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四面体是最基本也是最重要的一种几何体。它是三角形在空间的直接推广.四面体的许多性质可以用类比的思想从三角形的性质而得来.如:连接四面体对棱中点的线段交于一点且互相平分;连接四面体任一顶点与它对面三角形重心的线段交于一点G.且这点将所在线段分成的比为3:1。这个点G称为四面体的重心;四面体都有外接球和内切球;等等.等腰四面体(对棱均相等的四面体)、直角四面体(有一组共顶点的三条棱两两互相垂直的四面体)和正四面体是三种特殊的四面体.在竞赛中经常涉及到.较复杂的多面体问题常转化为四面体问题加以解决,常用的数学思想方法有变换法、类比和转化、体积法、展开与对折等. 相似文献
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四面体又叫三棱锥 ,它是最简单、最基本的多面体 .四面体在立体几何中的地位就象三角形在平面几何中的地位一样 ,在数学竞赛中 ,立体几何以四面体为主要内容 .1 一般四面体由于四面体是三角形在空间的推广 ,因此 ,三角形的许多性质也都可以推广到四面体 :1 )连接四面体对棱中点的线段交于一点 ,且在这里平分这些线段 .2 )连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点G ,且这点将所在线段分成的比为 3∶1 ,G称为四面体的重心 .3)每个四面体都有外接球 ,球心O是各条棱的中垂面的交点 ,此点到各顶点距离等于球半径 .4)每个四面体都有内切… 相似文献
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1 四面体的重心
由三角形的一个顶点与对边的中点为端点确定的线段称为三角形的中线,三角形的3条中线交于一点(此点称为三角形的重心),且这点是顶点与对边中点连线的3等分点(靠近对边的中点).类比三角形的中线与重心,遵循"点到棱、线到面、共点线到共点面"的类比原则,容易想到"由四面体的一条棱与对棱的中点确定的平面称为四面体的中面"这一新定义. 相似文献
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三条侧棱两两互相垂直的四面体,它具有对棱互相垂直且顶点在底面的射影是底面三角形的垂心等性质,同时发现这种特殊的四面体还具有一些美妙独特的性质,现归纳如下,以供参考. 相似文献
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陈省身说:“数学是什么?数学是根据某些假设用逻辑的推理得到结论”.在直线(一维空间)上,线段的中点是它的两等分点,即是说中点到一个端点的距离是它到另一个端点距离的一倍;在平面(二维空间)里,三角形的重心是三条中线的交点(三条中线交于一点),重心到各顶点的距离是它到对边中点距离的2 相似文献
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本文拟用解析法 ,建立四面体的 k号心的概念 ,并研究它的性质 .定义 1 在空间任取一点 P,以 P为原点建立空间直角坐标系 ,设四面体 A1A2 A3 A4的顶点 Ai 的坐标为 (xi,yi,zi) (i=1,2 ,3,4 ) ,对非零实数 k,令x′=1k 4i=1xi,y′=1k 4i=1yi,z′=1k 4i=1zi,则点 Q(x′,y′,z′)称为四面体 A1A2 A3 A4关于点 P的 k号心 .显然 ,四面体关于点 P的 4号心就是四面体的重心 .定理 1 设四面体 A1A2 A3 A4关于点 P的 k号心为 Q,其重心为 G.则 Q,G,P三点共线 ,且 G分有向线段 QP所成的比为 (4 - k) / k.证 应用同一法 .在有向线段 QP… 相似文献
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三双对棱互相垂直的四面体叫做正交四面体.关于正交四面体,我们有定理正交四面体棱的中点,对棱的公垂线段的端点,凡十二点共球.为叙述方便起见,我们不妨称此定理为十二点球定理.先看下面的引理.引理1正交四面体中对棱中点的连线段相等且互相平分.图1证如图1,... 相似文献
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在初中阶段 ,我们学习了许多关于三角形的性质 ,其中三角形中线性质 :在三角形中 ,三条中线交于一点 (这一点通常被称为三角形的重心 ) ,且重心把每一条中线分为从顶点到重心与从重心到中线所在边中点距离之比为 2∶1的两条线段 .这是人所共知的 .图 1然而 ,三角形中线的另一个性质 :(下称“中线模型”)“设AD为△ABC的BC边上的中线 ,任作EF使EF∥BC ,分别交AB、AD、AC(或其延长线 )于E、P、F ,如图 1,那么 ,AD穿过EF的中点P ,即FP =PE .”却很少在课堂上应用 ,也未引起同学们的重视 .这个与中线相关的平分… 相似文献
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四面体对棱中点的连线段,称为四面体的中位线.本文给出了四面体中位线的一个有趣性质,并介绍了它的两个应用.定理在四面体ABCD中,对棱AB,CD和BC,AD的中点分别为E,F,G,H.则EF2-GH2=12(AD2+BC2-AB2-CD2)①证明如图1,取AC,BD的中点分别为M,连接得平行四边形 相似文献
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<正>题目如图,在锐角三角形ABC中,∠BAC≠60°,过点B、C分别作三角形ABC的外接圆的切线BD、CE,且满足BD=CE=BC.直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G.设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N.证明:AM=AN.这是2014年全国高中数学联合竞赛加试的第二题.组委会提供的两种解法中,一种是多次利用角平分线性质定理得证,技巧性较强;另一种是利用余弦定理,通过计算线段长度求得.本文给出两种比较基础的证明方法,供读者参考. 相似文献
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Euler线由三角形向四面体的推广 总被引:1,自引:0,他引:1
1765年,Euler在一篇题为《三角形的几何学》的论文中证明了“三角形的外、重、垂心共线,且外心到垂心的距离等于重心到垂心距离的二分之一”。这条直线便被称为欧拉线,本文把Euler线推广到四面体。定理三组对棱分别垂直的四面体的外心、重心、垂心共线,且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离。证如图1.设符合定理条件的四面体ABCD的外、重、垂心分别为O、G、H,连接AH、AG并延长交平面BCD于H_1,G_1,则G_1、H_1分别是△BCD的重心和垂心,且AH_1⊥平面BCD,作 相似文献
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<正>1引言三角形的中线有许多优美的性质,例如平分三角形的面积,三条中线交于一点(这点称为重心)等等.最近,华漫天老师在文[1]中类比三角形中线的性质引入了规范五边形的概念,并证明了规范五边形的重心和三角形的重心有类似的性质.下面介绍华老师的定义和结论.定义A如图1,五边形ABCDE中,边CD称为∠BAE的对边,∠BAE称为边CD的对角.设点F是边CD的中点, 相似文献