Über Effekte zweiter Ordnung bei Biegung und Torsion dünnwandiger Rohre elliptischen Querschnitts

Zusammenfassung Mittels einfacher Gleichgewichtsbetrachtungen wird gezeigt, daÜ bei der Biegung eines dünnwandigen Rohres von elliptischem Querschnitt neben den Längsspannungen der elementaren Biegungstheorie auch Biegungsspannungen auftreten, deren EinfluÜ bei geringer Wandstärke im Vergleich zu den Ellipsenachsen nicht zu vernachlässigen ist, vor allem wegen der Verformung des Querschnitts, den sie zur Folge haben. Diese Abplattung der Ellipse wird mit Hilfe des Castiglianoschen Satzes berechnet. Bei den zusätzlichen Biegungsspannungen und der zugeordneten Deformation handelt es sich um Effekte zweiter Ordnung, die eine Verminderung der Sicherheit gegen Einbeulen der Rohre verursachen. Entsprechende Betrachtungen werden für die Torsion angestellt, wobei gleichartige Ergebnisse erzielt werden. Die Aussage über die Herabsetzung der Instabilitätsgrenze ist nur qualitativer Art. Es wird eine einfache Anwendung auf das Bourdonsche Manometer gebracht und dabei die Erklärung der Tatsache gegeben, daÜ eine Röhrenfeder in den Endpunkten der groÜen Achse ihres Querschnittes zuerst aufreiÜt.Der Verfasser dankt Herrn Prof.L. Föppl für die Anregung dieser Arbeit, sowie für die überlassung der Gleichungen (25), (27), (36) aus unveröffentlichten Arbeiten.     

Zeichnerische Auswertung von Resonanzkurven

Zusammenfassung Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit wurde ein einfaches Schwingungssystem vektoriell untersucht. Es konnte gezeigt werden, daß der Amplitudenvektor dieses Systems unabhängig davon, ob die Erregerkraft eine Funktion der Erregerfrequenz ist, stets phasengleich mit dem zu derselben Frequenz gehörenden Nennervektor ist. Unter Benutzung dieser Tatsache gelang dann die Darstellung von Vektordiagrammen der Schwingungsamplitude und -Leistung. In dem Abschnitt über vektorielle Auswertung wurden diese Kurven zur Ermittlung der Konstanten des Schwingungssystems herangezogen. Hierbei konnte festgestellt werden, daß die Bestimmung der Dämpfungskonstante auf diese Weise wesentlich genauer erfolgen kann, als unter Verwendung von Amplituden und -Leistungskurven als Funktion der Frequenz.Im zweiten Teil wurde ein kraftgekoppeltes Schwingungssystem untersucht. Zunächst konnte gezeigt werden, wie unter Benutzung eines zeichnerischen Verfahrens aus den Systemkonstanten die Schwingungsamplituden und -Phasen gefunden werden. Mit Hilfe der hierbei gewonnenen Beziehungen gelang dann auch die Lösung der für die Durchführung der dynamischen Baugrunduntersuchung wichtigen Aufgabe, nämlich die Ermittlung des Konstanten aus den beim Versuch aufgemessenen Amplituden und -Phasenkurven. Der zweite Abschnitt erreicht dasselbe Ziel auf einem anderen Wege, und zwar durch Untersuchung der Hauptschwingungen eines Dreimassensystems nach der Knotenpunktmethode. Es wurde hier gezeigt, wie durch Anlegen von Tangenten an die Amplitudenkurve ebenso wie beim einfachen Schwingungssystem die Hauptschwingungen ermittelt werden und wie sich hieraus die gesuchten Konstanten ergeben.     

