一道课本习题的错解及剖析

高中数学第二册 (上 ) (试验修订本·必修 )P1 0 3上有这样一道习题 :点P与一定点F( 2 ,0 )的距离和它到一定直线x =8的距离的比是 1∶2 ,求点P的轨迹方程 ,并说明轨迹是什么图形 .常见解法 :由椭圆的第二定义及性质得 :c=2ca=12 a =4 b=2 3于是点P的轨迹是椭圆x21 6+y21 2 =1这种解法靠得住吗 ?不妨再看一例 :点P与一定点F( 1 ,0 )的距离和它到一定直线x =5的距离的比是 1∶ 3 ,求点P的轨迹方程 .错解 1 :同上例得所求的方程为x23 +y22 =1 .错解 2 :由椭圆的性质得c=1a2c=5 a2 =5,b2 =4.于是所求的方程为 x25+y24=1 .错解 3 :由椭圆的…     

证明三点共线问题的若干种思路

本文通过一道题目介绍证明三点共线问题的12种思路 ,掌握这些思路可加深我们对一些概念、公式、定理的理解 .题目　证明 :三点Ａ(1,3) ,Ｂ(5 ,7) ,Ｃ(10 ,12 )在同一条直线上 .思路 1　利用平面内两点间的距离公式 .证法 1:∵ |ＡＢ|=(5 - 1) 2 (7- 3) 2 =4 2 ,|ＢＣ |=(10 - 5 ) 2 (12 - 7) 2 =5 2 ,|ＡＣ|=(10 - 1) 2 (12 - 3) 2 =92 ,∵ |ＡＢ| |ＢＣ|=|ＡＣ|,∴Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点在同一条直线上 .思路 2　利用定比分点坐标公式 .证法 2 :设Ｂ′(5 ,ｙ)是有向线段ＡＣ的定比分点 ,点Ｂ分ＡＣ所成的比为λ ,则　　5 =1 10λ1 λ ,ｙ =3 12…     

点关于圆的极线的讨论

文 [1 ]中指出了点P(a,b)关于圆x2 +y2 =r2 (r >0 )的极线 ,当点P在圆内时极线的情形 .最后谈到不必作出相关切线也能较快地作出P点的极线ax +by=r2 :首先解方程组 :ax+by=r2bx-ay =0 ,求得Q点坐标ar2a2 +b2 ,br2a2 +b2 ,然后在OP延长线上依坐标找到Q点 ,最后过Q点作直线OP的垂线即得 .这个办法是代数的方法 ,因为要解代数方程才能得到Q点坐标 ,另一个不易确定的是如何依据坐标在OP上较准确地找到Q点 .这个问题较好的几何处理办法是 :作过P点的直径EF交圆于E、F两点 ,再过P点作直径EF的垂线交圆于MN ,过M点作圆O的切线MQ交直径E…     

圆的切线性质在圆锥曲线上的推广

在平面几何里,关于圆的切线有如下结论: 如图1,设AB为⊙O的直径,P为⊙O上异于A、B的任意一点,过点P的切线与过点A、B的切线分别交于点C、D.则 (1)OP2=CP·PD; (2)△CPO∽△OPD∽△COD; (3)OP.DC=DO2,CP·CD=CO2; (4)CO2+DO2=CD2. 本文拟将以上结论推广到圆锥曲线.     

点到直线的距离

空间解析几何的教学中 ,空间点、直线、平面之间的关系是学习的一个重点。点和直线的位置关系包括两种 :点在直线上 ,点在直线外。当点在直线外时 ,点到直线距离的计算随之出现。笔者在教学中发现 ,这一问题的解决可以涵盖空间解析几何教学中两点间距离、向量运算、直线方程、平面方程等诸多知识点。下面以一具体例题说明。例　求点 A( 2 ,4,1 )到直线 L:x+12 =y2 =z-2-3 的距离。解法一　先求过 A点与直线 L垂直的平面方程 .用点法式 ,得2 ( x -2 ) +2 ( y -4) -3 ( z -1 ) =0即 2 x +2 y +3 z -9=0 .　　将直线方程用参数方程表示为x =2…     

