On Karamardian's theorem about lower semicontinuous strictly quasiconvex functions

Summary A well-known theorem ofKaramardian [1967] says: A lower semicontinuous and strictly quasiconvex real-valued function defined on a convex subset ofR ⁿ is quasiconvex. A proof is given for the following generalization: A connected quasiorder valued function, defined on a convex subset of a normed real linear space, which is lower semicontinuous and strictly midpointquasiconvex is actually both quasiconvex and strictly quasiconvex. A number of similar results are proved interrelating the concepts of midpoint-quasiconvexity, rational quasiconvexity, quasiconvexity and their strict counterparts.

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Zusammenfassung Ein bekannter Satz vonKaramardian [1967] lautet: Eine strikt quasikonvexe und nach unten halbstetige reellwertige Funktion auf einer konvexen Teilmenge desR ⁿ ist quasikonvex. Es wird folgende Verallgemeinerung bewiesen: Eine strikt mittelpunktsquasikonvexe und nach unten halbstetige konnexquasiordnungswertige Funktion auf einer konvexen Teilmenge eines normierten reellen linearen Raumes ist quasikonvex und strikt quasikonvex. Ferner wird eine Anzahl ähnlicher Aussagen bewiesen, die die Begriffe Mittelpunktsqausikonvexität, rationale Quasikonvexität und Quasikonvexität sowie deren strikte Entsprechungen miteinander in Beziehung setzen.

     

Nullstelleneinschließung mit dem Newton-Verfahren ohne Invertierung von Intervallmatrizen

Zusammenfassung Verschiedene Erweiterungen und Modifikationen des Newton-Verfahrens gestatten es, eine Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems imR ⁿ fortwährend einzuschließen [1, 7, 10]. Um bei diesen Verfahren überlineare Konvergenz zu erzielen, ist in jedem Iterationsschritt im allgemeinen eine Intervallmatrix zu invertieren. Es wird ein Verfahren angegeben, bei welchem diese Invertierung vermieden wird, ohne daß dabei die überlineare Konvergenz verlorengeht.

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Including zeros of nonlinear equations by Newton-method without inverting intervalmatrices

Summary Some extensions and modifications of the well-known Newton-method, developped during the last few years by means of interval arithmetic are yielding lower and upper bounds for the solution of a set of nonlinear equations. To have superlinear convergence behaviour it is necessary, in general, to invert intervalmatrices. In this note we give a modification converging superlinear, without the necessity of inverting matrices. Two numerical examples are given.

     

