第五届全国中学生数学冬令营竞赛试题及解答

第一天 (1990年l月12日8:30一13:30) 一、如图,在凸四i互形月刀CD中,.4刀与CD不平行,圆O、过,4声目.与边CD相切于P,圆O:过C、D且与边月刀相切于Q,圆O:与圆O:相交于刀、厂。求证:石尸平分线段尸口的充分<令(附一刀d)(,Ic一耐)二0、艺一:(显然了、·“,·必要条件是刀C犷通D. 证:如图,设尸Q与石F相交于K,延长PQ交圆O孟于P,,延长口p交圆口2于口,,则刃K·K尸二尸人{.K尸, 二口K·K口,(1) <卜今,.J.O沙刀C 二、设二是一个白然数,若一串自然数厂。=l,x:、二2、…,二,一,,、‘二x,亨两足:‘一,<:‘,二‘一:J:‘,i=l,2,…,l,则称{二。…     

二倍角正切公式的一个几何推导

半径为‘一,切线刀万切于产阮|卜r|l卜.1.八vC,,下||旧、!‘l‘1 以O为圆心作半圆,圆于H点,过B作圆的另一切线刀C,交HO的延长线于C,切点为石(如图)。 设HC二人,刀H=刀刃二P,OH=O尸=场C刀=s,乙HBO二匕C方口二日,则匕HBC二又’:匕刀亡H公用,2夕…△C万O叻八CH几C万万OCH汀月_CO沛三=几 C刀~”hPh(h一了)/l一r百 P由此可得、了、7、1211Q山q合扮了、了‘、产r、s(s p)及sP二(2)一(1)得hr‘z=hZ一21乙于由(2)、(3)两式消去碍叮 尹二jlz一Zh:h=一竺一一 z一(二)2 夕两边同除以川毕 了 2(乡)1一(厂), P(一1) 一一心九一力占由图…     

2003年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考答案

试题 一、填空题(满分40分) 1.二,y是正整数,且满足二y+二十y一71、厂y+二犷一880.则了+犷一 三、(满分15分)如图2,动点尸在以AB一‘为弦,含弓形角为誓的弓形弧(含端点)上. 2.如图l,两圆交于A、召两点,S为两圆外一点,直线SA交第一圆于C,交第二圆于D;直线SB交第一圆于E,交第设A尸一二,B尸一y,试确定k一3x十Zy的最大值和最小值. 四、(满分15分)已知半径分别为R,r的两个圆外切于点尸,点尸到这两圆的一条外公切线的距离等于d.求证图1 1」12竺二二十—-一~二 找rd二圆于F.CE一a,DF一b,四边形ABEC的面积与四边形ABFD的面积相等,则AB- …     

2007年北京市中学生数学竞赛高一年级试题参考答案

一、选择题题号1 2 3 4 5答案B C A D A二、坡空题四、证明过Q，D，C三点作辅助圆，交尸Q于G点，连接CG，因为D，C，G，Q四点共圆，所以艺尸GC二匕QDC-题号1 2 3 4 5答案6 2犷2a万一1 2 1007012三、解设F(x，刃一ax b ay b一xy，由已知得F‘。，。，一2“、一奋，即F‘0，‘，一 2”、专F“，‘，一2· 2“一‘)一音，、1口多一下万匕①/ABC.所以尸，G，C，B四点共圆，有QFZ=QC·QB=QG·QP.又PE，=PC·PD=PG·PQ.相加得PEZ QFZ=PG·PQ 以;·QP一尸Q(代子 〔闷)=尸令.所以，以线段PE，QF，尸Q为边构成的三角形是…     

關於單葉函數的偏差定理

毅奇函教叔约=C十艺。。C一2“’在co>}C}>1内是正4lJ且翠案.戈鲁泽「王]、夏道行「21曾覆明镇}氢客式‘’og以匕)一F(C:’) 匕一C了 匕+吠尸(C二)+F(C二,)(艺:二补1oz乙,+1孔,一1艺:了衫(1),一v诊=1,__己己+lIUg一二万屯万厂一二尸, ‘v‘,,一1匕一匕喀客‘厂‘ogF(C二),一r(乙了), 打一C份2《、、,/ 一住,拼,砰t=l_,,/,1、Y二“09、‘一,音万万万少、艺刃衫l,,‘=1乙份乙(2) 下.艺 成1艺一‘·丫”。gI卜.v=1卫义力一F(乙,) 乙,一二 C,+CvF(C,)+F(C,)l。。(;-}、《艺a,,·下二下·109C,万,+1乳乙一l(3)”,v=l艺a,,,丫二丫,l。g…     

