一个三角函数的最小上界

文[1]提出如下问题,设x,y,z∈R,m∈N,m≥3,求u=sinmxcosy sinmycosz sinmzcosx的最小上界.这里最小上界显然为函数的最大值.本文用微分法给出m=3,4时u的最大值,当m=5,6时给出一个初步结果.因sinmxcosy sinmycosz sinmzcosx≤|sinx|m|cosy| |siny|m|cosz| |sinz|m|cosx|,所以只须在0≤x,y,z≤π2上讨论(1)的最大值,这完全等同于讨论函数f(x,y,z)=(1-x2)2my (1-y2)2mz (1-z2)2mx(0≤x,y,z≤1)(1)的最大值.设(1)的最大值为Am,一元函数g(x)=f(x,1,0)=(1-x2)2m x(0≤x≤1)的最大值为Bm,显然有Am≥Bm.引理1函数f(x)=(1-x2)2m x(0≤x≤1,m≥3,m…     

关于序集碰撞数问题深度贪心算法的最优性

§1.引言称P=(X,≤)是一个序集是指,X是一个集合,“≤”是X上的一个二元关系(叫做小于等于),它满足:(1)自反性,(x≤x,x∈X),(2)传递性(x≤y,y≤z■x≤z)和(3)反对称性x≤y,y≤x,■x=y)。本文只讨论有限序集。用|X|或|P|表示序集P=(X,≤)所含有的元素个数,用x∈P或x∈X表示x是P的元素。对任一序集Q,我们也用相同的字母Q表示它的基本集。在序集P中,如果x≤y,则我们也用x≤y(P),y≥x及y≥x(P)来表示这一关系。     

与一道USAMO试题有关的不等式链

第 2 6届美国数学奥林匹克有一道试题 :对 a、b、c∈ R ,有( a3 b3 abc) -1 ( b3 c3 abc) -1 　 ( c3 a3 abc) -1 ≤ ( abc) -1 . ( 1)本文将通过以下定理证得与 ( 1)有关的不等式链 .定理　设 x、y、z∈ R ,且 xyz =1,则3x y z≤ ∑ 1x y 1≤ ∑ 1x 2≤ 1, ( 2 )其中 ∑ 表示对 x、y、z的轮换求和 .证明　设 x y z =a,xy yz xz =b,由xyz =1,易知 a≥ 3,b≥ 3,a2 ≥ 3b.且x2 y2 z2 =a2 - 2 b,x2 y xy2 y2 z yz2 z2 x zx2 =ab - 3.经运算可得　 ∑ 1x 2= ( y 2 ) ( z 2 ) ( x 2 )…     

关于一个双参数三元不等式的研究

文[1]给出如下结论:设x,yz∈R+,则x/2x+y+z+y/2y+x+z+z/2z+x+y≤3/4.文[2]将这一结论进行指数推广,得到 　　定理A 设x,y,z ∈R+,0相似文献   

CLASSIFICATION OF POSITIVE SOLUTIONS TO A SYSTEM OF HARDY-SOBOLEV TYPE EQUATIONS

In this paper, we are concerned with the following Hardy-Sobolev type system{(-?)~(α/2) u(x) =v~q(x)/|y|~(t_2) (-?)α/2 v(x) =u~p(x)/|y|~(t_1),x =(y, z) ∈(R ~k\{0}) × R~(n-k),(0.1)where 0 α n, 0 t_1, t_2 min{α, k}, and 1 p ≤τ_1 :=(n+α-2t_1)/( n-α), 1 q ≤τ_2 :=(n+α-2 t_2)/( n-α).We first establish the equivalence of classical and weak solutions between PDE system(0.1)and the following integral equations(IE) system{u(x) =∫_( R~n) G_α(x, ξ)v~q(ξ)/|η|t~2 dξ v(x) =∫_(R~n) G_α(x, ξ)(u~p(ξ))/|η|~(t_1) dξ,(0.2)where Gα(x, ξ) =(c n,α)/(|x-ξ|~(n-α))is the Green's function of(-?)~(α/2) in R~n. Then, by the method of moving planes in the integral forms, in the critical case p = τ_1 and q = τ_2, we prove that each pair of nonnegative solutions(u, v) of(0.1) is radially symmetric and monotone decreasing about the origin in R~k and some point z0 in R~(n-k). In the subcritical case (n-t_1)/(p+1)+(n-t_2)/(q+1) n-α,1 p ≤τ_1 and 1 q ≤τ_2, we derive the nonexistence of nontrivial nonnegative solutions for(0.1).     

关于加权距离正则图和立方图

令G=(V,E)是简单的连通k-正则图;w_1相似文献   

一个猜想的证明

贵刊文[1]提出如下 猜想设|k|≤√13 16√2,x,y,z∈R ,则x kz/y z y kx/z x z ky/x y≥3(1 k)/2 (1) 此猜想是正确的,下面给出证明.     

