等差数列的一个性质及其应用

设数列 {an}是等差数列 ,公差为d ,则an + 2 ·an-a2 n + 1=-d2 .此结论的证明不难 .an + 2 ·an-a2 n + 1=(an + 1+d) (an + 1-d) -a2 n + 1=a2 n + 1-d2 -a2 n + 1=-d2 .若从等差数列的特征去思考 ,它有an + 2+an=2an + 1这一递推关系式 ,那么此结论是否有其一般的规律呢 ?思考 1　在数列 {an}中 ,若an + 2 +an=pan + 1(n∈N ,p为非零常数 ) ,则an + 2 ·an-a2 n + 1=?探索　设bn=an + 2 ·an-a2 n + 1,则bn + 1-bn =an + 3 ·an + 1-a2 n + 2 -an + 2 ·an+a2 n + 1=an + 1(an + 3 +an + 1) -an + 2(an + 2 +an) =pan + 1·an + 2 - pan…     

等差数列的一个性质及应用

本文介绍等差数列前n项和的一个性质及应用，以帮助同学们更进一步地理解并掌握等差数列的有关知识．     

等差数列的等比累进和

设公差为d的等差数列{an}的前k1,k2,…,kn项的和,依次为Sk1,Sk2,…,Skn.当k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列时,则称Sk1 Sk2 … Skn为等差数列的等比累进和,并记为SSn.若令m=k1(1-qn)1-q,m′=k1(1 qn)1 q,则有如下的定理SSn=ma1 12m(m′-1)d.证∵公差为d的等差数列{an}的前ki项和为Ski=kia1 12ki(ki-1)d=12(2a1-d)ki 12dki2,令i=1,2,…,n,得n个等式,把这n个等式的两边分别相加,并整理得SSn=Sk1 Sk2 … Skn=12(2a1-d)(k1 k2 … kn) 12d(k12 k22 … kn2).由k1,k2,…,kn是公比为q(|q|≠1)的等比数列,可知k12,k22,…,kn2是公比为q2…     

等差数列的一个不等式

本文给出最近发现的一个关于正项等差数列的一个不等式 ,并举列说明它在解决一些用数学归纳法证明异常困难的一类问题上的有效性 .定理　设数列 {ａｎ}是等差数列 ,ａｉ>0(ｉ=1 ,2 ,…,ｎ) ,公差为ｄ ,且 0≤ｄ≤ 1 ,则对任意的正整数ｋ ,有 ｎｉ=1ａ1ｋｉ ≥ ｋｋｄ 1 [ａｎａ1ｋｎ -1- (ａ1-ｄ)ａ1ｋ1](1 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .为方便定理证明 ,先证如下两个引理 :引理 1　设 0≤ｄ≤ 1 ,ａ >0 ,则对任意的正整数ｋ ,有(1 1ｋａ) ｋ≥ 1 ｄａ (2 )成立 ,当且仅当ｋ =ｄ =1时等号成立 .证　根据二项式定理 ,有(1 1ｋａ)…     

等差数列的一个性质

设数列{an}是公差为d的等差数列，且对于n∈N^＊，有an≠0，当d≠0时容易得到以下几个恒等式： 1/a1a2=1/d a2-a1/a1a2=1/d（1/a1-1/a2）, 1/a1a2a3=1/2d a3-a1/a1a2a3。     

双等差数列及其性质

若数列{an）满足关系：a2n-a2n-1=d1，a2n＋1-a2n=d2（n=1,2,…）,其中d1，d2为不相等的非零常数，则称数列{an}为双等差数列，d1称为第一公差，d2称为第二公差．     

关于等差数列的一个性质的应用

在学习过程中,我发现了等差数列前n项和的一个优美性质,本文将介绍这一性质并给出它的应用．     

等差数列的一个性质

性质1　具有6ｎ 1项的等差数列去掉中间项将剩下的6ｎ项总可以分为2ｎ个互不相交的集合Ａｉ(ｉ=1,2,…,2ｎ),使得Ａｉ中有3个元素并且这3个元素之和为定值.证　设等差数列为ａ-3ｎ,ａ-3ｎ 1,…,ａ-1,ａ0,ａ1,…,ａ2ｎ-1,ａ3ｎ.(1)ａ-3ｎ作首项,ａ0为中间项.由等差数列的性...     

