題

本文所談的問題,是有不少讀者感到兴趣的。謝邦傑同志將他最近求得的一个新証明寫出來,介紹給讀者。这个証明是比較初等的,謝同志又將为了讀懂他的証明所需要的一些抽象代數中的知識適当地加以通俗化,这样对於一般讀者就更为方便,所以我們特別在此向讀者推薦这篇文章,在中学裹,講这个單元的教材是在第二学期,我們为了向志們有充分的時間学習它,所以提前在本期發表。     

我对講解算术应用問題的一点体会

初一学生,有时常常这样反映:算术应用問題难,遇到一道题,找不到解題的途径,无从下手;有的对某些应用問題,虽然会解,但不会讲解道理,因此缺乏判断解法是否合理的能力;有的不会分析已知条件和未知条件之間的数量关系,乱套公式,以致造成錯誤。我觉得产生这种情况的主要原因是学生缺乏独立思考的能力,这反映了在我过去的教学中,过多地注意了如何教懂学生,而疏忽了如何教会学生。另一方面也反映了学生对一些基本知識掌握得不透彻。事实上,任何一个較复杂的应用題,經过分析可以看出它是若干簡单問題的綜合,只要让学生学会分析,掌握規律,那末他們就会举一反三地去解决他們所遇到的一些問題。当我认識到这些后,在教学中作了改进,学生的解題能力有了一些提高。下面簡单地談談我讲解一个应用問題的过程: 甲用每小时4.25公里的