拉格朗日中值定理的一个证明

拉格朗日定理:设1) f(x)在区间[a,b]内有定义而且是连续的,2) 至少在开区间(a,b)内有有穷导数f′(x)存在。那么在a与b之间必能求得一点(?)(a相似文献   

从一道竞赛试题谈中学生怎样学好数学

一九八三年省、市自治区联合数学竞赛第二试第二题(以下简称试题)及其解法是: 函数f(x)在〔0,1〕,上有定义,f(0)=f(1)。如果对于任意不同的x_1、x_2∈〔0,1〕都有∣f(x_2)-f(x_1)∣<∣x_2-x_1∣,求证∣f(x_2)-f(x_1)∣<1/2。证法:本题证法不止一个,这里介绍一个不妨设0≤x_11/2,则由f(0)=(1)可得∣f(x_2)-f(x_1)∣=∣f(x_2)-f(1)+f(0)--f(x_1)∣≤∣f(x_2)-f(1)∣+∣f(0)--f(x_1)∣≤(1-x_2)+(x_1-0)     

抽象函数证明中的巧妙“设”法

<正>例1已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x>0时,f(x)<0恒成立.(1)证明函数y=f(x)是R上的单调性;(2)讨论函数y=f(x)的奇偶性.思路一设元、凑已知.证明任取x_10)(设法为凑形),而f(a+b)=f(a)+f(b),∴f(x_2)-f(x_1)=f(x_1+t)-f(x_1)=f(x_1)+f(t)-f(x_1)=f(t).     

双变元不等式解法探究

<正>证明含有双变元的不等式,直接做往往比较麻烦,有些甚至无从下手.本文通过对几道典型例题探究,总结其中规律.1构造函数,将证明不等式等价转化为证明函数单调性例1已知函数f(x)=1/2x~2-ax+(a-1)lnx.求证:若1-1.证明不妨假设0相似文献   

浅谈函数的单调性及应用

函数的单调性是函数的重要性质 ,应用十分广泛 ,必须认真学好 .那么 ,怎样学好这个性质呢 ?1　切实掌握概念 ,打好学习基础课本指出 :设函数 f(x)的定义域为I ,如果对于属于定义域I内某区间上任意两个自变量的值x1,x2 ,当x1f(x2 ) ,那么 f(x)在这个区间上是增函数 (或减函数 ) .这个概念的核心是任意性和恒定性 .任意性是指x1,x2 是函数定义域内任意两个自变量 ,恒定性是指不等式 f(x1) f(x2 )是在x1相似文献   

广义凸函数性质初探

设函数f（x）在区间I上有定义．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为下凸的．如果对于任意x_1、x_2∈I和t∈（0，1）有则说f（x）在I上为上凸的，如果对于一切t∈（0，1），（1）式（（2）式）中的等式仅当x_1＝x_2时成立，则说f（x）在I上为严格下凸（严格上凸）的．显然，如果f（x）在I上是上凸的，则－f（x）在I上就是下凸的．为此，以下我们着重讨论下凸函数由［1］，若函数f（x）在区间I上连续且对任意x_1、x_2∈I成立，则f（x）在I上是下凸的．对于凸函数，我们有著名的Jensen不等式：命题1设f（x）是区间…     

几何凸函数的若干性质

1 预备知识 设函数f(x)在区间M上有定义,如果对于任意x0,x2∈M和t∈(0,1)都有 f[tx1+(1-t)x2]≤tf(x1)+(1-t)f(x2)(1)则说f(x)在M上为下凸的.如果(1)中的不等号反向,则说f(x)在M上为上凸的. 显然,如果f(x)在M上是上凸的,则-f(x)     

特取法解有关函数方程

在允许取值范围内赋变量予特殊值,从而使问题获解的方法叫“特取法”,下面谈谈特取法解有关函数方程的几个问题。一、证明函数f(x)的周期性例1设函数f(x)定义在整数集,且满足f(0)=1,f(1)=0,f(x_1 x_2) f(x_1-x_2)=2f(x_1)f(x_2),证明f(x)为周期函数。证明特取x_2=1,可得f(x_1 1) f(x_1-1)=2f(x_1)f(1)=0 再用x_1 2代入x_1且特取x_2=1,可得f(x_1 3) f(x_1 1)=2f(x_1 2)f(1)=0 由上述两式得f(x_1 3)=f(x_1-1) 令x_1=x 1得f(x 4)=f(x) 故f(x)是以4为周期的函数。二、证明函数f(x)的奇偶性例2已知f(x y) f(x-y)=2f(x)·f(y)对于一切实数X、y都成立,且f(0)≠0,     

关于一个积分不等式的Djokovi(?)''''s猜想(英文)

