对“基底”的广义理解

一、基底 1．平面向量基本定理：如果e1^→、e2^→是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a^→,有且只有一对实数λ1、λ2,使a^→=λ1e1^→＋λ2e2^→．     

几个著名定理的向量法证明

1　梅涅劳斯定理及其逆定理设直线PR分别交△ABC三边AB ,BC ,CA(或延长线)于R ,P ,Q ,求证:|AR||RB| ·|BP||PC| ·|CQ||QA| =1图1　三角形证　设|BP||PC| =m ,|AR||RB| =q ,|CQ||QA| =n ,则PC→=11 -mBC→,CQ→=nn + 1 CA→,AR→=q1 +qAB→,QA→=1n + 1 CA→,∴PQ→=PC→+CQ→=11 -mBC→+ nn + 1 CA→,　QR→=QA→+AR→=1n + 1 CA→+ q1 +qAB→.因为P ,Q ,R三点共线,所以存在实数λ使得PQ→=λQR→.即11 -mBC→+ nn + 1 CA→=λ( 1n + 1 CA→+q1 +qAB→) =λ[1n + 1 CA→+ q1 +q(AC→+CB→) ]=( λn…     

关于c（向量）=xa（向量）＋yb（向量）的几种常见转化方法

以c→=xa→＋yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→＋2/3OC→,则｜AB→｜∶｜BC→｜=.解∵OB→=1/3OA→＋2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,     

关于c(向量)=xa(向量)+yb(向量)的几种常见转化方法

<正>以c→=xa→+yb→形式引入,考查向量相关知识,很多同学感到很困难,它常与几何图形相结合,通过几个例子说明常见转化方法.一、变形,发现几何关系求解例1已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足OB→=1/3OA→+2/3OC→,则|AB→|∶|BC→|=.解∵OB→=1/3OA→+2/3OC→,∴OB→-OC→=1/3OA→-1/3OC→,得CB→=1/3CA→,     

直线与平面垂直判定定理新证

如图 ,ｌ1 α ,ｌ2 α ,ｌ1∩ｌ2 =Ｐ ,则ｌ⊥ｌ1 且ｌ⊥ｌ2 ｌ⊥α .证明　在ｌ1 ,ｌ2 ,ｌ上各取一段向量 ,不妨皆取单位向量 :如图ｅ1——→ ,ｅ2——→,ｅ3——→.ｌ⊥ｌ1 ｅ1——→·ｅ3——→=0 ,ｌ⊥ｌ2 ｅ2——→·ｅ3——→=0 ,ｌ1 ∩ｌ2 =Ｐ 可由ｅ1——→,ｅ2——→ 确定整个平面α上的任何向量 .即对平面α上任一向量ｖ——→,可表为ｖ——→ =λ1 ｅ1——→+λ2 ｅ2——→,从而　ｅ3——→·ｖ——→=ｅ3——→·(λ1 ｅ1——→ +λ2 ｅ2——→)　　 =λ1 ｅ3——→·ｅ1——→ +λ2 ｅ3——→·ｅ2——→ =0 ,从而ｌ与平面…     

特殊化坐标法在向量中的应用

<正>向量兼具代数和几何的双重身份,体现了数形结合的数学思想.而向量问题的解决也因此而具有多种途径.下面结合例题加以说明.例1(2007年北京理科)已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC边中点,且2OA→+OB→+OC→=0→,那么( ).(A)AO→=OD→(B)AO→=2 OD→(C)AO→=3 OD→(D)2 AO→=OD→     

三角形中的一个共点性质

本文给出三角形中的一个共点性质,并兼证三角形重心的一个向量性质与三角形内心的一个向量性质． 性质 点M是△ABC内一点,直线BM交边AC于点E,直线CM交边AB于点F,过点M的直线分别交AB、AC于点P、Q,AF^→=mAB,AE^→=nAC^→,AP^→=xAB^→,AQ^→=yAC^→,则1-m/my＋1-n/nx=1-mn/mn.     