Elementare Theorie der Schwingungsfestigkeit

Zusammenfassung Für den Schwingungsvorgang, den eine periodische, eingeprägte Kraft in einem zähen Werkstoff hervorruft, wird eine Bewegungsgleichung aufgestellt, die eine durch Wegfall des Trägheitsgliedes verkürzte Form der für den einfachen Schwinger geltenden Gleichung ist. Diese Gleichung besitzt, abgesehen von einem mit t abklingenden Teil, ein periodisches Integral, das als eine gegen die eingeprägte Kraft in der Phase verzögerte harmonische Schwingung aufzufassen ist. Durch diese Phasenverschiebung, die gerade von der Dämpfung des Werkstoffes herrührt, entsteht ein energieverzehrender Schwingungsvorgang. Die zu Aufrechterhaltung dieses Vorganges erforderliche Arbeit wird zur Ableitung der Wöhlerkurve verwendet, und stellt in bemerkenswerter Weise deren wesentlichen Verlauf dar. Die zu dem Schwingungsvorgang gehörige Hysteresiskurve ist eine Ellipse, deren Konstruktion angegeben wird. Die Untersuchung ermöglicht Erweiterungen verschiedener Art, u. a. auf mehrachsige Spannungs- und Schwingungszustände und auf andere Formen des Ansatzes für die innere Reibung des Werkstoffes.     

Zur Verformung von Stoffen mit veränderlichen Stoff-Parametern

Zusammenfassung Es ist aus vielen Beobachtungen bekannt, daß technisch wichtige Materialien ein Verhalten zeigen, welches analytisch durch Lösung der Stoffgleichungen nicht beschrieben werden kann, wenn das Stoffgesetz unter Verwendung von Parametern konstanten Betrages gebildet wird. Die einfachste Erscheinung dieser Art kann durch das im verformungsfreien Zustand eintretende Stocken eines viskoplastischen Stoffes veranschaulicht werden. Die Thixotropie eines Stoffes wurde ursprünglich als jene Eigenschaft definiert, der zufolge in einem Stoff nach vorausgegangener Verformung allgemeiner Art eine Verminderung des Verhältnisses von Scherspannung zu Schergeschwindigkeit eintritt. In Erweiterung dieses ursprünglichen Begriffes werden gegenwärtig vielfach Werkstoffe als thixotrop angesprochen, wenn die analytische Beschreibung ihres Verformungszustandes ganz allgemein die Verwendung veränderlicher Stoffparameter verlangt.Entsprechend der usprünglichen Bedeutung der Thixotropie werden die Verformungsvorgänge beschrieben, die der Wirkung einer vorausgegangenen Verformung auf die Grenzscherspannung anBinghamschen Materialien Rechnung tragen. Bei Berücksichtigung der Abhängigkeit dieser kritischen Scherspannung von den vorausgegangenem Ruhe oder Verformungszustand können die notwendigen Stoffgleichungen aufgestellt und physikalisch begründet werden. Ein Vergleich mit bekanntenMeßergebnissen erlaubt, die für die analytische Behandlung notwendigen Stoffkennzahlen zu bestimmen.Neben thixotropem Verhalten im ursprünglichen Sinn zeigen viele Stoffe eine Abhängigkeit ihrer Eigenschaften von Druck und Temperatur. Diese Einflüsse können in das Stoffgesetz dadurch aufgenommen werden, daß man den Stoffparameter, der die Zähigkeit beschreibt, als Funktion der Temperatur und des mittleren Normaldrucks ansetzt und zur Beschreibung des Vorgangs eine Aussage über die Umwandlung von mechanischer Energie in Wärmeenergie hinzuzieht. Mit den so gewonnenen Gleichungen wird ein einfaches Beispiel, nämlich das Fließen einer Schicht konstanter Dicke auf einer geneigten Ebene unter der Wirkung der Schwerkraft, behandelt. Für die sich hierbei ergebende nichtlineare Differentialgleichung für die Temperaturverteilung werden durch Näherungsverfahren gewonnene Lösungskurven angegeben, aus denen sich der Bewegungszustand ermitteln läßt.Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen vom 11.–13. Mai 1964 in Berlin-Dahlem.     

