A posteriori analysis of the finite element discretization of some parabolic equations

We are interested in the discretization of parabolic equations, either linear or semilinear, by an implicit Euler scheme with respect to the time variable and finite elements with respect to the space variables. The main result of this paper consists of building error indicators with respect to both time and space approximations and proving their equivalence with the error, in order to work with adaptive time steps and finite element meshes.

RÉSUMÉ. Nous considérons la discrétisation d'équations paraboliques, soit linéaires soit semi-linéaires, par un schéma d'Euler implicite en temps et par éléments finis en espace. L'idée de cet article est de construire des indicateurs d'erreur liés à l'approximation en temps et en espace et de prouver leur équivalence avec l'erreur, dans le but de travailler avec des pas de temps adaptatifs et des maillages d'éléments finis adaptés à la solution.

     

Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture

Given an Iterated Function System (IFS) of topical maps verifying some conditions, we prove that the asymptotic height optimization problems are equivalent to finding the extrema of a continuous functional, the average height, on some compact space of measures. We give general results to determine these extrema, and then apply them to two concrete problems. First, we give a new proof of the theorem that the densest heaps of two Tetris pieces are sturmian. Second, we construct an explicit counterexample to the Lagarias-Wang finiteness conjecture for the joint spectral radius of a set of matrices.

RÉSUMÉ. Etant donné un système itéré de fonctions (IFS) topicales, vérifiant certaines conditions, nous montrons que les questions d'optimisation asymptotique de la hauteur sont équivalentes à la recherche des extrema d'une fonctionnelle continue, la hauteur moyenne, sur un certain espace compact de mesures. Nous présentons des résultats généraux permettant de déterminer ces extrema, puis appliquons ces méthodes à deux problèmes concrets. Premièrement, nous redémontrons que les empilements les plus denses de deux pièces de Tetris sont sturmiens. Deuxièmement, nous construisons un contre-exemple effectif à la conjecture de finitude de Lagarias et Wang sur le rayon spectral joint d'un ensemble de matrices.

     

On the absolutely continuous spectrum of one-dimensional quasi-periodic Schrödinger operators in the adiabatic limit

In this paper we study the spectral properties of families of quasi-periodic Schrödinger operators on the real line in the adiabatic limit in the case when the adiabatic iso-energetic curves are extended along the position direction. We prove that, in energy intervals where this is the case, most of the spectrum is purely absolutely continuous in the adiabatic limit, and that the associated generalized eigenfunctions are Bloch-Floquet solutions.

RÉSUMÉ. Cet article est consacré à l'étude du spectre de certaines familles d'équations de Schrödinger quasi-périodiques sur l'axe réel lorsque les variétés iso-énergetiques adiabatiques sont étendues dans la direction des positions. Nous démontrons que, dans un intervalle d'énergie où ceci est le cas, le spectre est dans sa majeure partie purement absolument continu et que les fonctions propres généralisées correspondantes sont des fonctions de Bloch-Floquet.

     

Orbifolds and analytic torsions

In this paper, we calculate the behavior of the Quillen metric by orbifold immersions. We thus extend a formula of Bismut-Lebeau to the orbifold case.

R´ESUMÉ. Dans cet article, on calcule le comportement de métrique de Quillen par immersions d'orbifold. On étend ainsi une formule de Bismut-Lebeau au cas d'orbifold.

     

La transition vers l'instabilité pour les ondes de choc multi-dimensionnelles

We consider multi-dimensional shock waves. We study their stability in Hadamard's sense, following Erpenbeck and Majda's strategy. When the unperturbed shock is close to a Lax shock which is already -d unstable, we show, under a generic hypothesis, that it cannot be strongly stable. We also characterize strong instability in terms of a sign of an explicit quadratic form. In most cases, the instability under 1-d perturbations, which occurs for exceptional shock waves, characterizes a transition between weak stability and strong instability in the multi-dimensional setting.

RÉSUMÉ. Nous considérons la stabilité des ondes de choc multi-dimensionnelles, en suivant la stratégie d'Erpenbeck et Majda. Lorsque le choc non perturbé est proche d'un choc de Lax longitudinalement instable, nous montrons, moyennant une hypothèse générique, que des ondes de surface sont présentes, empêchant ainsi la stabilité forte. Nous donnons aussi un critère d'instabilité forte en termes de signe d'une certaine forme quadratique. L'instabilité -d d'un choc est en général facile à établir, car elle revêt un caractère exceptionnel. Elle apparaît comme une transition entre la stabilité faible et l'instabilité dans le contexte multi-d.

     

The dynamics of pseudographs in convex Hamiltonian systems

We study the evolution, under convex Hamiltonian flows on cotangent bundles of compact manifolds, of certain distinguished subsets of the phase space. These subsets are generalizations of Lagrangian graphs, which we call pseudographs. They emerge in a natural way from Fathi's weak KAM theory. By this method, we find various orbits which connect prescribed regions of the phase space. Our study was inspired by works of John Mather. As an application, we obtain the existence of diffusion in a large class of a priori unstable systems and provide a solution to the large gap problem. We hope that our method will have applications to more examples.