八校联考数学试卷(理)

第Ⅰ卷 　　一、选择题(10×5=50) 　　1.与集合{x∈NI>1,且x≤3}相等的集合是( ) 　　A.{2} B.{1,2,3} 　　C.{xlx=3,或x=2}D.{xlx:3,且x=2} 　　2.若四边形ABCD满足:AB→=DC→,且IABI→-IADI→,则四边形ABCD的形状是( ) 　　A.矩形 B.正方形 　　C.等腰梯形 D.菱形……     

用定比的一个性质求一类参数的取值范围

已知定点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）在直线l：Ax＋By＋C=0外,直线l与直线P1P2相交于点P,若P1P→=λPP2→,则称λ为直线l分P1P2→所成的比．当P在线段P1P2上时,λ=〉0,当P在线段P1P2的延长线上时,λ〈-1,当P在线段P1P2的反向延长线上时,-1〈λ〈0．     

2009年安徽卷中一道高考题的思考过程

翻开2009年安徽卷我们发现有这样一道题: 　　图1例1 (理科14题)给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→,它们的夹角为120°.如图1所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,则x+y的最大值是__.……     

向量的简单分解与合成

所谓向量的简单分解,即对向量AB^→,可任意引入一个需要的点O,有AB^→=AO^→＋OB^→或AB^→=0B—OA^→．     

审视一道椭圆内接三角形问题

<正>某地一次调研考试有如下一道题:已知椭圆■(a>b>0)的长轴长为4,离心率为■.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上的点A(x0,y0)(x0y0≠0)的直线l与x,y轴的交点分别为M,N,且AN→=2MA→,过原点O的直线m与l平行,且与C交于B,D两点,求△ABD面积的最大值.     

两个三角形重心相同的充要条件

定理:在△ABC中,A1、B1、C1分别是直线BC、CQ、AB上的点,且有→AC1=→λC1B,→BA1=μ→A2C,→CB1=t→B1A,则△A1 B1 C1与△ABC有相同重心的充要条件是λ=μ=t,其中λ、μ、t均是不为-1的实数.……     

三角形的一个性质

性质 已知△ABC及其内部一点P，若λ1 PA^→λ2 PB^→＋λ3 PC^→=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3。     

直线的向量参数方程的推广及应用

新人教必修4第二章平面向量：已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=（1-t）O→A＋tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA＋B→μO,当λ＋μ=1时,点P在直线L上,当λ＋μ≠1时,点P在哪？就这个问题做一下探讨,供参考.     

直线的向量参数方程的推广及应用

<正>新人教必修4第二章平面向量:已知A、B是直线L上任意两点,O是L外一点,则对直线L上任意一点P,存在实数t,使O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=(1-t)O→A+tOB→,此向量等式叫做直线L的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足A→P=tAB→.若点P是平面内任意一点,向量O→P关于基底{O→A,O→B}的分解式为O→P=→λOA+B→μO,当λ+μ=1时,点P在直线L上,当λ+μ≠1时,点P在哪?就这个问题做一下探讨,供参考.     

再论两个三角形重心相同的充要条件

文[1]得到△ABC与△A1B1C1有相同重心的充要条件为 1/1＋λ＋t/1＋t=1/1＋μ＋λ/1＋λ=1/1＋t＋μ/1＋μ     

借助向量的基底解题

一、基底的有关概念 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a→，有且仅有一对实数λ1、λ2使a→=λ1e1→＋λ2e2→     

关于β级的α+iμ型λ-Bazilevich函数的几个不等式

本文引进β级的α iμ型λ—Bazilevich函数并讨论其子族Bn(λ，α，μ，β)的不等式性质，运用微分从属方法得到了Re{(1-A)(f(z)/z)^α iμ λ(f′(z))^α iμ}的精确下界，其中f(z)∈Bn(λ，α，μ，β)，它推广或改进了一些作者的有关工作，同时得到相关结果。     

对一道习题答案的思考

高中数学课本 (试验修订本 )第一册 (下 )第 10 3页第 7题 :已知向量ａ→ ,ｂ→ ,求作向量ｃ→ ,使得ａ→ +ｂ→ +ｃ→=0 →,表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形吗 ?教参给出的答案是可以构成三角形 ,严格地说 ,答案是错误的 .图 1　辨析用图如图 ,令ＯＡ =ａ→ ,ＡＢ→=ｂ→ ,ＢＯ→ =ｃ→ .此时向量ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 共线 ,虽然满足ａ→ +ｂ→ +ｃ→=ＯＡ +ＡＢ +ＢＯ =0 →,但显然有向线段ＯＡ ,ＡＢ ,ＢＯ不能构成三角形 ,所以答案应该是不一定构成三角形 .那么若表示ａ→ ,ｂ→ ,ｃ→ 的有向线段能构成三角形 ,图 2　辨析用…