Stationäre zufällige Maße auf lokalkompakten Abelschen Gruppen

Zusammenfassung Als ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung stationärer zufälliger Ma\e auf einer lokalkompakten Ahelsehen Gruppe G wird in Abschnitt 2 der vorliegenden Arbeit das Palmsche Ma\ eines stationären zufälligen Ma\es eingeführt. Dieser Begriff wurde durch eine sinngemä\e Verallgemeinerung des Palmschen Ma\es einer stationären zufälligen Punktfolge auf der reellen Achse gewonnen ([6], [11], [13], [14]). Die in Abschnitt 2 entwickelte Theorie ist insbesondere auf den Spezialfall der stationären zufälligen Punktfolgen auf dem R ⁿ anwendbar (G = R ⁿ . Mit Wahrscheinlichkeit l kommen nur ganzzahlige Ma\e auf G vor).In Abschnitt 5 wird eine spezielle Klasse zufälliger Ma\e auf G untersucht. Zu ihrer Konstruktion benötigt man den Begriff des Poissonschen Prozesses mit vorgegebener Intensitätsverteilung auf einem beliebigen me\baren Raum, der in Abschnitt 3 eingeführt wird (vgl. [12]).Aus der Konstruktion der zufälligen Ma\e, die in Abschnitt 5 untersucht werden, ist sofort zu ersehen, da\ sie unbegrenzt teilbar sind. Auf die Möglichkeit, die unbegrenzt teilbaren zufälligen Ma\e in dieser Weise darzustellen, wurde bereits in der Dissertation [7] hingewiesen. In Abschnitt 6 wird der Nachweis geführt, da\ die Klasse der in Abschnitt 5 betrachteten zufälligen Ma\e bereits alle stationären unbegrenzt teilbaren zufälligen Ma\e umfa\t.Die stationären Poissonschen Prozesse auf G als spezielle unbegrenzt teilbare stationäre zufällige Ma\e werden, da sie ein besonderes Interesse verdienen, bereits in Abschnitt 4 behandelt.Mit Hilfe des Palmschen Ma\es kann eine interessante Charakterisierung der unbegrenzt teilbaren stationären zufälligen Ma\e auf G gegeben werden (s. Satz 6.1), die das eigentliche Anliegen der Arbeit bildet. Im Spezialfall der zufälligen Punktfolgen ohne Mehrfachpunkte auf der reellen Achse wurde der entsprechende Satz schon von kerstan und matthes [6] als Verallgemeinerung eines Satzes von sliwnjak für stationäre Poissonsche Punktfolgen auf der reellen Achse gewonnen (Satz 4.1 für G = R ¹). Unabhängig davon hat sich ambarzumjan [1] mit dem entsprechenden Problem für zufällige Punktfolgen auf dem R ⁿ beschäftigt.Satz 3.1 kann als Verallgemeinerung des ursprünglichen Satzes von sliwnjak in anderer Hinsicht aufgefa\t werden, und zwar in Richtung des übergangs von der reellen Achse zu einem beliebigen me\baren Raum (wo von Stationarität zufälliger Punktfolgen keine Rede mehr ist).Die Charakterisierung der unbegrenzt teilbaren zufälligen Ma\e mit Hilfe des Laplaceschen Punktionals (Formel (5.5) mit (5.1)) findet sich bereits bei lee in [7] (auf allgemeineren Räumen als G), im Spezialfall zufälliger endlicher Ma\e auf R ¹ auch bei jiina [4].     

Fujita type results for convective-like reaction diffusion equations in exterior domains

Zusammenfassung Das Blow-up Resultat von Fujita imR ^N wird auf beliebige parabolische Differentialgleichungen 2. Ordnung mit Konvektionstermen und auf Aussengebiete verallgemeinert. Dabei wird die Konvexitätsmethode benützt.

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Résumé On étend le résultat de Fujita à des équations paraboliques générale du 2^ième ordre et à des domaines extérieurs. On utilise la méthode de convexité.

     

Natural convection between horizontal heated concentric circular cylinders

Natural convection between infinitely long, horizontal, heated, concentric circular cylinders is considered. It is assumed that the temperature difference between the cylinders is small and also that the radius of the inner cylinder is small. It is shown that the problem is mainly conduction dominated provided thatR, the ratio of the radius of the outer cylinder to the radius of the inner cylinder, is not too large. The criterion derived for a conduction dominated problem is a relation betweenR and the Grashof number.

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Zusammenfassung Die freie Konvektion zwischen zwei unendlichen, horizontalen, geheizten, konzentrischen Zylindern wird untersucht. Der Temperaturunterschied zwischen den Zylindern sowohl wie der Radius des inneren Zylinders, wird klein angenommen. Es wird gezeigt, dass das Problem vom Wärmedurchgang beherrscht ist, fallsR, das Verhältnis zwischen dem Radius des äusseren und inneren Zylinders, nicht zu gross ist. Das abgeleitete Kriterium für diesen Fall ist eine Beziehung zwischenR und der Grashof-Zahl.