Studien Über inhomogene gekrümmte Strömungen

Zusammenfassung Im ersten Teil der Arbeit wurde das Verhalten zweier Luftströme mit verschiedenem Gesamtdruck in stabiler und labiler Schichtung und nebeneinander im Krümmer behandelt. Gesamtdruckverteilungen in den Längsschnitten zeigen die verschieden schnelle Ausbreitung der Mischungszone zwischen den beiden Luftströmen stabiler und labiler Schichtung im Krümmer und der im geraden Kanal.Im zweiten Teil wurde die Potentialströmung einer homogenen und einer stabilen Schichtung im Krümmer berechnet. Bei der Potentialströmung stabiler Schichtung wurde aus zwei verschiedenen Lösungen zweiter Näherung eine Linearkombination gemacht, da ein Hinzunehmen weiterer Glieder der Fourierreihe keine Verbesserung bringt. Die gerechnete Trennungsfläche der beiden Luftströme ist in den zugehörigen Längsschnitt (Abb. 5) des Kanals eingezeichnet. Sie zeigt eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Experiment.Göttinger Dissertation. Referent: Prof. Dr.L. Prandtl.Die Versuche wurden im Kaiser Wilhelm-Institut für Strömungsforschung durchgeführt. Zu besonderem Dank bin ich Herrn ProfessorPrandtl verpflichtet, der die Anregung zu dieser Arbeit gab und sie in reichem Maße förderte.     

Zur nichtlinearen Torsion eines Kreiszylinders

Zusammenfassung Am Beispiel der Torsion eines geraden inkompressiblen Kreiszylinders wird gezeigt, daß der Henckysche (logarithmische) Verzerrungstensor zur Behandlung von Körpern aus inkompressiblem Material besonders gut geeignet ist. Es wird auf ein Meßverfahren aufmerksam gemacht, das es gestattet, die Verschiebungen freier elastischer Oberflächen praktisch kräftefrei, kontinuierlich und mit großer Genauigkeit zu messen. Einige mit diesem Verfahren gewonnene Ergebnisse werden mitgeteilt.Zusammenfassung eines vortrages, der im Mechanik-Kolloquium der Niedersächsischen Hochschulen, Göttingen am 25. Januar 1955 gehalten wurde.     

Druckschwingungen rasch beanspruchter zylindrischer Stäbe

Zusammenfassung Die Druckspannungen in einem Stab setzen sich aus zwei in entgegengesetzter Richtung laufenden Wellen zusammen. Die Form der Wellen ist aus den Randbedingungen an den Stabenden zu bestimmen. Es wird gezeigt, wie dabei vorzugehen ist, wenn an den Stabenden gegebene veränderliche Kräfte wirken oder das Ende mit gegebener veränderlicher Geschwindigkeit bewegt wird, oder wenn am Ende eine gegen das ruhende System elastisch abgestützte Masse sitzt. Beim Stoß zweier Stäbe wird aus den gemeinsamen Randbedingungen an der Stoßstelle die Form der Druckwellen gesucht. Die Beziehungen, die für den Stoß verschieden starker Stäbe gelten, können zur Untersuchung von Schwingungen in Stäben, die aus mehreren ungleichstarken zylindrischen Teilen aufgebaut sind, verwendet werden.     

Die Stabilität rotierender Wellen infolge innerer und äußerer Dämpfung

Zusammenfassung Es wurde das Stabilitätsverhalten einer rotierenden Welle bei gleichzeitigem Vorhandensein von äußerer und innerer Dämpfung untersucht. Die äußere Dämpfungskraft wurde proportional der Absolutgeschwindigkeit vorausgesetzt, während für die innere Reibungskraft zwei verschiedene Gesetze unterschieden wurden, einerseits ein viskoses nach Voigt-Kelvin mit einer Reibungskraft proportional der Verformungsgeschwindigkeit und andererseits ein von Kimball-Lovell experimentell gefundenes Gesetz für Materialdämpfung. Obschon die Stabilitätsbedingungen für die Welle mit einem Freiheitsgrad bekannt sind, wurde in einem ersten Teil eine solche sog. Lavalwelle untersucht, um in einem zweiten Teil, der den Schwerpunkt der Untersuchung darstellt, den Vergleich mit der sog. glatten Welle, also einer Welle mit mehreren Freiheitsgraden im Sinne der Kontinuumsmechanik, zu ermöglichen.Die untersuchten Arten der inneren Reibung liefern bekanntlich für die Lavalwelle zwei grundsätzlich verschiedene Stabilitätsbedingungen: Während für die innere Dämpfung nach Kimball-Lovell ein Minimalverhältnis äußerer zu innerer Reibung genügt, um im ganzen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten zu gewährleisten, ist bei Voraussetzung einer viskosen inneren Dämpfung nach Voigt-Kelvin das nötige Minimalverhältnis im überkritischen Bereich von der Drehzahl linear abhängig.Es wurde gezeigt, daß bei der glatten Welle dieser Unterschied der beiden inneren Dämpfungsarten bezüglich des Stabilitätsverhaltens mindestens bei höheren Drehzahlen grundsätzlich verschwindet. Bei schwacher Dämpfung steigt das notwendige Minimalverhältnis der äußeren zur inneren Dämpfung für den stabilen Lauf mit zunehmenden Drehzahlen progressiv an. Bei größeren Dämpfungswerten hingegen ist die Stabilität von drei Parametern, nämlich der äußeren Dämpfung, die inneren Dämpfung und der Drehzahl, abhängig. Man kann die Parameter als Koordinaten eines räumlichen Koordinatenkreuzes auffassen und das Stabilitätsverhalten durch Aufspannen eines Stabilitätskörpers darstellen; der bei schwacher Dämpfung zu einer Stabilitätskarte degeneriert. Stabilitätskörper und -Karten wurden mitgeteilt und diskutiert. Danach läßt sich das Stabilitätsverhalten der Lavalwelle mindestens im Bereich höherer Drehzahlen nicht auf die glatte Welle übertragen.     