等腰三角形一个性质的应用

定理如图1,P是等腰△ABC]氏边B广的延长线上任意一点,连接尸A,设乙J尸B=a,求证: (l)尸B 尸C二A2尸才eosa (2)尸B·尸C=PA么一J4B气君 证明:如图1,在 定理是借助余弦定理和韦i久,,C理来汗明,’立已:l己示出证明的简捷性,而直接利用本定理来ilI明同类卫的几何题,则更显子‘出捷足     

九年级数学综合训练题

一、选择题(你可任选10题作答,多作多加分,每题2分)3的绝对值是(工万一2A .3 B.一3 ).c.李D一李 Jj(). A 9.值为(x异2 B.‘、>2 C.,<2 D.y护2在Rt△月Zr中,匕C二9。。,乙B二60。,则SinA的 2.是( A C 3. A C. 4.若匕1().用代数式表示长a米,宽l)米的长方形的周长l,,存1石弋~声又L少二匕(“十b)米B.(。+Zb)米D.下列运算正确的是(、厂十尸二2尹B.(一J,,)“=一尹D.〔2。+/,)米(Zu+Zb)米).沈一父2二j3 6.飞2 10.如图,射线L。、,L乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程,和时间l的函数关系,则他们行进的速度关系是().了气‘…     

第二十九届IMO试题与解答

1.在同一平面上,有两个团心为O的同心圆,半径分别为r与R(,(R),尸是小圆上一个固定点,B是大国上个动点,B尸交大圆于另一点C,过尸作刀C的垂线交小圆于点A, (1)求S“月B“+BC“+CA忍所取值的集合: (幻求月B中点轨迹,(若尸月勺小目相切,则月二P). 解(1)如图1.廷长尸月交大圆分别于M、N,设材尸,“,B尸=二,尸N=口,尸C=y.,.i MN土BC,:.““+沪+二,+夕2二(ZR),.(l)设A尸=。,在Rt△刁尸C与Rt△月尸B中应用勾股定理得:月C:二m忿+少2,月B名=m“+x气一S=2川么+、“+y:+(二+y)“=2(。一v)“+2(x忍+y忍)+2二夕二:(。1+t,,+二“+夕2)一4。。+…     

一道题的解法探究

题目若a渭、y均为锐角,且满足。osZa十 eosZ月+eosZy二1. 一起分享. 证法一 求证:eot,a+eotZ夕+eot, _、3 了‘多二丁. 乙 eosZa+CosZ夕+。0527=l eosZa=1一sinZa, 说明一般参考书上给出的解答为 5 inZa+sinZ月+SinZ下一2. 又5 inZa+eosZa=l, 巍 如图1,构造对角线 O尸长为1的长方体,a、 月、了分别为O尸与棱 OA、OB、(X二的夹角.并 设aA、OB、OC长分别 尸 :、、、 C 1+eotZa二 l 5 inZa‘ 际﹂ : ‘~-二~-一》 a y A 岁’ 3+eotZa+eotZ月+CotZ了 赢+病+病, 舞 为a、b、c, 则CotZa一 图1 (SinZa+sinZ月+SinZ下)( a2 b2 aZ+…     

多边形形状的判断

利用向旦判断 例1已知斌+斌十斌=。,〕丽劝+「瓦丙卜几j户井二l,判断△尸,尸2尸。的形状· 解丫武十斌+斌二o, :.斌十斌一斌, ,.(斌十斌)2一(一斌),,即{斌}’+}斌},+2斌·斌=l斌}‘. ,.l斌}一!成}钊斌}一1, .斌·斌一合,:’(斌:斌}Cos二尸:oPZ一合, 匕PI 01〕2=120: 同理,乙尸;〔护3二匕尸ZOp3二120‘. .’.△尸,pZ尸3是正三角形. 例2在△ABc中,设茄二。,成二b,庙-。,若a·b=b·。二。·。,判断△ABc的形状. 解’.‘a十b十c=O, ‘a+b=一e,(a+b)2=eZ,即aZ+bZ+Za·b=eZ(1) 同理,bZ+。2+Zb·。=aZ(2)川一(2),得aZ一eZ+2(a·吞一‘·e…     

初中数学竞赛综合训练题(一)