     

Heat transfer from a porous sphere in low Reynolds number flow

This paper deals with the problem of the effect of permeability in the steady state heat transfer from a single porous sphere at low Reynolds number with the assumptionsPr=0(1) andR<1. The solution is sought by the method of matched asymptotic expansions. The Nusselt number,Nu, for isothermal sphere has been calculated for different values ofk, wherek being the permeability associated with the porosity of the sphere. We notice that the Nusselt number increases as the permeability increases in the range 0<R<0.35 with the Prandtl numberPr=0.7, the rate of increase is very small, while for the Reynolds numberR0.35 Nusselt number decreases ask increases and the rate of decrease is large.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird der Einfluss der Durchlässigkeit von einer porösen Kugel auf den Wärmeübergang behandelt, bei kleiner Reynolds-ZahlR undPr=0(1). Die Lösung wird mit der Methode der angepassten asymptotischen Entwicklung gewonnen. Die Nusselt'sche ZahlNu für die isotherme Kugel wurde für verschiedene Werte des Durchlässigkeits-Koeffizientenk ausgerechnet. Man findet, dass die Nusselt'sche Zahl (schwach) zunimmt mit der Durchlässigkeit für 0<R<0.35 mitPr=0.7, wogegen fürR0.35Nu (stark) abnimmt mit wachsendemk.

     

Einfluß der Seitenwände auf das Einsetzen der Konvektion in einer horizontalen Flüssigkeitsschicht

Zusammenfassung Der Einfluß der Seitenwände auf das Einsetzen von Naturkonvektion in einem beheizten Fluid wird untersucht, wobei die Wärme sowohl über die Berandung als auch durch innere Wärmequellen dem Medium zugeführt wird. Betrachtet wird eine Fluidschicht, die inx-Richtung unendlich ausgedehnt und durch vier Seiten begrenzt ist.Eine zweidimensionale Approximation dieses dreidimensionalen Problems wird mit Lösungen verglichen, die sich unter Benutzung einer allgemeinen dreidimensionalen Darstellung eines toroidalen und poloidalen Vektorfeldes für den Fall von freien bzw. festen horizontalen und festen vertikalen Rändern ergeben.Für Höhen- zu BreitenverhältnisseA, die zwischen 0.001 und 100 liegen, unterscheiden sich die kritischen Rayleighzahlen bei der zweidimensionalen Approximation nur wenig von den Ergebnissen des allgemeinen dreidimensionalen Falles. Zusätzlich werden für die zweidimensionale Approximation unter Berücksichtigung innerer Wärmequellen die kritischen externen Rayleighzahlen bestimmt, wobei die Rayleighzahlen für interne Wärmequellen in einem Bereich von 0R₁<10⁶ liegen. Soweit ein Vergleich der hier gewonnenen Ergebnisse mit denen aus Experimenten und früheren theoretischen Untersuchungen möglich ist, wurde gute Übereinstimmung festgestellt.

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Summary The influence of sidewalls on the onset of convection in a differentially and internally heated fluid layer is investigated. A two-dimensional approximation to the three-dimensional problem is compared to solutions using a general three-dimensional representation of the toroidal and poloidal vector fields in the case of free and rigid upper and lower boundaries with rigid sidewalls. For all aspect ratios, 0.001A100, it is found that the critical Rayleigh numbers in the two-dimensional approximation do not differ substantially from the general three-dimensional results. Additionally, in the two-dimensional approximation, the problem is investigated with both internal heating and an imposed temperature difference between the upper and lower boundaries. In this case all boundaries are rigid and the critical Rayleigh numbers, R_E, are obtained for aspect ratios between 0.001 and 100 and internal Rayleigh numbers in the range 0R_I<10⁶. Where comparison of the results with experimental and previous theoretical results is possible, good agreement is found.

     

A railway scheduling problem

It is discussed hown railway routes arriving regularly at some station should be scheduled to minimize the maximum waiting time for passengers changing trains.

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Zusammenfassung In der Arbeit wird untersucht, wie man fürn Eisenbahnlinien, die in regelmä\igen Abständen in einem Bahnhof eintreffen, die optimale Reihenfolge erhält, so da\ die maximale Wartezeit für die Reisenden, die in den Zug einer anderen Linie umsteigen wollen, minimiert wird.