多元函数最值问题中几种常见错误分析

一、定义在整个平面上的二元函数有唯一驻点,误认为该点就是最值点.例1确定函数z=χ~2-y~2 2χ—y 9的最值.某解:由Z′_χ=2χ十2,Z′_y=-2y-1,得驻点(-1,-0.5).因是唯一驻点,故该点就是最值点,Z(一1,0.5)=8.25.任取其邻城内一点如(0,0),得Z(0,0)=9>8.25,故该点为最小值点,函数的最小值为8.25.     

一道国际最佳数学征解题的简证

文[1]中题124:设在△ABC内,sin2A sin2B sin2C=1.求证:其外接圆与九点圆正交.本文介绍这道题的一种简单证法.证明　△ABC的外心、垂心、半径、九点圆圆心、半径分别记作O、H、R、O9、R9,○.O∩○.O9=M.要证明○.O与○.O9正交,只要证明R29 R2=O9O2,[2]∵　OM=R,O9M=R9=12R,[3]∴     

解析几何中的对称问题浅析

对称和对称问题在高中数学课本虽然没有专门研究,但对称和对称问题在高中数学中经常出现.根据教材所涉及的对称知识和高考中所考查的有关对称的试题,在此就解析几何中的三个问题进行总结.1.基本的对称问题1.1点关于点的对称问题例1已知两条直线l1:x-3y 10=0和l2:2x-y-8=0,过定点P(3,2)作一条直线分别与l1,l2交于A,B两点,使得P点是AB的中点,求该直线方程.解设A(x,y),则由题意得B(6-x,4-y).∴x-3y 10=02(6-x)-(4-y)-8=0x-3y 10=02x-y=0x=2,y=4.∴直线AB的斜率k=24--23=-2,所求直线方程为y-2=-2(x-3),即2x y-8=0.小结本题中P点是AB的中点…     

数量积在解析几何中的作用

<正>如图,椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B,点P(a2=1(a>b>0)的左右顶点分别为A、B,点P(a²/c,t)(t≠0)(其中c是椭圆的半焦距).直线PA、PB分别交椭圆于M、N两点.判断点B与以线段MN为直径的圆之间的位置关系.分析判定点与圆的位置关系的基本思路是:点到圆心距离d与圆半径r相比较,分为d>r、d=r、d相似文献   

一个解析几何问题的探究过程

题目:平面内点P到点F(1/2,0)、A(a,2)及到直线x=-1/2的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那么a的值是__. 根据抛物线的定义可得点P在抛物线y2=2x上.由于本题入手易,深入难,再加上不能科学合理地使用条件,很难得到正确答案.     

对上海市04年中考数学压轴题的探索

上海市 0 4年中考数学试卷最后一道压轴题如下 :数学课上 ,老师出示图 1和下面框中的条件 .如图 1 ,在直角坐标平面内 ,0为坐标原点 ,A点坐标(1 ,0 ) ,点B在x轴上且在点A的右侧 ,AB =OA ,过点A和B作x轴的垂线 ,分别交二次函数y=x2 的图象于点C和D .直线OC交BD于点M ,直线CD交y轴于点H .记点C、D的横坐标分别为xC、xD,点H的纵坐标为yH.图 1同学发现两个结论 :①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3②数值相等关系 :xC·xD=- yH.(1 )请你验证结论①和②成立 ;(2 )请你研究 :如果将上述框中的条件“A点坐标为 (1 ,0 )”改为“A点坐标为 (t,…     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…     

数学问题解答

2011年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2011 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,点D在AB上(不含端点),点E在CA的延长线上,使得CE+ 2BD=√3CB,连结CD、BE.证明:CD=1/2BE.     