Rheologische Eigenschaften von zweiphasigen Mehrstoffsystemen mit Ausscheidung der flüssigen Phase am Beispiel von Feinseife

Zusammenfassung Für den Durchfluß der Seifen durch Rohre wird Blockfließen gefunden, wobei der Axial- und der Radialdruck einander proportional sind. Im Bereich kleiner Normaldrucke ist der Zusammenhang zwischen der Gleitgeschwindigkeit an der Wand und der Wandschubspannung abhängig von der in einer dünnen Gleitschicht erfolgenden Temperaturerhöhung mit einer damit verbundenen Herabsetzung des Gleitwiderstandes. Die Dicke der Schicht konnte berechnet werden. Für höhere Normaldrucke zeigen sich beim Rohrdurchfluß Anomalien in der Form, daß mit kleiner werdender Blendenöffnung, d. h. mit steigendem Anpreßdruck, der Durchflußwiderstand geringer wird. Die Ursache ist die nach Überschreiten des Quellungsdruckes bedingte Ausscheidung der flüssigen Phase aus der Seife, was zur Bildung eines Schmierfilmes mit anderen Reibungseigenschaften führt. Trotzdem konnte ein allgemeines Durchflußwiderstandsgesetz angegeben werden.Eine Formel, die es gestattet, für plastische Stoffe den an einer Blende zu erwartenden Druckverlust im voraus zu berechnen, wurde für Seife ebenfalls bestätigt.     

Ein Differenzenverfahren zur Lösung der Grenzschichtgleichung für stationäre,laminare, inkompressible Strömung

Zusammenfassung Für die laminare, inkompressible, stationäre Grenzschicht an einer festen, undurchlässigen Wand -wird ein implizites Differenzenverfahren angegeben, das als Ausgangsgleichung eine Differentialgleichung vom Crocco-Typ verwendet. Durch eingehende, nur numerisch durchzuführende Stabilitätsuntersuchungen kann gezeigt werden, daß Störungen nach wenigen Rechenschritten mit Sicherheit abgebaut werden. Das Verfahren wird an einer großen Zahl von Beispielen praktisch erprobt. Der Rechenaufwand erfordert den Einsatz von Elektronenrechenanlagen, das Verfahren ist jedoch sehr gut für die Programmierung geeignet. Mit geringem Aufwand wird z. B. eine Genauigkeit von zwei Dezimalen für die Schubspannung erreicht, während der Aufwand für eine Genauigkeit von drei Dezimalen schon als relativ hoch zu bezeichnen ist.Herrn Prof. Dr. K. Nickel, von dem die Anregung zu dieser Arbeit ausging, möchte ich für die wertvollen Ratschläge danken, mit denen er diese Arbeit gefördert hat. Ebenso danke ich Herrn Dr. R. Krawczyk für die fruchtbaren Diskussionen über die Stabilität, aus denen viele Anregungen zu diesem Problem hervorgingen.Auszug der Dissertation T. H. Karlsruhe, 1963, bzw. der Mitteilung D7 des Instituts für Angewandte Mathematik, T. H. Karlsruhe.     