     

Optimal scheduling of unit-time tasks on two uniform processors under tree-like precedence constraints

An O(n ³/(b+1)) time algorithm to obtain a minimum finish time schedule subject to tree-like precedence constraints for unit-time tasks on two uniform processors is obtained. It is assumed that the slower processor takesb time units for each one taken by the speedier one, for some integerb. It is also noted that a slight modification of this schedule yields a minimum mean flow time schedule.

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Zusammenfassung Es wird ein Algorithmus der Ordnung O(n ³/(b+1)) zur Ermittlung der frühesten Fertigstellungszeit für Schedulingprobleme mit 2 Prozessoren und baumartigen Präzendenzbeziehungen angegeben. Dabei wird angenommen, daßt die Durchführung jeder einzlnen Aufgabe gleich lange dauert, der langsamere Prozessor jedochb Zeiteinheiten (b ganzzahlig) zur Durchführung einer Aufgabe benötigt. Ferner wird gezeigt, dafß eine leichte Modifikation der Lösung eine Reihenfolge mit minimaler mittlerer Durchlaufzeit ergibt.

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This research is supported in parts by NSERC Grant A4619 and the Manufacturing Research Corporation of Ontario.

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On leave from Department of Computer Science, Technical University of Gdansk.     

Smooth Quasiregular Maps with Branching in R n

According to a theorem of Martio, Rickman and Väisälä, all nonconstant C^n/(n-2)-smooth quasiregular maps in Rⁿ, n≥3, are local homeomorphisms. Bonk and Heinonen proved that the order of smoothness is sharp in R³. We prove that the order of smoothness is sharp in R⁴. For each n≥5 we construct a C^1+ε(n)-smooth quasiregular map in Rⁿ with nonempty branch set.     

On the elastic fibre pull-out problem: asymptotic and numerical results

Summary In this paper we present some asymptotic results for the pull out of a nearly-rigid fibre from an elastic matrix. The asymptotic results are accurate toO( ²), where=(ln 2l/R)^–1, if the fibre is pull-out from a semi-infinite matrix, and toO(h ²/l ²) if the fibre is pull-out from a matrix contained in a cylindrical container of radiush. Here R andl are the fibre radius and length, respectively. An interpolation formula is suggested which yields correct asymptotic behaviour at bothh/l=0 andh/l . These asymptotic results are confirmed by numerical methods to at least an aspect ratio ofl/R9. We also report some numerical confirmation of a previous approximate result for the pull out of a rigid fibre with an enlarged spherical end.

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Zusammenfassung In der vorliegenden Arbeit geben wir einige asymptotische Ergebnisse für das Ausziehen einer beinahe starren Faser aus einer elastischen Matrix. Die asymptotischen Resultate sind aufO( ²) genau, wo=(ln 2l/R)^–1 bedeutet, falls die Faser aus einer halbunendlichen Matrix ausgezogen wird. Sie sind aufO(h ²/l ²) genau, falls die Faser aus einer Matrix ausgezogen wird, welche einen Zylinder vom Radiush füllt. Eine Interpolationsformel, die das richtige asymptotische Verhalten fürh/l=0 undh/l aufweist, wird vorgeschlagen. Diese asymptotischen Ergebnisse werden durch numerische Methoden mindestens bis geometrische Verhältnisse vonl/R9 bestätigt. Wir berichten ebenfalls über eine gewisse numerische Bestätigung eines früheren approximativen Resultats für das Ausziehen einer starren Faser mit einem vergrößerten sphärischen Kopf.

     

The structure on invariant measures of <Emphasis Type="Italic">C</Emphasis><Superscript>1</Superscript> generic diffeomorphisms

Let Λ be an isolated non-trivial transitive set of a C 1 generic diffeomorphism f ∈ Diff (M ). We show that the space of invariant measures supported on Λ coincides with the space of accumulation measures of time averages on one orbit. Moreover, the set of points having this property is residual in Λ (which implies that the set of irregular+ points is also residual in Λ). As an application, we show that the non-uniform hyperbolicity of irregular+ points in Λ with totally 0 measure (resp., the non-uniform hyperbolicity of a generic subset in Λ) determines the uniform hyperbolicity of Λ.     