RéSUMé. Nous étudions l'évolution, par le flot d'un Hamiltonien convexe sur une variété compacte, de certains ensembles de l'espace des phases. Nous appelons pseudographes ces ensembles, qui sont des généralisations de graphes Lagrangiens apparaissant de manière naturelle dans la théorie KAM faible de Fathi. Par cette méthode, nous trouvons diverses orbites qui joignent des domaines donnés de l'espace des phases. Notre étude s'inspire de travaux de John Mather. Nous obtenons l'existence de diffusion dans une large classe de systèmes à priori instables comme application de cette méthode, qui permet de résoudre le probleme de l'écart entre les tores invariants. Nous espérons que la méthode s'appliquera à d'autres exemples.

     

Estimations des solutions de l'équation des ondes sur certaines variétés coniques

We prove R. Strichartz's estimates for solutions of the wave equation on some conical manifolds. RÉSUMÉ. On prouve des estimations pour les solutions de l'équation des ondes, analogues aux estimations de R. Strichartz, sur certaines variétés coniques.

     

Sur l'ideal d'ordre des operateurs AM-compacts

We give different necessary and sufficient conditions so that the space of AM-compact operators is an order ideal and we deduce some consequences. R´ESUME. Nous donnons différentes conditions nécessaires et suffisantes pour que l'espace des opérateurs AM-compacts soit un idéal d'ordre et nous déduisons quelques conséquences.

     

Construction de certaines opérades et bigèbres associées aux polytopes de Stasheff et hypercubes

Stasheff polytopes, introduced by Stasheff in his study of -spaces, are linked to associativity. The direct sum of their cellular complexes is the underlying complex of the operad which describes homotopy associative algebras. In particular, there exists a quasi-isomorphism .

Here, we define on the direct sum of their dual cellular complexes the structure of a differential graded operad. This construction extends the dendriform operad of Loday, which corresponds to the vertices of the polytopes. We also define the structure of a differential graded operad on the direct sum of the dual cellular complexes of the hypercubes. We define a quasi-isomorphism from to each of these operads.

We also define non-differential variants of the two preceding operads and a morphism from to each of these operads. We show that the free algebras have a coproduct which turns them into bialgebras.

RÉSUMÉ. Les polytopes de Stasheff, introduits pour l'étude des -espaces, sont liés à l'associativité. La somme directe de leurs complexes cellulaires forme le complexe sous-jacent à l'opérade qui décrit les algèbres associatives à homotopie près. En particulier, il existe un quasi-isomorphisme .

Ici, on munit la somme directe des duaux de leurs complexes cellulaires d'une structure d'opérade différentielle graduée. Cette construction généralise l'opérade des algèbres dendriformes de Loday, qui correspond aux sommets des polytopes. On munit aussi la somme directe des duaux des complexes cellulaires des hypercubes d'une structure d'opérade différentielle graduée. On définit un quasi-isomorphisme de dans chacune de ces deux opérades.

On construit également des variantes non différentielles des deux opérades précédentes. On définit un morphisme de dans chacune de ces opérades et on montre que les algèbres libres sont munies d'un coproduit coassociatif qui en fait des bigèbres.

     

Généralisation du critère de Beurling-Nyman pour l'hypothèse de Riemann

Nous généralisons dans cet article le critère de Beurling-Nyman, qui concerne la fonction de Riemann, à une large classe de séries de Dirichlet. Nous établissons donc une correspondance entre la densité d'un certain sous-espace de fonctions dans et la localisation des zéros d'une série de Dirichlet. Nous utilisons pour obtenir ce résultat la structure de l'espace de Hardy du demi-plan.

ABSTRACT. We generalise Beurling-Nyman's criterion, already known for the Riemann function, to a larger class of Dirichlet series. We reveal a link between the density of some subspace of functions in and the localization of the zeros of a Dirichlet series. To do so, we use the structure of the Hardy space of the half-plan.

     

Localisation homotopique et tour de Taylor pour une catégorie abélienne

On indique comment une sous-catégorie colocalisante d'une catégorie abélienne induit une localisation dans la catégorie dérivé. Ceci permet une nouvelle construction de la tour de Taylor d'un foncteur à valeur dans une catégorie de module.

     

Une infinité de structures de contact tendues sur une infinité de variétés

V de dimension trois, tout champ de plans tangents est homotope à une structure de contact, c'est-à-dire – dans le cas d'un champ orientable – au noyau ξ d'une 1-forme α dont le produit extérieur avec dα ne s'annule pas. Plus tard, les travaux de D.Bennequin [Be] puis de Y. Eliashberg [El1] ont conduit à ne retenir comme géométriquement intéressantes que les structures de contact dites tendues, c'est-à-dire telles qu'aucun disque plongé dans V ne soit tangent àξ en tous les points de son bord. En outre, Y. Eliashberg [El2, El3] a prouvé qu'un certain nombre de variétés –à savoir D ³, R ³, S ³, S ²×S ¹ et S ²×R– portent une seule structure de contact tendue, ce qui l'a amenéà conjecturer qu'une variété close orientable ne pouvait admettre qu'un nombre fini de structures tendues à isotopie près [El2, Conjecture 8.6.1]. Cependant, cette conjecture s'est vite révélée fausse sur le tore T ³ [Gi2, Gi3, Ka, Th] et le but du présent article est de montrer que toutes les variétés orientables fibrées en tores au-dessus du cercle (donc une infinité de variétés de dimension trois) portent une infinité de structures de contact tendues deux à deux non conjuguées. Oblatum 14-V-1998 & 11-lX-1998 / Published online: 28 January 1999     

