用直线和圆的位置关系证不等式

设直线l:Ax+By+C~0(A、B不同时为 零),圆C:(x一a)“十(y一b)“一尸,则直线l与 ,。*一、__}Aa+Bb+C}一~~、.、‘~ 坦引L-户钊)二‘呀氏、二币,一目下军二二;花二育一,女:尧r·工光月今岁期劝乙.刃 了A‘十B‘ 螂卿孝 这一结论在条件不等式证明中的巧用. 例l已知a)O,b)O,a+b~1,求证: 祷不百+沂万(2. 。一。一合时等号成立,· 例2已知a,b任R,且a+b+1~O,求证 (a一2)2+(b一3)“妻18. 证明令(a一2)’+(b一3)2~尸, 则点(a,b)在直线l:x十y十1一。以及圆 C:(x一2)2十(y一3)’一尸上. 即直线l与圆C有交点. 证明令。~,沂弓呻+沂万, }2+3+11一~,…     

一个与一元二次方程有关的递推式及其应用

因为。、b是一元二次方程护一(。十b):十动~0的两个根,设S。一a0十b0,S,一。 b,则 吕2二。2 乙2,月2一(a b)51 ab月。~0 名。=a3十乙3,53一(a 乙)82 汕S,~0 5.~a’十b’,S。一(a b)S.一‘十动价一:二0即有当、)2时,有递推式S一(a b)S一, ab^9一2一0(,) 因为递推式由一元二次方程推出,结果又与一元二次方程极其类似,所以它与一元二次方程同样有较大用途,下举数例说明. 例l若,,‘,=,,‘ l,。’一。 l、且,,‘共、,则1,l” 沪一(江苏省第四届初中数学竞赛试题). 解由,,‘,~,,‘ l,、,=n l,且,,‘护n知:1。,、是一元二次方程二,一二一1一0的…     

一个代数不等式及其应用

B︸ O一,卜口 十)s一a 镇 ︸i一e i一。 定理设。,石,c〔R,则 (ab bc ca)簇3一‘(a b c)2《 (a“ bZ cZ)。当且仅当a=b=‘时取等号。 证,.’a,b,e任R .’.(a一b)“ (b一c)“ (e一a)2)0即a“ bZ cZ》a乙 bc ca(1)由(1)两端同加2(ab b: ea),得 (口 b e)2)3(ab 石c ea)(2)由(1)又2后两端同加a“ b“ :“,得 3(02 bZ e么))(a b c)“(3) 综合(2)、(3),得 3(a“ bZ eZ))(a b c)2)3(口b bc ea)显然,当且仅当a二b二即寸取等号. 此定理在数学解题中应用颇广。具有化繁为简之效,值得重视.下面举例加以说明: 例1已知x、万、,〔R十,且x十夕十“=…     

利用复数的除法证明不等式

25一2 妻 设。、b、c、‘都是实数,则 a+b‘ac+b‘.be一ad, 一丫-一石号-一犷气一~万了呀~一,~下一石,否 C十心忿C一十已.C一十『’(·+专)’十(,+合)’这是大家熟知的复数的除法运算.用它来处理一些不等式的证明,不仅简单明快,而且给人享受数学的奇异之美. 例1如果a,b为实数,那么aZ+b,)2a6(当且仅当a二b时取“=”号). 证①当a二b二O时,命题为真. ②当a,b中至少有一个不为零时 构造复数a+b‘与b+a‘(a,b任无) 由(a+b‘)/(b七a‘)=(ab+ba)/(a,+b.)+(bZ一aZ)‘/(a,+bZ)(:,少eR)构造复,(·十约十(;十分与1·、‘, 谧(·+专)+(;+韵‘ 1十落(…     

知识小品

=0 .X X X X XX P p一?(P为2、5以外的素数) 古稀由于我们的记数法是10进制的,因此,我们将讨论1。·除以p的结果,又因粤化为小数时,””’一一”’一’‘’--一’一’一”P’一---一是一个循环节为6的循环小数,那么,10。除以P的余数应该是1.记为10‘三1(二oJ夕)(1)读作“对于p,106与1同余数”,或读作“10“同余于1对模P”. 两数同余对模P,用普遍算术式可以写成=q 1 P.十丫~q:P+丫(0簇丫(P一1则有a一b=(g,一qZ)P翻译成“I这就是说,同余式,则为a一b三0(阴odP)“a与b对模P同余”与“a一b能被P 10落牛10三。(二odp)(3) 10“+202三。(胡…     