A theory for the numerical analysis of compound branching

Zusammenfassung Eine allgemeine Theorie zur numerischen Berechnung eines konservativen Systems mitn Freiheitsgraden undm überlagerten Verzweigungspunkten wird dargestellt. Im Unterschied zu früheren Arbeiten wird kein Diagonalisierungsschema der totalen potentiellen Energie benötigt. Ein Störungsschema wird angegeben, umn–m verallgemeinerte Koordinaten mit Hilfe vonn–m Gleichgewichtsbedingungen zu eliminieren. Anschließend wird ein zweites Störungsschema angegeben, um die Ableitungen der 2 ^m –1 möglichen Äste der Last-Verformungskurven, die im kritischen Punkt entspringen, zu bestimmen. Anschließend wird die Theorie auf zweifache kritische Punkte angewendet, die beim Ausbeulen der durch gleichmäßigen Außendruck belasteten vollständigen Kugelschale auftreten.     

Reduktion von Präzedenzstrukturen

Zusammenfassung Es wird zunächst der Begriff des (transitiv) irreduziblen KernsG _* eines gerichteten GraphenG eingeführt und einige Eigenschaften von irreduziblen Kernen hergeleitet. — Es wird insbesondere gezeigt, daß mit höchstens 0(n ³) elementaren Rechenoperationen die Bestimmung eines Kernes eines beliebigen gerichteten Graphen mitn Ecken möglich ist. — Für Ablaufprobleme zeigt dieses Resultat, daß höchstens 0(n ³) Operationen notwendig sind, um alle redundanten Nebenbedingungen zu eliminieren.

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Summary A (transitive) irreducible kernelG _* of a directed graphG is introduced as a partial graph ofG, which has the same transitive closure asG while no proper subgraph ofG _* has this property. — The author shows that at most 0(n ³) elementary operations are necessary to obtain a kernel of an arbitrary graph wheren is the number of vertices ofG. In the case of scheduling problems this result shows that at most 0(n ³) operations are needed to eliminate all redundant constraints.

     

On the stability of bifurcation branches in thermal ignition

Summary A method is given to determine the stability of stationary solutions of the thermal ignition equation for the case ofn-dimensional spherical symmetry, together with the number of unstable modes. For sufficiently high temperature and activation temperature this number is arbitrarily large. Some numerical results on the solutions and their stability are reported.

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Zusammenfassung Ein Verfahren zur Bestimmung der Stabilität stationärer Lösungen der Gleichung der thermischen Selbstzündung imn-dimensionalen kugelsymmetrischen Fall sowie der Anzahl instabiler Eigenfunktionen wird angegeben. Für genügend hohe Temperatur und Aktivierungstemperatur ist diese Anzahl beliebig groß. Einige numerische Ergebnisse über die Lösungen und ihre Stabilität werden berichtet.

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Part of this work has been done during the author's stay at the Applied Physics Laboratory of Johns Hopkins University Laurel Maryland USA     

The focal point method for solving systems of linear equations

The Focal Point method of solving systems of linear equations is based on the linearity of matrix transformations and the fact that each equation in the system defines a hyperplane of solutions. As with Gaussian elimination the number of multiplications is a cubic polynomial inn with leading coefficientn ³/3. Some of the benefits of this new method are that it needs approximatelyn ²/4 storage registers and that the zeroes of the system are preserved. Thus for sparse systems the operation count can be significantly reduced. Numerical examples using initial segments of the Hilbert matrix demonstrate that this new method can be very accurate.