一、选择肠 1.对实数二、y定义运算·:二.,~已 b 1.若l.2”969,2 .3一983,则2*9=(). (A)蓄989(B)1 990(C)1 991(D)1 992 2.若。~(一3)‘,b~一3‘,。二一含‘,则下列结论错误的是(). (A)】吃价二一4(B)1劝,~0 (c)a、e互为相反数(D)a、b互为倒数 3.已知址2一0.3010,印是日位数,正整数“等于(). 一42一 (A)10(B)11(C)12(D)13 4.若M~3尸一8, gr,一4二 6, 13,则下式一定成立的是().减 (A)M>0(B)M)0 (C)M<0(D)M簇0 5.如图1,在△A肥中.匕月:艺刀:艺e一3:5:1 0.又△才尸c望△J刁及,,则/石忆二月‘:乙。已尸等于().图l场、、中学数学(湖北)1…     

不易发现的失误

(*)式不能用三角形任两边的和大于第三边,据用连结两点的线中线段最短这一重要性质。上述论证中,把“设PE交DD于F’’删去,(*)式改为邢 咫十ED>BD就完全正确了。 有这样一道几何题:△月刀c中,乙A=120。,p是△月zr内任一点,求证:PA PB 代,)月刀十AC。 一同学是这样证明的: 延长6A到D,使月刀=AC,乙BAC=1 200,…匕刀月口=600,:.△月C刀为等边三角形,…月C二摺。 以脚为一边向_,打尸五淤一、;图l上作正△尸C召,连DE,设PE交DD于F(如图l)。则彬二cE,AC~CD,匕尸口月=乙名‘刀,.,.△代悦望△召口刀,…PA二刀召, 丫产公十产孕,>那,护…     

一道数学竞赛题的探索

第四次江苏省初中数学竞赛试题中第五oA=oB一oc=丫乒若点P与O重合,则PA=PB二户C=斌了 3 l’t’)若点P与O不重合,则点尸必在三个等腰三角形:△OAB、△0刀C,△OCA中的一个三角形内或其腰上. 不妨设点尸在等图1,火人尸/题是: 如图l,P为边长为1的正△A刀C内一点,求证:沪 (1)尸通、PB、/pc中至少有一条,其/长度大于于多B~ (2)尸姓、PB、pc巾至少有一条,其长度不超过识一习3. 这是值得探究的一道好题,想能获得一些有趣的结论。 一、结论(l)的加强对它通过联腰△OAB内或其腰上(图2),连尸O,则匕POC多乙AOC(或乙BOC)二120。,,产D、之…     

轨迹选择题四道

1。平而上动点尸到两定l从刀;、厂:的距离之和为定仇}F‘尸:},则尸点的轨迹足: (A)椭圆,(B)直线F,F:, (C)线段F,F:;(D)FIF:的中垂线. 2.若变复数对茜足{二 J}2一}二一1{’=1,则汽Z’在复、l;-面上友示的曲线是:(:\)双曲线;(·]3)!,〔线;(C)无;.(「))椭}lr)飞1. 3.若变复数对茜足{:一2{一}: 2J泛2、‘3则点Z价复平面_l几表示的曲线是: (‘\)双曲线;(I宝)直线; (乞)双l!!}线右义;(l))双11!i线艺支. 4.“。抛物线夕2=ZP城P>0)的开日反向,.轴及旅以相1司的抛物线j七有几条: (了\)无数;(]3)2;(C)1;(1))要.附:本期“一望而解”答案: 又1…     

初二几何第二学期期末自测题

A组 8.如图,△A仪二中,乙C=90.,川)平分艺丑屯了.若〔刃“3皿,则点D到川3的距离为一、填空题(每小题4分,共40分) 1.如图.艺1+乙2+乙3+乙4=_度. ,~a bc。,.a+b 乙J兮C户次/人A一BB~一一方-盏C Za+3b一4c,Za一3b+4c (第8题)(第9题) 9.如图,△A庆二中,乙B二30,,匕C=45。,川〕上及了于D,若AB“4,则斑)二_,CD‘_. 3.在△八BC中,已知乙A:匕B二1:2,匕A:乙C=2:3,则△八故了的最小角为_,最大角为_. 4.已知三角形的两边分别为2,9,且第三边长为奇数,则第三边长是_;此三角形是_三角形 5.已知△乃及二的△A,B‘C‘夕址)和A,D了分别是五〔和B…     