无意义的等式成立

(a b)2)0.’.必)0(3) 由(l)、(3)知砧=0即。一0或b=0 而。一。或。一。时咨或牛无意义,故所要 一~-一J匕~b/.‘~~’~’/,~证的等式无意义. 证法二‘:。2 护 面曰O 二(a 6)2=南(3) 由题意。并。,。护b,‘ 。弃b,抱(3)两边同除以ub(。 b)得 。十b、1。。1‘1_1_ :共二二一今二即=     

高等数学选登

一”悠(,十劲”存在性证明\/“’a““’“”‘’毛山十向十’”咔一‘+七 那十l〔广州师院张映东,安徽铜凌四中张晓铭分别供稿)利用不等式(a‘李0)并令‘二。、,b=,:二a:““一‘十、,可得翻+1丫,丁‘竺土竺色“口“~邢十1(1) 2”_2”一2_”一IJ由(1一A)有In”=In一万一多2不反了二2石耳一i吸件(1一E)从而用。二l以及b“1十上代入(1),就知为自然数。.丫(‘+劲”(1+告)”簇(,毛丝生卫邪十l 1=1+不百-r.一)”“”=1时等号成立)艺In*)2艺些二卫左+1h=1k=1”十这说明/。一(1+勃”是单调上升且递增的, r二,:、、即’n(川)多2}山_、‘一石飞/!…     

运用线性约束条件解题两例

r|112、|.、r||zlwe|、由得例’已知’数二，一{ y簇x，x Zy毛4，则y)一2，s一扩 犷 Zx一Zy 2的最小值是( 9 tZ气)二二勺(B)2(C)3 ). (D)涯f(0)~Zb>0，f(l)=a Zb 1<0，f(2)一Za Zb 4>0，b)0，a Zb十1<0，a b 2>0.解画出满足不等式的可行域如图1所示. S一xZ 少， Zx一Zy 2~(x 1)’ (少一1)2的.y巍广”满热戮握袅‘4凛蘸瓢】瓢黔画出满足上述不等式组的平面区域如图2所示.解方程组图1 { a Zb l=0，a十b十2一O，几何意义是表示点A(一1，1)与可行域内的点的距离的平方，丫百的最小值为点A到直线y~x的距离福，从而S的最小值为2，故选(B…     

质数在对数运算中的作用

本文想探讨这样一类对数问题: 已知loga,N,一b;,loga:N:一b:,求loga3N。=? (1)什么情况下有解,什么情况下无解? (2)如有解,给出一般解法; (3)教师怎样命这一类题?为此,我们先从大家都熟悉的一道题目谈起:例1己知109,2 27=a,求证109。16=4(3一a)3十a 对这样的题,很多人都是通过常用对数来证明的.内‘一q‘,︺一1上g一g‘l一1证:,.‘109;227=a,.’.3193__一一毛止.2192十193质数,:.109。6为不等于零的常数) 3石刃一二二二“.一~2192,, 一一二~刁一几 工g污193_Za.,. loga,3b”3a’4b“4一琳‘+n‘log.b川s+n 3109。b1923一G(l)优‘+n‘ ,二,…     

上期课外练习解答

、.,·,。,·,一~.,.,.,.,.,.~一,.,.,.,.,一,.,.尸sinZa=a,O相似文献   

喜迎2006新年

在公元2006年到来之际，谨拟有关“2006” 五题，喜庆新年，以飨读者. 题1 .口2006. a，!2二，。。+1一兰(，任N+)，试求二1 口” 解由题意有内 l2 一一，a3一一一乙x， X a2 l 2一内 反4= l 一一，“.‘，a2006- j X 倪z .aZoo6一Zx· X 题2 +a3+a;+ {a。}是公差为l …+a:。。 =3962 的等差数列，al+自 ，试证:a:十a、+吼 +…十a 100 证明 =2006. 由题意有a。一a，+l，a、~a3+i …，al。。=aog+1， :’(al十1)+aZ十(a3+1)十a、十 …+(a99十1)+a，。。 =3962+50=4012. a:+a、+a6+…+al。。一2006. 题3已知a，b，。是不为。的实数，且a+ b…     