Pulsierende Förderung bei Pumpenrädern Über dem Umfang

Zusammenfassung Der Zweck der vorstehenden Untersuchung war zunächst, für den Grenzfall der Idealströmung bei unendlicher Schaufelzahl eines Laufrades den theoretischen Nachweis der Möglichkeit von pulsierenden Strömungen zu erbringen, bei welchen die Durchflußgeschwindigkeit in den Schaufelkanälen Über den Radumfang rhythmisch steigt und fällt. Es muß weiteren Untersuchungen vorbehalten bleiben, wann, in welcher Form und in welcher Stärke sich solche Pulsationen bei wirklichen Pumpenrädern einstellen.Wenn auch ein solcher pulsierender Strömungszustand sowohl bei Pumpen- wie bei Turbinenrädern theoretisch möglich ist, so haben die Versuche doch gezeigt, daß er in Wirklichkeit sich nur bei Pumpenrädern, aber niemals bei Turbinenrädern cinstellt.Durch einige Strombildaufnahmen und Beobachtungen an typischen radialen Pumpenrädern mit freier Wasseroberfläche wird ein Einblick in die wirklichen Strömungsverhältnisse bei pulsierender Förderung der Laufkanäle gewonnen. Im besonderen wird noch die Flüssigkeitsbewegung im Außenspalt erörtert.Die Arbeit stellt ein Kapitel aus einer von der Techn. Hochschule Danzig genehmigten Doktordissertation dar, welche auf Anregung von Herrn Prof. Dr.-Ing.G. Flügel hin entstanden ist.     

Über die dynamische Stabilität des Hubschraubers mit angelenkten Flügeln

Zusammenfassung Für den Hubschrauber mit angelenkten Flügeln wird die dynamische Stabilität bei kleinen Störbewegungen aus der Fluglage des Schwebens am Ort untersucht. Bei einem solchen Hubschrauber ist Stabilität praktisch kaum erreichbar, doch lassen sich Maßnahmen angeben, durch welche die Schwingungszeit der selbsterregten Schwingungen des Flugzeuges verlängert und ihre Anfachung verringert wird, so daß dann annähernd Indifferenz vorliegt. Im Gegensatz zu Schrauben mit starr an die Rotorwelle angeschlossenen Flügeln addieren sich die Wirkungen der Kreiselkräfte zweier Schrauben auch bei Gegenläufigkeit der Schrauben und erzeugen bei Drehbewegungen des Flugzeuges eine lineare Dämpfung, die ausschlaggebend für die Stabilitäts- und Steuereigenschaften des Hubschraubers ist. Daß auch bei fehlender Stabilität eine gesteuerte Stabilisierung eines Hubschraubers mit angelenkten Blättern möglich ist, zeigen die erfolgreichen Flüge verschiedener Hubschrauber, vor allem die bekannten Flüge des Fockeschen Hubschraubermusters FW 61.Die vorstehende Arbeit ist eine Mitteilung der Anton Flettner G. m. b. H. Flugzeugbau in Berlin-Johannisthal.     

Weiterführung der Sobreroschen Theorie des ebenen Spannungszustandes

Zusammenfassung Wir gehen von der Sobreroschen Theorie der Beschreibung des ebenen Spannungszustandes mittels hyperkomplexer Funktionen aus. Während Sobrero sich auf die Anwendungsfälle beschränkt, bei denen Kräfte nur im Innern des Materials angreifen und die Ränder durchweg lastfrei sind, erweitern wir diese Theorie durch Einführung der hyperkomplexen Spannungsfunktion (12), (13) und behandeln damit auch belastete Ränder. Die hyperkomplexe Spannungsfunktion hebt die von den Belastungen herrührenden Unstetigkeiten am Rande auf und stellt somit die Gültigkeit des Cauchyschen Integralsatzes im ganzen Bereich wieder her. Ferner ist für das praktische Rechnen mit hyperkomplexen Funktionen die Zerlegungsformel (26), (27) und (28) von Bedeutung. Sie deckt den Zusammenhang der hyperkomplexen mit den komplexen Funktionen auf. In den Anwendungen wird gezeigt, daß man die üblichen Belastungsfälle des geraden Balken mit Hilfe von Polynomen lösen kann: (32) bis (37). Dabei ist es möglich, weitere bis jetzt unbekannte Fälle in das aufgestellte Schema einzuordnen und zu lösen. In dem Falle des Balkens mit parabelförmiger Belastung ist die Behandlung bis zu Ende durchgeführt: (49). Für die unendliche Halbebene mit Einzellast wird eine Ableitung angegeben, welche nur die Stetigkeit der Spannungsfunktion und das Verschwinden der Spannungen im Unendlichen benutzt: (57). Die Zerlegungsformel für die hyperkomplexe Funktion ermöglicht in einfacher Weise die Einführung orthogonaler, isometrischer Koordinaten in die Spannungsfunktion (63) und die Zerlegung in krummlinige Tensorkomponenten: (71).Auszug aus der gleichnamigen Dissertation des Verfassers, München 1953. Erster Berichterstatter Prof. Dr. G. Hettner, zweiter Berichterstatter Prof. Dr. L. Föppl.     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