用直线和圆的位置关系证不等式

设直线l:Ax+By+C~0(A、B不同时为 零),圆C:(x一a)“十(y一b)“一尸,则直线l与 ,。*一、__}Aa+Bb+C}一~~、.、‘~ 坦引L-户钊)二‘呀氏、二币,一目下军二二;花二育一,女:尧r·工光月今岁期劝乙.刃 了A‘十B‘ 螂卿孝 这一结论在条件不等式证明中的巧用. 例l已知a)O,b)O,a+b~1,求证: 祷不百+沂万(2. 。一。一合时等号成立,· 例2已知a,b任R,且a+b+1~O,求证 (a一2)2+(b一3)“妻18. 证明令(a一2)’+(b一3)2~尸, 则点(a,b)在直线l:x十y十1一。以及圆 C:(x一2)2十(y一3)’一尸上. 即直线l与圆C有交点. 证明令。~,沂弓呻+沂万, }2+3+11一~,…     

第二届国际中学生数学《友谊赛》试题(1988年8月14—19日在保加利亚举行)

七年级 L求方程护y十xyZ二30的整数解. 2.在线段AB上选取两点C和D,使AC二CD二DB:在半平面上过点A和C引两条射线,相交于点M.已知匕MAB二45 0.乙MCB=60”.求匕MBA的大小. 3能不能用一些数1和一1来填写5 xs的正方形表,使在每行,每列和每条大对角线上所填的数之和都不同? J气年级 1.求证:不存在这样的自然数n,使数n6+3n5一5n4一15n3+4n2月Zn+3是白然数的完全平方. 2.试证:若p,q,和q:是实数,p二。。+。2+l,则两个三次方程:阵x十q,一0,尸十Px十qZ二0中至少有一个方程含有两个不同实根. 3.已知两个圆,每个圆都通过另一个圆的圆心,设A和…     

三角形中线长度计算面积的公式

如果m，n，P分别是△月刀C三边上的中线，那么S△戒=推导过程如下:如图1，设月E，月F，(】〕是△ABC三边上的中线，O是重心，AE气m，BF二”，CD二P.延长OF至H使月阿二C晒，.则四边形AOCI了是平行四边形.由三角形中线性质可得:AO=毕，Bo二琴，田二琴.oH=ZoF J JJ BE一Zx要一琴，AH一印二馨J JJ图1三角形在△AOH中，由余弦定理可得:哪艺O片H AOZ AHZ一OHZ (警)2 (譬)2一(誓)2 2m 3业3 ZAO·八H_、Zm‘一Zb =mZ PZ一nZ ZmP si矛艺O叭H=1一cc巧2匕O八H=1一(m， P‘一，’)，4m2P2“些匹鲤气黯粤‘丝~‘:0<匕O叭H<…     

费马问题探讨一得

Fer拼at问题:已知△ABC,找一点尸,使尸A+尸B+尸C为最小. 这是平面几何学中一个脍炙人口的著名问题.问题的答案是大家熟知的,(l)若△ABC的各内角均小于120‘,则当尸点对于三边的视角相等(即乙A尸B‘乙B沁二乙c尸A二120·)时,尸A十尸B十尸c为最小,(2)若△ABC的各内角不全小于12。”,则不小于1加“角的顶点与三顶点的距离之和为最小.在一次数学课外活动时,笔者向学生介绍上F。,。at问题及其推证过程.激起了学生浓厚的兴趣.意外的是有位同学问道:老师,在答案(l)中,尸A+尸B十尸C的值究竞是多少呢牙与原△ABC有什么关系呢?问题提得真好…     

一道复数轨迹题的解法种种

雀尺一O两点对应的复数分别为乙,2z:+3一4l’若尸点阅才对,2的圆上移动,求。点的轨迹. 娜一:设2::+3一4‘=二+y‘,则2::二(二一s)十(y十幻宕 2.!z:l,=(x一s)全+(少+4).而!z:1=2 .?.(x一3)盔+(z+4):=16 故O点的轨迹是(3,一4)为圆心,4为半径的圆. 梦利用复数模的意义,代换求解. 娜二;设2二:十3一4‘二二十y红z:。。十bl’ 、则多。十Zbi+3一4了二x+yi,由复数相等的充要条件落一二禅忱父芍今{絮抓卜nJ 工J任﹃工︸心‘J.一勺‘X︷y一{吞 平方后,相加得(x+3),+(夕+4)2二:4“ 注利用复数的代数形式,转化为x:.夕的参数方程,消参后即得. 解三:设…