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Zusammenfassung Die Vektor Projektions Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist darauf begründet, daß jede Gleichung eine Hyperebene definiert und daß die Berechnung der Projektionspunkte linear ist. Wie bei der Gauss'schen Eliminierung wird die Anzahl der Multiplikationen durch ein kubisches Polynom mit höchstem Koeffizientenn ³/3 beschrieben. Zwei Vorteile der neuen Methode sind, daß nur etwan ²/4 Speicherplätze benötigt werden, und daß Null-Koeffizienten im Gleichungsystem erhalten bleiben. Damit kann die Anzahl der Rechenoperationen bei dünnbesetzten Matrizen erheblich reduziert werden. Die gute Genauigkeit des neuen Verfahrens wird am Beispiel der numerischen Inversion von Hilbert-Matrizen verschiedener Größe gezeigt.

     

Fouriertransformation auf dünnen Gittern mit hierarchischen Basen

Zusammenfassung Es wird ein auf der schnellen Fouriertransformation beruhender Algorithmus zur trigonometrischen Interpolation von multivariaten Funktionen auf einem dünnen Gitter beschrieben. Bei nur geringfügig schlechterer Approximationsgenauigkeit für Funktionen aus Korobovräumen hat dieser Algorithmus eine viel kleinere Komplexität als die Algorithmen, die auf gewöhnlichen Gittern arbeiten. Die Transformation ist auf einfache Weise umkehrbar.

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Fouriertransform on sparse grids with hierarchical bases

Summary An algorithm for the trigonometric interpolation of functions ofn variables on a sparse grid is described. This discrete Fourier transform based on FFT has a greatly reduced complexity in comparison to the fourier transform on a regular grid whereas the approximation quality is only slightly reduced if the function belongs to a Korobov space. The transformation is easily invertible.

     

Two-dimensional steady temperature fields in a stratiform half-space

Zusammenfassung Für einen ausn Schichten verschiedener Wärmeleitfähigkeit bestehenden unendlichen Halbraum wird die Temperaturverteilung berechnet, die sich einstellt, wenn an der freien Oberfläche ein beliebiger Temperaturverlauf vorgeschrieben wird. Eine geschlossene Darstellung ist im allgemeinen nicht möglich, doch gibt es Fälle, wo die Lösung verhältnismässig einfach wird.     

Minimizing the makespan in a 2-machine flowshop with time lags and setup conditions

A special case of the flowshop problem of sequencingn jobs on two machines, to minimize the makespan, is solved under setup considerations and with time lags.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Minimierung der Fertigstellungsdauer vonn Aufträgen auf 2 Maschinen behandelt, wobei auch Umrüstzeiten für die Maschinen und Aufbereitungszeiten für die Aufträge in Betracht gezogen werden.

     

Untersuchungen zum Optimum-Mix Problem

Zusammenfassung Zur Lösung vonm Aufgaben stehen jeweilsn Hilfsmittel zur Verfügung. Die Kostenfunktion für ein Hilfsmittel ist eine nichtlineare, monoton wachsende und konkave Funktion. Es wird zugelassen, daß eine Aufgabe durch mehrere Hilfsmittel gelöst wird. Gesucht ist eine Strategie, so daß die Gesamtkosten des Problems minimal werden. Es wird gezeigt, daß in der optimalen Strategie eine Aufgabe durch genau ein Hilfsmittel gelöst wird und ein Kriterium für Optimalität wird hergeleitet. Ferner wird ein Algorithmus angegeben, der es gestattet, die in Betracht kommenden Möglichkeiten stark einzuschränken, ohne die spezielle Gestalt der Kostenfunktionen zu kennen.

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Summary m tasks are to be carried out, each by a given number of resources of one particular kind.n different kinds are available. The cost function for resources is assumed to be nonlinear, monotonic, and strictly concave. It is admissible to carry out a task by simultaneous use of several resources. The problem is to find a strategy which minimizes the total costs. It will be shown that in an optimal strategy one task is carried out by exactly one kind of resource. A criterion for optimialization will be given. Further an algorithm is stated which permits to reduce the number of possibilities to be encountered without information about the special form of the cost functions.

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Vorgel. v.:N. Hofreiter