杠杆平衡原理在求几何线段比中的应用

巧用初中物理中介绍的杠杆平衡原理:“动力×动力臂=阻力×阻力臂”可妙求几何线段的比值.现举例说明如下:图11解课本题例1(义务教材初中几何第二册P193)如图1,已知:AD是的△ABC中线,E是AD的中点,F是BE的延长线与AC的交点.求AF∶FC.解①观察以D为支点的系统BDC,由于DB=DC,故B、C点各挂a牛重物,D点受力2a牛,这时系统BDC才能达到平衡状态.②观察以E为支点的系统DEA,由于EA=ED,故在A处挂2a牛重物,系统DEA才能达到平衡,由于D点受力2a牛,因此E点受力4a牛.③观察以E为支点的系统BEF,由于B点受力a牛,E点受力4a牛,故F点受力为3a牛,这时系统BEF才能达到平衡状态.④观察以F为支点的系统AFC,由于A点受力为2a牛,C点受力为a牛,F点受力为3a牛,正好F点受力为A点和C点受力之和,因而系统AFC处于平衡状态,所以有2a.AF=a.FC,则AF∶FC=1∶2.图22解中考题例2(2007年宜昌市中考题)如图2,在△ABC中,AE∶EB=1∶3,BD∶DC=2∶1,AD与CE相交于F,则FECF+FADF的值为A.21B.1C.23D.2解①观察系统BDC,若在B点...     

一道高考题的探究

<正>题目(2014年北京市高考理19题)已知椭圆C:x²+2y2+2y²=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2=4.设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x²+y2+y²=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x2=2的位置关系,并证明你的结论.本题的答案是直线AB与圆x²+y2+y²=2相     

由一道几何题的新证得出的结论

<正>文[1][2][3][4]中都有如下一道几何题.如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=1/2∠A,求证:BE=CF.证明作∠A的平分线交BC于点D,连结DE、DF,则∠DAF=∠DAE=1/2∠A,∵∠1=∠2=1/2∠A,∴∠DAF=∠DAE=∠1=∠2,∴A、B、D、F四点与A、E、D、C四点分別共圆,于是BD=DF,DE=DC,     

直线与椭圆位置关系的一个判定定理的简证

文[1]证得下面: 定理若直线ι:Ax By C=0,(A2十B2≠0)与椭圆c:(x-x0)2/a2 (y-y0)2=1有公共点,则有:(Aa)2 (Bb)2≥(Ax0 By0 C)0. 本文给出上述定理的一个简单证明. 证明设x-x0/a=X,y-y0/y=Y,即x=x0 aX,y=y0 bY.则直线ι与椭圆c有公共点(?)方程组     

新题征展(66)

A题组新编1.已知⊙C:(x+3)2+y2=R2(R>0)和⊙D:(x-3)2+y2=1,动圆M与⊙C,⊙D均相切,圆心M的轨迹为E.(1)当R=1时,E的方程是;(2)当R=3时,E的方程是;(3)当R=5时,E的方程是;(4)当R=7时,E的方程是;(5)当R=9时,E的方程是.2.已知:椭圆:x225+y216=1,F1、F2分别为左、右焦点,点A(1,m),点P为椭圆上动点.(1)当m=5时,|PA|+|PF2|的最小值是;(2)当m=1时,|PA|+53|PF2|的最小值是;(3)当m=1时,|PA|+|PF2|的最小值是.3.△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,(1)z=ax-y取最小值的唯一最优解是(-1…     

数形结合巧解一题(二)

问题已知a、b、c∈R,a+b+c=1,a2+b2 +c2=1,求证:-1/3≤c≤1. 证明∵点P(a,b)是直线x+y=1-c 和圆x2+y2=1-c2上的点,即P是直线和圆的公共点,     

一道全国初中数学联赛题的另解

<正>先了解一个公式,平分圆周角的弦长公式:如图1,点A、B、C在⊙O上,弦AD平分∠BAC,若∠BAC=2α,AB=a,AC=b,AD=c,则c=(a+b)/2cosα.证明如图2,连接CD、BD、BC,BC交AD于点E.因为AD平分∠BAC,所以∠CAD=∠BAD.于是CD=BD.因为∠CBD=∠BAD,