SPECTRAL RADIUSES OF THE GALTON-WATSON BRANCHING PROCESSES

§1IntroductionSuppose that(X,Px)is a Markov chain on a countable(or finite)state space E.Givenany x,y∈E,we say that y can be reached from x and write x y,if there is n≥1suchthat Px(Xn=y)>0.If x y and y z,then x z.The markov chain X is said to beirreducible if any two states can be reached from each other.(See[1]or[2]).If X isirreducible,then there is a number r,with0≤r≤1,such that lim supn→∞[Px(Xn=y)]n1=r forany x,y∈E.The number r is called the spectral radius of X(refer to[3]).…     

高一数学竞赛训练题(五)

一、选择题 1.△ABC的三边为a、b、c,三内角为A、B、C,且a b=tgc/2(atgA btgB),则△ABC是( )。 (A)等腰三角形; (B)直角三角形; (C)等腰三角形或直角三角形; (D)等腰直角三角形。 2.设-1相似文献   

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

数学问题解答

20 0 0年 3月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 4 1 .求函数 y=sinnx cosnx ( n∈ N )的最值 .解　 ( 1 )当 n=1时 ,y=sinx cosx=2 sin( x π4)∴　 ymax=2 ,ymin=- 2 .( 2 )当 n=2 k 1 ( k∈N)时 ,| y| =| sinnx cosnx|≤ | sinnx| | cosnx|≤ | sinx| 2 | cosx| 2 =1∴　 - 1≤y≤ 1∴　 ymax=1 ,ymin=- 1 .( 3)当 n=2 k( k∈N)时 ,y=sinnx cosnx≤sin2 x cos2 x=1 ,∴　ymax=1 ;∵　 sin2 x cos2 x=2× 12 ,∴　设 sin2 x=12 - d,cos2 x=12 d.∴　 y =sinnx cosnx=( sin2 x) k ( cos2 x) k=( 12 - d) k ( 12 d…     

2005年第一期初中数学问题参考解答

一、证明 :对于任何整数a,x≠ 0 ,|x|≠ |a|,代数式 (a -a2 x2a x) (2ax 4aa -x)的值必是偶数 .证明 :原式 =ax -x2a x·2a· a xx(a -x) =2a必为偶数 .二、已知x =y z=2 ,求x3 2y3 2z3 6xyz的值 .解 :原式 =x3 2 [y3 z3 3yz(y z) ]=x3 2 (y z) 3 =x3 2x3 =3x3 =2     

The fractional metric dimension of permutation graphs

Let G =(V(G), E(G)) be a graph with vertex set V(G) and edge set E(G). For two distinct vertices x and y of a graph G, let RG{x, y} denote the set of vertices z such that the distance from x to z is not equa l to the distance from y to z in G. For a function g defined on V(G) and for U■V(G), let g(U) =∑s∈Ug(s). A real-valued function g : V(G) → [0, 1] is a resolving function of G if g(RG{x, y}) ≥ 1 for any two distinct vertices x, y ∈ V(G). The fractional metric dimension dimf(G)of a graph G is min{g(V(G)) : g is a resolving function of G}. Let G1 and G2 be disjoint copies of a graph G, and let σ : V(G1) → V(G2) be a bijection. Then, a permutation graph Gσ =(V, E) has the vertex set V = V(G1) ∪ V(G2) and the edge set E = E(G1) ∪ E(G2) ∪ {uv | v = σ(u)}. First,we determine dimf(T) for any tree T. We show that 1 dimf(Gσ) ≤1/2(|V(G)| + |S(G)|) for any connected graph G of order at least 3, where S(G) denotes the set of support vertices of G. We also show that, for any ε 0, there exists a permutation graph Gσ such that dimf(Gσ)- 1 ε. We give examples showing that neither is there a function h1 such that dimf(G) h1(dimf(Gσ)) for all pairs(G, σ), nor is there a function h2 such that h2(dimf(G)) dimf(Gσ) for all pairs(G, σ). Furthermore,we investigate dimf(Gσ) when G is a complete k-partite graph or a cycle.     

复数的一道复习题

在《复数》这一章的复习课上 ,我给出这样一道题 :若复数z适合 |z| =1 ,求复数 2z+3 - 4i所对应的点的轨迹方程与轨迹 .同学们讨论非常热烈 .有同学当即回答 :“由于考虑的是复平面上复数所对应点的轨迹方程 ,即考虑复数实部、虚部之间所满足的代数关系 ,再通过轨迹方程判断是何种轨迹 .所以只要设所求复数2z+3- 4i的实部为x虚部为 y,找出x ,y之间的代数关系即可 .解 :设w =2z+3 - 4i=x +yi(x,y∈R)令 :z=a+bi(a,b∈R)则 :w =(2a +3) +(2b- 4 )i∴ x=2a +3y=2b- 4a=x - 32b=y +42　∵ |z|=1　∴a2 +b2 =1∴ x - 322 +y+422 =1即 :(x - 3) 2…     