L'Università e le scuole per gli ingegneri a Ferrara

Riassunto L'origine dell'insegnamento pubblico per ingegneri e architetti a Ferrara; la formazione culturale dell'ingegnere nell'ambito dell'Università (1771–1804); la Scuola di Idrostatica nel periodo napoleonico (1804–1815); La Scuola degli Ingegeri pontifici (1817–1819); la Scuola speciale di Idraulica della Pontificia Università di Ferrara (1840–1859); la questione delle Scuole per Ingegneri a Ferrara dopo l'unità d'Italia.

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Résumé L'origine de l'enseignement publique pour les ingénieurs et les architectes à Ferrare, la formation culturelle des ingénieurs dans l'Université (1771–1804); la ?Scuola di Idrostatica? (1804–1815); la ?Scuola degli Ingegneri pontifici? (1817–1819); la ?Scuola speciale di Idraulica? (1840–1859); la question des écoles pour les ingénieurs à Ferrare après l'unité nationale.

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Lavoro eseguito con contributo del Ministero della Pubblica Istruzione.     

Sulla ergodicità delle funzioni di una variabile aleatoria

Riassunto Dato uno spazio di probabilità (Ω.F,m) ed una trasformazioneT di Ω in Ω, si studiano alcune proprietà ergodiche della trasformazione indotta da una variabile aleatoria sul suo codominio. Si dà una condizione necessaria perchè sia ancora ergodica ogni funzione di una variabile aleatoria ergodica assegnata. Si stabilisce una condizione sufficiente per la ergodicità di una variabile aleatoria.

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Résumé Etant donné un espace de probabilité (Ω,F,m) et une applicationT mesurable de Ω dans Ω, on étudie certaines propriétés ergodiques de la application induite par une variable aléatorie sur son image. On donne une condition nécessaire pour que la fonction composée d’une variable aléatoire ergodique soit encore une variable aléatorie ergodique. On établit une condition suffisante pour l’ergodicité d’une variable aléatoire quelconque.

     

Sul principio esteso delle probabilità totali

Riassunto Data una funzione φ finitamente additiva in un reticolo ℜ relativamente complementato di sottoinsiemi di un insiemeS, viene studiato il problema, utile in questioni di Calcolo delle probabilità, di stabilire delle condizioni, da imporre al reticolo ℜ, che assicurino l’esistenza di un sotto-reticolo relativamente complementato ℜ′ di ℜ, tale che la restrizione di ℜ a ℜ′ sia numerabilmente additiva.

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Résumé Etant donnée une fonction réelle finitement additive dans un treillis ℜ d’ensembles relativement complémenté, nous étudions le problème, utile en Calcul des probabilités, d’établir des conditions sur la structure de ℜ, suffisantes à assurer l’existence d’un sous-treillis ℜ′ de ℜ relativement complémenté, tel que la restriction de φ à ℜ′ soit dénombrablement additive.

     

On Schönhage's algorithm and subquadratic integer gcd computation

We describe a new subquadratic left-to-right GCD algorithm, inspired by Schönhage's algorithm for reduction of binary quadratic forms, and compare it to the first subquadratic GCD algorithm discovered by Knuth and Schönhage, and to the binary recursive GCD algorithm of Stehlé and Zimmermann. The new GCD algorithm runs slightly faster than earlier algorithms, and it is much simpler to implement. The key idea is to use a stop condition for HGCD that is based not on the size of the remainders, but on the size of the next difference. This subtle change is sufficient to eliminate the back-up steps that are necessary in all previous subquadratic left-to-right GCD algorithms. The subquadratic GCD algorithms all have the same asymptotic running time, .

     

Problèmes de modules pour les formes différentielles singulières dans le plan complexe

Resumé On considère des équations de Pfaff holomorphes à l’origine de ℂ², ω=a(x, y)dx +b(x, y)dy. Sous des hypothèses génériques, portant sur le premier jet non nulω _v deω, on décrit explicitement l’espace des modules de ω pourv petit. On s’intéresse aussi aux formes rigides et aux problèmes sous-jacents à ce type de question, notemment l’invariance topologique de l’holonomie projective.

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We consider holomorphic Pfaffian equations ω=a(x, y)dx +b(x, y)dy. Under generic assumptions on the first significant jet of ω, we describe the space of moduli for Pfaffian equations of small order. Problems of rigidity and topological invariance of projective holonomy are also studied.

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Une partie de ce travail a été réalisé lors d’un séjour du premier auteur à l’IMPA de Rio et à l’Université Fédérale du Minas Gerais. Ceci grace au concours du CNPQ (Brésil) et du Ministère des Relations Extérieures (France).