名校基础知识自测

初一年级 北京师大二附中(100088)未兴国一、选择题1.下列计算正确的是(). (A)(u一b):弓一(b一“)2一b一“ (B)(。+b)污一(口+b)3=“2+bZ(C)(b一“),分(a一b)“=(a一b)之([))(,一y)’”‘l令(、万一y)”‘’一(了一y)2一个多项式除以(3.12,):;其结果为(冬二2+3x, 一、一、’,”一”一’一夕’,产、一曰’一尸‘’9一’一夕犷),则这个多项式为().(A)9护犷+27护犷+9洲犷(B)了6y+9了几犷+3了2犷(C)3、:h犷+9犷犷+3了2少(I)),“夕2+27J3夕3+9及一4夕5对于以下各算式:①矿·“3一“6,②(a,)3一。③u3+u弓一2u6,④a只+a3一a‘,一o,⑤(6二,夕)2…     

上期课外练习参考解答

…初一年级{1.一385=5火7只111 .11二二犷州一下厂州~产万~一乙jo 原式一仁‘十告 夸 六 (矗一争: X 385一5‘8一雏. 所求整数为517.原式的个位数字与1000 1001 1002十…十2004的个位数字相同,即所求个位数字是。十100丫(1 2 3 4 5 6 7十8 9 0) 1 2 3 4一451。的个位数字,故原式的个位数字是。.}172418152357141 16461320221O121 9121311182529图2翰盯︺1.由倪一b一2,Za一b十2一仅” b“一20 ‘(“一2,30.得(。一。.十护一1.2.观察规律,分子、分母都可写成a(a十3) 2 一(。十1)(。十2)形式的数. ~一(2十1)(2十2)(4 1)(4 2) 闪、一、(1十1)(…     

一元二次方程根与系数特殊关系应用

实系数方程 (l)c=0,贝J xl竺程似’ 酝十犷O‘“‘。’有‘性质:右对二2 酝十。二0(a笋0)有。 b十,赴一专为方程的二根‘为c一a反之,:,~1,z:二axZ十酝十c~O(a并夕只理0)的二根,则。 b 。一0. (2)若对ax, 酝 c一0(a护0)有a e二b,则x,二一l,xZ二一二为 a肚2十厉十e=0(a护0)的根;     

名校基础知识自测

初一年级北京第十二中学初中部(100071)梅葱娟一、选择题1.下列各式,去括号正确的是(). (A)a十(b一c+d)一a一b十c一d (B)a一(b一c一于d)一“一b一‘+d (C)“一(b一〔+d)一一b+c一d (D)u一(b一。+d)一“一b+c+d2.若多项式A与B互为相反数,且A一丫一a2+a,则 多项式B是(). (A)一a3一aZ斗a(B)一a3+aZ一a ((’)a3+aZ一a(D)一a3+aZ+a3.若数。增加它的二%后得到数b,则b等于(). (A)a·、:%(B)a(l+x%) ((’)“十二%(I))a(l+二)%1.将(二一妇十2(二一妇+4(y一对合并同类项等于 (). (A)沈一少(B)一(x一少) (C)一‘万一夕(D)x+y5.若A和B都是6次…     

一个重要不等式的应用一例

五)“2十)十“.十三昌。业alaz‘=1十.我们利(红+生) 口1口u(业十业)+1++号)“b一 m男众所周知,若时>。,+。。。+用这个结果来证明下面的重要不等式. 定理若a工,a:,…,a,均为正数,且a:+a:口之口盛(匕纽~十(五一卜生)+…+ 口z口3(丝十丝)十 a色a3(红十业);…十1, 口2召n+…十an=1则止十上十 召IC么 1~,二十一声不皿一Q一丈色二) Cn口。…+2 .2证明,.’上+生十口z召忍十生 口,_al+a:+…+a。 口孟+三止三三上二止色口艺 )n+2(n一1)+2(n一2)+ +2 .1二”+2〔(n一1)+(”一2)+…=刀+2〔(n一1)+(n一2)+…=n+(n一1)·月=左气+2+1〕+2+1〕十…+匀泣.…     