On the flexural vibration of an elastic plate carrying a concentrated mass

Summary The dynamic response of an elastic plate carrying a concentrated mass is analysed. Despite the presence of a singular mass distribution function, a rigorous analysis leading to a closed-form solution in the form of an infinite series has been made. By developing Green's function for the associated partial differential equation, any form of dynamic excitation is easily considered.

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Ein beitrag zu den biegeschwingungen einer elastischen platte mit einer punktförmigen zusatzmasse

Übersicht Untersucht wird das dynamische Verhalten einer elastischen Platte mit punktförmiger Zusatzmasse. Ungeachtet der Masseverteilung mit Singularität wird eine mathematisch strenge Behandlung, die zu einer geschlossenen Lösung in der Form unendlicher Reihen führt, unternommen. Durch Entwicklung der Greenschen Funktion für die assoziierte partielle Differentialgleichung lassen sich beliebige dynamische Erregungen behandeln.

     

Zur Stabilität der dünnen Kegelschale

Zusammenfassung Die obigen Ausführungen über die Stabilität der dünnwandigen Kreiskegelschale stellen eine Ergänzung und Erweiterung einer früheren Arbeit des Verfassers dar, in der die Ausbeulgrenze für gleichförmig verteilte Auflast und für konstanten Außendruck ermittelt worden ist. Nach einer kurzen Zusammenstellung der früheren Ergebnisse wird die Stabilität der auf Torsion beanspruchten Kegelschale betrachtet. Zur Aufstellung der Beulbedingung wird das Energiekriterium verwendet. Da eine exakte Lösung des sich ergebenden Variationsproblems nicht durchführbar ist, wird zur angenäherten Lösung das Ritzsche Verfahren benutzt. Der dabei gewählte Ansatz wird beim übergang zum Zylinder mit der exakten Lösung identisch. Damit ist in der Regel eine gute Genauigkeit der Lösung gewährleistet, da praktisch auf Torsion beanspruchte Kegelschalen fast stets in einer Form vorkommen, die sich nur wenig von der einer Zylinderschale unterscheidet. Die sich ergebende Beulbedingung kann durch Vernachlässigung unwesentlicher Glieder erheblich vereinfacht werden, so daß ihre zahlenmäßige Auswertung leicht möglich ist und ein übersichtliches Kurvennetz ergibt. Dieses Kurvennetz kann schließlich mit hinreichender Genauigkeit durch eine recht einfache Näherungsformel wiedergegeben werden.     

The refined approximate criterion for chaos in a two-state mechanical oscillator

Summary In the two-state mechanical oscillator, a mathematical model of a buckled beam, the refined criterion for the system parameter critical values where chaotic motion can be expected is derived. The derivation is based on the assumption of the second approximate solution for the small orbit. It is shown that a simple approximate analysis of the Hill's type variational equation gives the sought stability loss of the resonant solution as the period doubling bifurcation. The stability limits of the resonant and non-resonant solutions are proposed as the boundary of the region where strange phenomena can appear and the refined criterion thus derived is compared to computer simulation results and to other approximate criteria.