等差数列一个性质的应用

根据等差数列的性质，对等差数列{αn}，除了有前n项和公式外，还有S2n＋1=（2n＋1）αn＋1，S2n=n（αn＋αn＋1）。利用这两个关系式，有时可将有关等差数列前&;#183;n项和的问题避繁就简地解决，收到事半功倍的效果。     

有穷等差数列的一个性质及其应用

本指出从有穷等差数列中可重复地任取两项求和时,不相等的和数的个数及每个和数出现的频数,据此可以解决一类古典概率问题。     

等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

等差数列一个性质的再推广

文 [1 ]与文 [2 ]相隔近 2 0年先后都证明了下面等差数列的一个有趣性质 :若a1,a2 ,… ,an,an+1成等差数列 ,则当 2 ≤n∈N时 ,C0 na1-C1na2 +C2 na3-… +(-1 ) kCknak+1+…+(-1 ) nCnnan+1=0 (1 )文 [3 ]将这个性质给出如下推广 :设a0 ,a1,… ,an(n≥ 2 )成等差数列 ,则∑ni =0(-1 ) iaiCkk+iCk+ik+n =0 (2 )其中k为任意非负整数 .文 [4]又将上述性质 (1 )式给出另一形式的推广 ,即设 an 是等差数列 ,则当 3 ≤n∈N时 ,∑ni =r(-1 ) i-rCinCriai+1-r =0 (3 )本文将推广后的性质 (2 )与 (3 )式 ,再作出推广 .命题 1　设 an 是等差数列 …     

高阶等差数列的一个性质

定理1 如果数列{an}是m阶等差数列，那么必有恒等式     

等差（比）数列前n项和的一个性质及应用

对于等差（比）数列{an}，我们可得如下性质：     

等差数列的又一个有趣性质

在文 [1]中介绍并证明了———等差数列的一个有趣性质 :性质Ａ　若ａ1,ａ2 ,ａ3 ,… ,ａｎ,ａｎ 1成等差数列(2≤ｎ∈Ｎ) ,则有恒等式Ｃ0 ｎａ1-Ｃ1ｎａ2 Ｃ2 ｎａ3 -… (- 1) ｋＣｋｎａｋ 1 … (- 1) ｎ - 1Ｃｎ - 1ｎ ａｎ (- 1) ｎＣｎｎａｎ 1=0 .显然 ,性质Ａ对含有 (ｎ 1)项的等差数列都成立 (2≤ｎ∈Ｎ) .此外 ,我们还发现了酷似性质Ａ的———等差数列的又一个有趣性质 :性质Ｂ　若Ｓｎ 是等差数列 {ａｎ}的前ｎ项和 ,则当 3≤ｎ∈Ｎ时 ,恒有等式Ｃ1ｎＳ1-Ｃ2 ｎＳ2 Ｃ3 ｎＳ3 -… (- 1) ｋ- 1ＣｋｎＳｋ … (- …     

有穷等差数列的一个性质及其应用

在教学过程中 ,笔者发现一类古典概率问题与有穷等差数列有关 ,进一步研究后 ,得到 :性质　从项数为ｎ的等差数列ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ中可重复地任取两项求和 ,(1 )不相等的和数按升序组成的数列 (不妨称为两项和数列 )是等差数列 ;(2 )若某和数是两项和数列的第ｋ项 ,则在所有和数中该和数出现的频数ｍ可按下式计算 :ｍ =ｋ ,　　　　　当ｋ≤ｎ时2ｎ-ｋ,　　当ｋ >ｎ时 ( )关于这一性质 ,可以推导如下 :(1 )将有穷等差数列ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 的公差设为ｄ ,其中任意两项ａｉ 与ａｊ的和记为Ｓｉｊ,因为ａｉ=ａ1+(ｉ-1 )ｄ　　　 (ｉ=1 ,2 ,3…     

等差数列的性质及其应用

本文介绍等差数列的性质,目的在于掌握等差数列的性质,灵活运用性质解题,以提高解题能力.常用的性质有以下三条:(1)在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m、n、p、q∈N+).(2)在等差数列{an}中,若m+n=2k,则     

等差数列前n项和的一个性质

文[1]给出了等差数列的一个性质如下： 对于任意公差为d的等差数列{an},且．an≠0．总有： （-1）^0Cn^0/a1＋（-1）^1Cn^1/a^2＋（-1）^2Cn^2/a3＋…＋（-1）^iCn^i/ai＋1＋…^（-1）^nCn^n/an＋1=n!d^n/a1&#183;a2…an 文[2]又给出了等比数列的一个类似的性质如下：