广义特征值问题近似收缩对组误差的残量界限

近年来,人们对矩阵不变子空间和矩阵束的广义不变子空间的计算颇为注意,关于误差和摄动理论的研究也比较深入.对于单个矩阵的情况,[4]中研究了非规范矩阵的近似特征组的残量界限,与大多数已有的误差估计不同,这个界限是可计算的,因而便于     

对称奇异矩阵束的Kronecker典则形的计算(英文)

对n×n对称奇异矩阵束A-λB应用对称收缩方法导出了一个可以成对地抽出Kronecker行指标和Kronecker列指标以及同时抽出无穷初等因子的算法。由于充分利用了矩阵束A-λB的对称性,因而我们的算法比其它已有的算法更有效。经算法收缩后的矩阵束仍是对称的,但只包含有限初等除式(因而是一个特殊的对称正则矩阵束)。原矩阵束所对应的对称广义特征值问题经收缩后约化为一个只含有限特征值的对称广义特征值问题,因而易于求解。     

不变子空间与广义不变子空间(Ⅰ)存在与唯一性定理

本文讨论与特征值和广义特征值问题相联系的某些子空间。在本文中,我们定义了矩阵对的“广义特征值方阵对”和“广义特征矩阵”,并由此建立了广义不变子空间的概念;建立了对应的子空间存在与唯一的充分必要条件;给出了广义不变子空间与G.W.Stewart定义的“收缩对”的关系。     

正则矩阵对的广义特征值扰动定理

1.引言 关于普通特征值扰动的Bauer-Fike定理已被推广到A为非可对角化的情形.与此相应,广义特征值的扰动问题,亦有类似的结论.将[1]中的结论稍加改进并且推广至一般正则对的情形,是本文一部分内容,另一部分是研究广义近似特征值以及广义近似不变子空间的特征值扰动,本文采用的范数不局限于谱范数,而是一般的p-范数(1≤p≤+∞).     

上三角矩阵最小奇异值估计的有关问题

1 引言 任何数值计算问题都应分析计算结果的精度.若使用向后稳定算法,则摄动分析把精度估计转化为条件数估计.从实用看,有一些数值代数问题的条件数估计相当于估计某个上三角阵的最小奇异值.这些问题包括;线性代数方程组的求解,用QR分解求解无约束最小二乘问题,矩阵不变子空间的计算,矩阵束的广义不变子空间及收缩子空间对的计算,矩阵Ricatti方程的求解.     

广义Rayleigh商矩阵和求解大稀疏广义特征值问题的块算法(英文)

从矩阵和矩阵束的Rayleigh商的极值性质出发,引进了矩阵束的广义Rayleigh商矩阵,证明了相应的极值定理,它包括了已有的各种 Ragleigh商作为特殊情况。 对求解大稀疏广义特征值问题 (A-λB)x=0,应用广义 Rayleigh 商矩阵的概念导出了不用对A,B或 A和B 的任何线性组合进行因子分解的快解法(BLRQ算法)。它解决了文[6]提出的计算中间特征值和特征向量的困难问题。证明了 BLRQ算法的总体收敛性和渐近平方收敛。     

亏损特征值的灵敏度分析

研究了广义特征问题中特征值和不变特征子空间对参数的导数,利用隐函数定理证明了亏损广义特征值问题的平均特征值对参数的解析性,并利用标准特征值的灵敏度分析得到了可约化广义亏损特征值的平均值和相应的不变子空间对参数的导数.这一结果在结构优化、模型修正、以及故障诊断等领域中有着重要应用,为工程计算提供了理论依据.     

实矩阵特征值排序的直接算法

矩阵不变子空间的计算是求解矩阵特征值问题的继续。近年来发展的计算不变子空间的正交基或更一般的稳定基的算法中,常需解决将特征值按要求的次序排列的问题,不妨称之为排序问题。对於复矩阵,不变子空间的稳定基的计算是首先应用QR方法将矩阵经酉相似变换约化为上三角阵,而对上三角阵Ruhe提出了一个简单而有效     

关于对称块轮换矩阵的注记

本文研究了对称块轮换矩阵和对称块轮换矩阵束的特征值和广义特征值问题。导出了它们的特征分解。当对称块轮换矩阵的每个块本身也是轮换矩阵时,本文的结果校正了[2]中的错误。     

Ⅱ空间上的酉算子(Ⅱ)

对于Krein空间Ⅱ上的自共轭算子下面的结果是熟知的:A是Ⅱ上有界自共轭算子,是正则分解,如果是紧算子,则存在A的极大半负不变子空间。但是,在[5]中并未出现不变子空间的形式,这对进一步的讨论是不方便的。本文是文[1]的继续,我们将证明在种种(不同于正[5]的)假设下的酉算子存在极大半负不变子空间,我们还将给出不变子空间的形式,酉算子的谱和结构。     