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Verfeinertes Kriterium für chaotische Bewegung in einem Schwingungssystem mit zwei stabilen Gleichgewichtslagen

Übersicht Für ein mechanisches Schwingungssystem mit zwei stabilen Gleichgewichtslagen, das ein mathematisches Modell eines Knickstabes darstellt, wird ein verfeinertes Kriterium für die kritischen Systemparameterwerte, bei denen chaotische Bewegung zu erwarten ist, hergeleitet. Die Herleitung geht von der Näherungslösung zweiter Ordnung für kleine Bahnen um das Gleichgewicht aus. Es wird gezeigt, daß eine einfache Näherungsbehandlung der Variationsgleichung vom Hill-Typ den gesuchten Stabilitätsverlust der Resonanzlösung als Verzweigung der Periodenverdopplung liefert. Die Stabilitätsgrenzen der resonanten und nichtresonanten Lösungen werden als Bereichsgrenze, wo chaotische Bewegungen auftreten können, vorgeschlagen. Das derart hergeleitete verfeinerte Kriterium wird mit Computer-Simulationen und anderen Näherungskriterien verglichen.

     

Grundsätzliche Untersuchungen über die bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebende Drehsteifigkeit

Zusammenfassung Nach einem Überblick über die bisherigen Arbeiten zur Klärung der bei den Drehschwingungen von Kurbelwellen maßgebenden Drehsteifigkeit wurde auf rechnerischem Wege nachgewiesen, daß zwischen den Drehsteifigkeitswerten nach Torsion erster Art und nach Torsion zweiter Art tatsächlich ein sehr enger innerer Zusammenhang besteht. Dieser Zusammenhang ist von weittragender Bedeutung, denn er gestattet, ohne weitere Rechnungen bereits sehr wichtige Schlüsse über den Einfluß der Torsionen auf das Schwingungsverhalten der Kurbelwelle zu ziehen.Durch die anschließenden allgemeinen Rechnungen über die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden die Eigenschwingungszahlen sowohl nach Torsion zweiter Art mit Nebentorsion als auch nach Torsion erster Art mit Hilfe der Störungsrechnung auf ein und derselben Bezugsschwingungszahl aufgebaut, so daß ein allgemeiner Vergleich der Ergebnisse möglich ist. Die nach den verschiedenen Torsionen ermittelten Eigenschwingungszahlen wurden schließlich noch für einige durchgerechnete Beispiele auch zahlenmäßig miteinander verglichen.Durch diese Überlegungen wurde die Frage, ob bei Kurbelwellen die nach der Torsion erster Art gewonnenen Drehsteifigkeiten der Drehschwingungsrechnung zugrunde gelegt werden dürfen, endgültig geklärt.Die Untersuchungen haben ergeben, 1. daß die Torsion zweiter Art unter Berücksichtigung der Nebentorsionen bei allen Schwingungsgraden grundsätzlich richtige Werte für die Eigenschwingungszahlen liefert, 2. daß die Schwingungsrechnung auf Grund der Torsion erster Art wenigstens für die tiefsten Schwingungsgrade (aber i. allg. nur für diese) ausreichend genaue Eigenschwingungszahlen liefert, so daß für die tiefen Schwingungsgrade das einfache bisherige Versuchsverfahren sowie die ebenfalls einfache bisherige Schwingungsrechnung beibehalten werden können. Die Güte der Näherung der Rechnung nach Torsion erster Art kann zur Sicherheit nachträglich immer an Hand der Schwingungsform beurteilt werden: die Näherung ist immer dann sehr gut, wenn innerhalb des homogenen Motorteils keine grobe Richtungsänderung in der Schwingungsform (im Sinne der Festlegung von Ziff.4) vorkommt. Mit zunehmendem Schwingungsgrad nimmt der Fehler der Rechnung nach Torsion erster Art mehr und mehr zu.Diese Untersuchungen wurden mit Unterstützung des Reichsluftfahrtministeriums im Forschungsinstitut für Kraftfahrwesen und Fahrzeugmotoren an der Technischen Hochschule Stuttgart (Prof. Dr.-Ing. W. Kamm) durchgeführt.     