问题征解

,叱写七口写云月巴舀七里‘云日巴‘七洲云理弓石月巨写七口弓七口S之绝写2岁 一、本期问题征解 编者按为满足广大初中读者要求,本栏从这一期起,增加初中内容的题目,希踊跃参加并给我们来稿. 1.设aZ+a+1=o,求证a’“吕“+a,””’+x=3. 2.设a,b,c都是整数,求证口+b+a“b“ec》(a bc)-万--一.a忿+bZ=7,‘2+dZ=1,ac+bd=0:求ab十cd之值.设 4.求证‘到垫睡巫兰燮丛竺竺亘巫匕业 了1983是整数.“ 5.设实系数二次式f(二)=二2+a二十b,求证: lj(z)1,!f(2)},If(3)I中至少有一个不小于冬 -一26.计算(1+tgl。)(一+tgZ’)…(1+tg44’). 薪春二中肖继…     

算术平均—几何平均不等式的一个证明

设a:、 a盆、al+aZ 怜a。是正数,则有不等式~习可可不瓦一 一bK+‘)+…十bK+‘(戈一b)〕设￡‘一b‘=(,一b)(%‘+‘+x‘+“b千…+b‘+1)=(戈一b)Pi1=式中等号当且仅当a,二a:二…二a。时成立。证明用数学归纳法,n=2结论显然成立。 假定n=K时成立,则 月二(a:+a:+…+a尤)+a尤+l 一(K+1)K+‘侧瓦瓦二花订万 )K大访瓦瓦下砰而瓦 一(K十l)K+’了面瓦不石石万…(1) 设K+‘亿面万丁=、 K!K十’V而二ha二b,(1)式右(P‘>0了 i=(%)2,一,K),乡}}}(戈一b)2(P尺+P万*:b十 卜P工石K+l) 户K+夕K*声+….’.f(二)>O,A) ‘.。十…(2)+P tbK+‘>00即a…     

又一个对数换底公式

设N,>0,a‘>o,a‘笋l(i二1,2,…刀),b、,bZ,…,b。是a,,a:,…,a。的任一排列,则: 1 09。、N 1 1 09。2 NZ’“’1 09。.N。一10“。、N,10“,2N2.‘’10“,.N,(浓) 证明:因b,,bZ,…,b。是a,,“2,一,“,的任一排列,故:l:a,loaZ…loa.一lgb,lgbZ…仅b,这样(浓)式左边 lgN]19无方lgN。一lga x lgaZ“’lga。二右边. 公式(浓)表明:几个对数相乘,任意交换它们的底数,其积不变.计算‘·g:矗‘·93音‘口、,;原式=10只,,·92告lo;3杳例解一10955一210922一310933一2‘二(一2)(一3)(一2)二一12gfJZ计算10、。910:2,4910:,25109。2·解:原式一…     

先决条件不可忽视

小华和小明正在做一道“应用不等式求最值”的习题:已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求ab~2c~3的最大值。小华解:∵a+b+c=a+ b/2+b/2+c/3+c/3+c/3≥6((a(b/2)~2(c/3)~3)~(1/6)) ∴1≥6((ab~2c~3)~(1/6))/108)),即ab~2~3≤1/432. ∴ab~2c~3的最大值为1/432。小明解:根据a+b+b+c+c+c≥6((ab~2c~3)~(1/6)),当且仅当a=b=c时取等号,右式最大。又∵a+b+c=1,∴a=b=c=1/3。得ab~2c~3=1/729,既ab~2c~3的最大值为两1/729。小华看着小明的结果,诧异地说:“我们都为都是应用正数的算术平均≥几何平均’,结果怎么不同呢?”小