圆锥曲线统一定义的应用

椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们表示到定点F和定直线l的距离的比是一个常数e的点M的轨迹.当01时,点M的轨迹是双曲线;当e=1时,点M的轨迹是抛物线.其中定点F叫做焦点;定直线l叫做准线;定比e叫做离心率.这样的     

如何确定离心率的范围

圆锥曲线的第二定义是:平面内动点M到定点F的距离和到一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹是圆锥曲线．当01时,动点M的轨迹是双曲线,当e=1时,动点M的轨迹是抛物线．求椭圆与双曲线离心率的范围是高考的一类题型．下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围．     

圆锥曲线统一定义及其统一极坐标方程

圆锥曲线统一定义及其统一极坐标方程戴书铭，陈炆（吉林前郭五中）唐吾【基本概念】１．椭圆、双曲线、抛物线可统一定义为：与一个定点（焦点Ｆ）的距离和一条定直线（准线ｌ）的距离之比等于常数ｅ的点的轨迹．（１）当０＜ｅ＜１时是椭圆；（２）当ｅ＞１时是双曲线；...     

圆锥曲线的另一分类标准

我们知道,平面内到定点F的距离与到定直线l(点F不在l上)的距离的比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线,记为Γ,这里定点F为其焦点,定直线l为与F对应的准线,常数e为其离心率.根据离心率e的不同的取值范围,可以将Γ划分为椭圆、双曲线、抛物线三类:当0＜e＜1时,г为椭圆;当e＞1时,Γ为双曲线;当e=1时,Γ为抛物线.本文从圆锥曲线г在焦点弦端点处的两切线所成角的范围出发,给出圆锥曲线的另一个分类标准.     

圆锥曲线的几个统一性质

椭圆、双曲线、抛物线有统一定义：到一定点的距离与到一定直线的距离之比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线．当0〈e〈1时,圆锥曲线是椭圆;当e=1时,圆锥曲线是抛物线;当e〉1时,圆锥曲线是双曲线．     

由圆生成圆锥曲线

众所周知,圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹:当01时为双曲线.有趣的是,在圆中,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线,有如     

用圆锥曲线的统一定义求其标准方程

在人民教育出版社出版的《六年制重点中学高中数学课本》中把椭圆、双曲线、抛物线统一定义为:与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹。当01是双曲线;e=1     

从统一方程看椭圆 抛物线和双曲线之间的联系

从统一方程看椭圆抛物线和双曲线之间的联系田蓉（北京职工医学院１０００３６）众所周知，椭圆、抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点距离与到定直线距离之比是常数的动点轨迹，在通常的解析几何教材中，只是在极坐标下按这个定义给出统一方程，却没有再从方程出发而作...     

圆锥曲线统一定义与统一方程中若干问题释疑

关于圆锥曲线统一定义与统一方程的教学设计,有些书刊已提出了较好的参考意见。但就教材以及一些数学资料中对此问题的理解却仍有必要探究与商榷,部分教师和很多学生出现的一些模糊看法也有必要澄清。 1.圆锥曲线统一定义的严密性高中数学教材重点中学甲种本《平面解析几何》第174页给出了椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的统一定义,即平面上“与一个定点(焦点(F))的距离和一条定直线(准线(l))的距离的比等于常数e的点的轨迹,当01是双曲线;e=1是抛物线。 (1)对抛物线来说,仅仅强调e=1是不够的,还应强调定点F一定不在定直线L上,     

圆锥曲线的性质相关性

圆锥曲线的性质相关性邹楼海，余炯沛（黑龙江绥滨一中）（北京师大数学系１００８７５）椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说三种曲线是统一的．从轨迹的观点看，三种曲线都是到定点和定直线ｌ的距离之比等于常数ｅ的点的轨迹，只是由...     

离心率与辩证法

数学中处处隐含着辩证法,钻研愈深,感觉愈美.引导学生体尝此中真味,定能大大提高其数学素质.下面是我由离心率的变化所引起的一点思考.我们知道,利用“到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e的动点的轨迹”作定义,椭圆、双曲线和抛物线就统一到了一起.而当e→0时,令a为定值,     

二次曲线离心率e与曲线形状的关系

我们知道,在平面上引入直角坐标系以后,取定一个点F,再取一定直线l(点F不在直线l上),如果动点P到定点F的距离与到定直线l的距离的比等于常数e(e叫离心率),则动点P的轨迹是二次曲线;当e<1、e=1或e>1时,曲线分别是椭圆、抛物线或双曲线,可见由于离心率e值的不同,三种曲线在形状上有较大的差异,现在我们很自然地提出     