Modeling and experimental analysis of an efficient absorber for air dehumidification

The performance of an air dehumidifier composed of a tube bank sprinkled with a LiCl/H₂O hygroscopic solution and cooled inside by water is studied under steady state conditions. An one-dimensional model simulating also the case of solution recirculation is presented together with the experimental procedure for the evaluation of the mass transfer coefficient for the apparatus. A series of tests on an experimental absorber validates the model. The behaviour of the apparatus together with a simplified parametric study are then presented for a full scale absorber with air and solution flowing both in countercurrent and in cocurrent. The external parameters controlling the apparatus performance are also defined.

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Mathematische Simulation und experimentelle Analysen eines leistungsfähigen Absorptionsgerätes für die Luftentfeuchtung

Zusammenfassung Es wird das Verhalten eines Luftentfeuchters bei Bedingungen stationären Zustandes studiert, bestehend aus einem versetzt angeordneten Rohrbündel mit einer hygroskopischen Lösung aus LiCl/H₂O und im Innern mit Wasser gekühlt. Es wird sowohl ein eindimensionales Modell vorgestellt, welches in der Lage ist, auch den Fall von Rezirkulation der Lösung zu simulieren, als auch ein experimentelles Verfahren für die Beurteilung des Koeffizienten des Stoffüberganges des Gerätes.Eine Serie von Prüfungen eines experimentellen Absorptionsgerätes bestätigen das Modell. Für den Fall eines Absorptionsgerätes in natürlichem Maßstab wird die Studie über das Verhalten des Gerätes zusammen mit einer vereinfachten Parameterisierung vorgestellt, sowohl für Luft und Lösung in Gegenals auch in Gleichstrom. Die äußeren Parameter, welche die Leistung des Gerätes kontrollieren, werden festgelegt.

     

Über Druckermittlung in der nichtstationären ebenen Strömung

Zusammenfassung Im experimentellen Teil wird die ebene Strömung um einen Kreiszylinder, an der Oberfläche durch aufgestreute Teilchen sichtbar gemacht, mit langen Belichtungszeiten kinematographisch aufgenommen. Aus den Weglängen der einzelnen Teilchen wird auf ihre Geschwindigkeit geschlossen, die KrÜmmungshalbmesser ihrer Bahnen werden ermittelt, die Drucke längs einer Stromlinie nach dem allgemeinen Satz vonBernoulli bestimmt quer zu den Stromlinien nach der Fliehkraftformel(p=p ₀ + v ² /r d s'). Die Druckverteilungskurven fÜr verschiedene Entwicklungsstadien des Wirbelpaares sowie fÜr einen Zustand der Wirbelstraße werden gezeigt, das Druckfeld ermittelt, das Absinken des Druckes hinter dem Zylinder betrachtet und die änderung des Druckwiderstandsbeiwertes mit der Zeit dargestellt. Dieser erreicht etwa den doppelten Wert wie im Beharrungszustand. FÜr einen Zustand der Wirbelstraße wird die unsymmetrische Druckverteilung am Zylinder gezeigt und die Kraft quer zur Strömungsrichtung ermittelt; sie beträgt in diesem Fall Über 40% des Widerstandes.Im theoretischen Teil ist der gewöhnlichen Potentialströmung eine Quellsenkenströmung Überlagert, deren Potential durch eine Reihenentwicklung gewonnen wird, woraus die Geschwindigkeitskomponenten abgeleitet werden. In der Beziehung fÜr den Druck wird die Zeitabhängigef (t)/a und ihre Ableitung aus der gemessenen Bewegung des freien Staupunktes bestimmt.Der Vergleich der rechnerischen und experimentellen Ergebnisse zeigt gute Übereinstimmung im Stromlinienbild. Auch die Annäherung des gerechneten an den experimentell gewonnenen Druckverlauf auf der Nullstromlinie fÜr einen frÜhen Entwicklungszustand des Wirbelpaares ist befriedigend; später zeigt die Rechnung starke Abweichungen vom Versuchsergebnis. Das rechnerische Bild des Druckfeldes wird mit dem experimentellen verglichen, der rechnerische Druckverlauf auf der Symmetrielinie hinter dem freien Staupunkt und der Abfall des Drucks in diesem abhängig von der Zeit in befriedigender Annäherung an das Versuchsergebnis erhalten.Es wird somit die Möglichkeit erwiesen, zeitlich veränderliche ebene Strömungen in ihren dynamischen Einzelheiten experimentell zu verfolgen und nötigenfalls auch analytisch darzustellen.