Multiple Positive Solutions for a Nonlinear Elliptic Equation Involving Hardy–Sobolev–Maz'ya Term

In this paper, we study the existence and nonexistence of multiple positive solutions for the following problem involving Hardy–Sobolev–Maz'ya term:-Δu- λu/|y|2=|u|pt-1u/|y|t+ μf(x), x ∈Ω,where Ω is a bounded domain in RN(N ≥ 2), 0 ∈Ω, x =(y, z) ∈ Rk× RN-kand pt =N +2-2t N-2(0 ≤ t ≤2). For f(x) ∈ C1(Ω)\{0}, we show that there exists a constant μ* 0 such that the problem possessesat least two positive solutions if μ∈(0, μ*) and at least one positive solution if μ = μ*. Furthermore,there are no positive solutions if μ∈(μ*, +∞).     

运用a~2 ab b~2的变式证明一类不等式

众所周知,在不等式的证明过程中,常常要将待证的式子进行适当的变形,以利于问题的解决.本文将式子a2 ab b2进行适当的变形后,对一类不等式的证明起到了较好的效果.变式1a2 ab b2=(a 2b)2 3b24.例1已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥23(x y z);证明x2 xy y2=(x 2y)2 43y2≥23|y|≥23y,同理y2 yz z2≥23z,z2 zx x2≥23x,三式相加即可,x=y=z=0时取等号.变式2a2 ab b2=a2 b2 (a b)22例2已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥2(x y z).证明x2 xy y2=x2 y2 (x y)22≥|x 2y|≥22(x y),同理y2 yz z2≥22(y z),z2 zx x2≥22(…     

图在三种约束条件下的正常全染色

设f:V(G)∪E(G)→{1,2,…,k}是简单图G的一个正常k-全染色.令C(f,u)={f(e):e∈N_e(u)},C[f,u]=C(f,u)∪{f(u)},C_2[f,u]=C(f,u)∪{f(x):x∈N(u)}∪{f(u)}.N(u)表示顶点u的邻集,N_e(u)表示与顶点u的相关联的边的集合.令C[f;x]={C(f,x);C[f,x];C_2[f,x]},对任意的xy∈E(G),G[f;x]≠C[f;y]表示C(f,x)≠C(f,y),C[f,x]≠C[f,y],C_2[f,x]≠C_3[f,y]同时成立.对任意的边xy∈E(G),如果有C[f;x]≠C[f;y]成立,则称f是图G的一个k-(3)-邻点可区别全染色(简记为(3)-AVDTC).图G的(3)-邻点可区别全染色中最小的颜色数叫做G的(3)-邻点可区别全色数,记为x_((3)as)″(G).研究了联图,完全二部图的(3)-邻点可区别全染色,得到了它们的(3)-邻点可区别全色数.     

关于几类图的L(3,2,1)-标号问题

图G的L(2，1)-标号是一个从顶点集V(G)到非负整数集的函数f(x)，使得若d(z，y)=1则|f(x)-f(y)|≥2；若d(x，y)=2，则|f(x)-f(y)|≥1。图G的L(2，1)-标号数是λ(G)使得G有的max|f(v)：v∈V(G)|=κ的L(2，1)-标号中的最小数κ。本将L(2，1)-标号问题推广到更一般的情形即L(3，2，1)标号问题，并得到了平面三角剖分图、立体四面体剖分图的λ3(G)的上界。     

考点6 二次函数 二次方程 二次不等式

1.(全国卷,8)设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列之一:则a的值为().(A)1(B)-1(C)-1-25(D)-1+252.(浙江卷,8)已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是().(A)1(B)-1(C)2k+1(D)-2k+13.(全国卷,9)已知集合M={x x2-3x-28≤0},N={x x2-x-6>0},则M∩N为().(A){x-4≤x<-2或33}(D){x x<-2或x≥3}4.(重庆卷,11)集合A={x∈R x2-x-6<0},B={x∈R x-2<2},则A∩B=.考点6二次函数二次方程二次不等式1.前两个图像关于y轴对称,故b=0与条件不符,后两个图像,经过原点,可得a=±1.又对称轴x=-2ba>0…     

二、幂函数、指数函数和对数函数

1.已知全集I={实数对(x,y)},集合A={(x,y)|(y-4)/(x-2)=3},B={(x,y)|y==3x-2},求A∩B。 2.设全集I={2,4,a~2-a+1}及集合A={a+1,2},A={7},求实数a。 3.设集合A={(x,y)|x∈Z,y∈N,x+y,<3},集合B={0,1,2},从A到B的对应法则f:(x,y)→x+y,试画出对应图,判断这个对应是不是映射? 4.已知集合A={x|x∈R},B={y|y∈R},从A到B的对应法则f:x→y=tg2x,(1)求A的元素arctg2的象;(2)求B里元素5的原象;(3)上述对应f是否一一映射?为什么? 5.已知函数y=2/3(9-x~2)~(1/2)(-3≤x≤0),求它