在1965年,Djokovi,D.Z提出[1]:设x_0(1-α_1)(x_2-x_0)时,(4)不成立,一般说,(4)式是否成立和点x_0相似文献   

单调函数的一个性质及应用

由单调函数的定义,我发现单调函数有如下性质:若函数f(x)在区间D上是增函数(减函数),则对于任意x1、x2∈D,恒有(x1-x2)(f(x1)-f(x2))≥0(≤0),或x1f(x1)+x2f(x2)≥(≤)x1f(x2)+x2f(x1).其中当且仅当x1=x2时取等号.这一性质在学习中往往被忽视.我发现,通过构造单调函数,利用此性质可巧妙解决许多问题,且解法简     

用函数凹凸性质证明三角形不等式的一个问题

一类三角形不等式应用函数的凹凸性来证明是很有效的。函数的凹凸性质可以表述为: 定理:若函数f(x)对某一区间上任意两点x_1、x_2都有 (f(x_1)+f(x_2))/2≤(或≥)f((x_1+x_2)/2) (1)则对于这个区间上任意的x_i(i=1,2,…,n)有(f(x_1)+…+f(x_n))/≤(或≥)((x_1+…+x_n)/n) (2)     

锥上双正齐性泛函的一个不等式

[1]与[2]给出了如下对称函数的一个不等式:设0相似文献   

我为高考设计题目

题55已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在实数x_0,使得f(x_0+1)=f(x_0)+f(1)成立.(1)函数f(x)=1/x是否属于集合M?说明理由;(2)证明:函数f(x)=2~x+x~2∈M;(3)设函数f(x)=1g a/(x~2+1)∈M,求a的取值范围.解(1)假设f(x)∈M,则存在x_0,使得     

函数不等式中的参数取值范围的求解方法

<正>求函数不等式f(x)≥g(x)中的参数的取值范围(最值)的方法到底有几种?何时用哪种方法求解速度快?对此问题,本文作一些归纳、总结、探究,以飨读者朋友.例1定义在R上的奇函数f(x)对任意x¹,x1,x²(x2(x¹≠x1≠x²)都有(x2)都有(x¹-x1-x²)[f(x2)[f(x¹)-f(x1)-f(x²)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a2)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a²e2e^a-aa-a²)     

高维K-q.c.的Hlder连续性系数的两个改进值

设f(x)是n维欧氏空间R~n中单位球B~b(n≥3)到自身上的K-拟共形映照,f(0)=0.已经知道(由F.W.Gehring证明),这种拟共形映照具有下式所示的Holder连续性:|f(x_1)-f(x_2)|≤4λ_n~2|x_1-x_2|K,x_1、x_2∈B~n,其中λ_n为R~n中Grotzsch区域函数的渐近常数。本文改进了Gehring的结果,给出了Holder连续性系数4λ_n~2的两个改进值:3λ_n~2和4~(1-1/2K)λ_n~(2-1/2K).     

Lipschitz结论的解题运用

1　引题设函数f(x) =x2 + 1,求证:对于任意不相等实数x1,x2 ,总有|f(x1) -f(x2 ) | <|x1-x2 |成立.说明:这是一道高中数学中的常见题.完成其证明,可以采用分析法,放缩法,数形结合法等初等方法,在此不再赘述.现行高中数学教材中新增了导数的内容,笔者通过研究,觉得这类问题有着较为深刻的高等数学背景,兹作分析阐述如下.2　问题的数学背景介绍若函数f(x)在区间I上的导函数f′(x)有界,则存在常数L ,使得对I上任意两点x′,x″,有|f(x′)-f(x″) |≤L|x′-x″| .这时称函数f(x)在区间I上满足利普希茨(Lipschitz)条件.证　设x′,x″为区间I上…     

函数性质中的一对姊妹花——对称性和周期性

我们知道，奇、偶函数具有如下重要性质：“函数f（x）的图象关于原点（0，0）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）＋f（-x）=0成立”；“函数f（x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）-f（-x）=0成立”．函数的奇偶性是函数对称性的最基本、最特殊的体现，现将其推广．     

一类含绝对值的斜率型不等式的统一求解模式

先看两道试题:1.如果对于函数f(x)的定义域内任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|成立,那么就称函数f(x)是定义域上的"平缓函数".设a,m为实常数,m>0,若f(x)=alnx是[m,∞)上的"平缓函数",试求a的取值范围.     

二元Bernstein多项式的Lipschitz常数

<正> 我们说f∈Lip_(Aμ)是指 |f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)|≤A|x_1-x_2|~μ+|y_1-y_2|~μ)对任何(x_1,y_1),(x_2,y_2)∈T成立。这里0<μ≤1,A是与f和μ有关的Lipschitz常数。     

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献