关于(M)类拟总体列紧算子序列

本文引入了一类算子序列,讨论了这类算子的逼近性质,是[4],[5]的自然推广。X 是 Banach 空间,[X]表示 X 上线性有界算子全体,用ρ(A)、σ(A)分别表示A(∈[X])的正则集和谱集。如果λ是算子 A 的特征值,用(?)_λ(A)表示相应的特征子空间。任意(?)[X],称(?)为总体列紧,假设(?)A(?)是相对列紧集(其中(?)为 X 中的单位球)[1],{Π_n)(?)[X],如果任意ε>0,存在 N,使(?)Π_n B 有有限ε-网,则称{Π_n}为广义总体列紧算子序列[4]。我们引入一类新的算子序列。     

广义特征值问题的收缩算法

设n×n矩阵A和B组成的矩阵对(A,B)是正则的,即A+λB是一个正则束: det(A+B) 0。 考虑求解广义特征值问题 Ax=λBx, (1)由于A+λB是正则统,问题(1)恰有n个广义特征值,但当B奇异时,它包含一个     

针对某类小输入控制系统的Hamilton QR算法

上标*表示矩阵的共轭转置,象文[1]、[2],我们记(2)的矩阵H=HAM(A,G,F)。 由于H与—H~·相似(JHJ~(-1)=—H~·),因此H的特征值是成(λ,—λ)对出现的。解线性二次最优控制问题所需要的是求H相应于左半平面特征值所对应的不变子空间X。 A.Laub利用QR算法计算X,他把H当作一般的2n阶矩阵而忽略了H的特殊结     

矩阵特征值分离度的下界

这里λ_n<λ_(n-1)<…<λ_1。 分离度是矩阵特征值计算中的一个有用的概念,它与矩阵特征值计算的难易程度关系极为密切。估计分离度的界限,能够预测用特定方法计算特征值的运算次数,这个课题是M.Newman提出的。 众所周知,求矩阵特征值等价于高次方程求根。有关多项式根的分离度(其定义与(1)类似),在[1],[2]中有了一些结果。但是,它们都含有多项式的系数,对于矩阵,使用     

Sylvester方程在矩阵扰动分析中的应用

§1.引言 矩阵扰动分析的研究对于矩阵论的发展及数值分析问题计算结果的分析和处理都有重要意义.有关特征值、广义特征值及最小二乘问题的主要研究结果均含于[1]中,[5]运用二次方程根的判别法通过对代数Ricatti方程的解的估计给出了QR分解因子及Cholesky因子的扰动分析,但论证方法及所得结果都比较复杂且所求条件很强.[3]和     

不变子空间与广义不变子空间——(Ⅱ)扰动定理

关于矩阵的不变子空间,自然会提出这样一个扰动问题:设Z_1∈C~(n×l)是A∈C~(n×n)的一个特征矩阵,若E∈C~(n×n)是一个扰动矩阵,问A+B是否存在特征矩阵Z_1,使得(Z_1)靠近R(Z_1)?关于矩阵对的广义不变子空间.也可以类似地提出问题。 对于这些问题,G.W.Stewart曾经讨论过,他的方法的关键是构造一种求解二次矩阵方程的迭代过程,用来逼近矩阵的一个不变子空间;而本文建议另一种迭代格式,用这种迭代逼近一个不变(或广义不变)子空间,具有二次收敛速度。     

多参数二次特征值问题重特征值的灵敏度分析

本文研究解析依赖于多参数的二次特征值问题重特征值的灵敏度分析,得到了重特征值的方向导数,证明了相应的特征向量矩阵和特征值平均值的解析性,给出了其一阶偏导数的表达式．然后以这些结论为基础,定义了二次特征值问题重特征值及其不变子空间的灵敏度,并给出了确定二次特征值问题所含矩阵中敏感元素的方法．     

联合次正常算子族的不变子空间

一族次正常算子如有相互可交换的正常扩张,则称作为联合次正常算子族。本文通过引进无限维空间上测度的部分Cauchy变换的概念,建立了部分Cauchy变换与有限维柱集上的分布的方程,利用Thomson技巧,证明了联合次正常算子族必有公共的非平凡不变子空间。作为应用,得到了单个次正常算子的限制代数的非平凡的不变子空间的存在性。最后,在具有循环元的情形,证明了联合次正常算子族的超不变子空间的存在性。     

关于Max-代数上矩阵的广义逆

探讨了一类Max-代数上矩阵的广义逆,得到了Max-代数上矩阵正则的基本性质及判定方法.同时,引入矩阵空间分解的概念,并证明一个矩阵是正则的当且仅当它是可空间分解的.     

一种求解特征值问题的广义共轭梯度算法

本文基于阻尼块反幂法与子空间投影算法设计了一种求解特征值问题的广义共轭梯度算法,同时也实现了相应的计算软件包.然后对算法和计算过程进行一系列的优化来提高算法的稳定性、计算效率和并行可扩展性,使得本文的算法适合在并行计算环境下求解大规模稀疏矩阵的特征值.所形成的软件包不依赖于矩阵和向量的具体结构,可以应用于任意的矩阵向量结构.针对几种典型矩阵的测试结果表明,本文的算法和软件包不但具有良好的数值稳定性和可扩展性,同时相比于SLEPc软件包中的LOBPCG (locally optimal block preconditioned conjugate gradient)和Jacobi-Davidson解法器有2至6倍的效率提升.软件包的网址是https://github.com/pase2017/GCGE-1.0.