在创新思想指导下编制的一道解析几何开放题

椭圆、双曲线第一定义 :平面上到两个定点F1,F2 距离之和等于常数 ( >|F1F2 | )的动点的轨迹叫椭圆 ,两距离之差的绝对值等于常数 ( <|F1F2 | )的动点的轨迹叫双曲线 .圆锥曲线第二定义 :平面上到定点的距离与到定直线的距离的比等于常数e的动点的轨迹叫… ,换言之 :平面上到定点F的距离与定直线l的距离的e倍相等的点的轨迹叫… .在创新思想指导下 ,将第一、第二定义剪辑后再嫁接 ,提出开放的新问题 :若动点M到定点F的距离与M到定直线l的距离的e倍的和 (或差的绝对值 )等于常数 ,动点M的轨迹是什么呢 ?以定直线l为x轴 ,过定点F且与l垂…     

由圆生成三种圆锥曲线

众所周知 ,三种圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )可以看成是平面内到定点和到定直线的距离之比为正常数e的动点轨迹 :当 0 1时为双曲线 ,有趣的是 ,在圆中 ,我们也可以通过适合某种条件的动点的轨迹来生成这三种圆锥曲线 ,有如下一个结论 .定理　给定圆O :x2 +y2 =r2 (r >0 ) ,A (a ,0 ) ,B (b ,0 ) (b≠0 ,b≠a)是x轴上的两个定点 ,P是圆O上的一个动点 ,Q是P在y轴上的射影 ,直线AP与BQ的交点为M ,则点M的轨迹 :( 1 )当 |a-b| =r时为抛物线 ;( 2 )当 |a -b| >r且b≠a2 -r22a 时为椭圆 ,当b =a…     

借助《几何画板》辅助圆锥曲线统一定义教学

现行《解析几何》教材中 ,给出了圆锥曲线的统一定义 :与一个定点 (焦点 )的距离和一条定直线 (准线 )的距离的比等于常数ｅ的点的轨迹 ,当 0 <ｅ <1时是椭圆 ;ｅ>1时是双曲线 ;ｅ=1时是抛物线 .这一定义表明了三种圆锥曲线间的内在统一 .是对学生进行辩证法等素质教育的好素材 .教材是通过分别求出轨迹方程加以说明的 .实际教学中以传统教学手段较难体现其内在一致性 .更无法进行如《全日制普通高级中学数学教学大纲》(2 0 0 0年 2月出版 )所要求的“结合教学内容 ,进行运动、变化观点的教育” .若借助《几何画板》这一动态几何工具辅助教…     

正确理解和运用圆锥曲线的定义

对于椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线 ,既有椭圆、双曲线各自的定义 (第一定义 ) ,又有三种圆锥曲线的统一定义 (第二定义 ) ,正确理解和掌握这些定义是学好圆锥曲线的关健 .准确、灵活运用圆锥曲线定义解题不仅可以加深对定义的理解 ,还能起到事半功倍的作用 .1　求动点的轨迹及方程例 1　 1 )平面上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是 (　　 )(Ａ)圆 .　　 (Ｂ)抛物线 .(Ｃ)直线 .　 (Ｄ)直线或抛物线 .2 )方程 (ｘ - 1 ) 2 + ｙ2 =|ｘ - ｙ + 3|对应点Ｐ(ｘ ,ｙ)的轨迹为 (　　 )(Ａ)椭圆 .　　 (Ｂ)双曲线 .(Ｃ)抛物线 .　 (Ｄ)两…     

凡抛物线皆相似

凡抛物线皆相似熊培荣（湖北襄樊第四中学）１猜想我们知道，二次曲线中的离心率ｅ（笛卡尔平面内动点到定点和定直线距离的比）是用以表述二次曲线性状的．不同的ｅ，确定不同类型和个性的圆锥曲线：当０＜ｅ＜１时，动点轨迹为椭圆型；当ｅ＝１时，动点轨迹为抛物线型；...     

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性

椭圆、双曲线和抛物线性质的相关性黑龙江绥滨一中邹楼海椭圆、双曲线和抛物线，都可以看作平面截圆锥面所得到的截线，从本质上说，三种曲线是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同，才产生这三种曲线的差别，从轨迹的观点看，三种曲线都是一个动点到定点Ｆ和定直线...     

双曲线第二定义教学注记

双曲线第二定义教学注记３２１４００浙江省缙云中学胡挺员现行高中教材《平面解析几何》Ｐ８８页通过Ｐ８７页例４导出了这样一个结论（常称为双曲线第二定义）：点Ｍ到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数时，这个点的轨迹是双曲线．定点是焦点，定直线是双...     

浅谈椭圆、双曲线第二定义的教学

圆锥曲线的统一定义（与一个定点的距离和一条定直线距离的比等于常数的点的轨迹）是“圆锥曲线”这一章的核心．而椭圆、双曲线的第二定义是统一定义的重要组成部分，因此，处理好第二定义的教学，无论对沟通第一、第二定义的联系，从而加深学生对椭圆、双曲线本质属性的...