曲面成为平面的条件

有些課本把下面这个平面的性貭(公理):“如果一条直綫上的两点在一个平面內,那末这直綫上所有的点都在这平面內”作为鉴定一个面(称曲面更合适)是否为平面的准則。事实上这个公理仅仅給出曲面成为平面的必要条件,只有当我們証明了这个条件也是充分条件时,才能确立这个鉴定平面的准則。就直觉     

对A.C.巴尔霍民柯著:“黎曼式非欧几何”的一点注釋

“黎曼式非欧几何”发表于数学通报1963年第1期。本文所提的注释就是要严格証明:若采用黎曼几何的关联公理:平面內二直綫恆相交,則不能同时采用欧几里得的关联公理、順序公理、合同公理;也不能同时采用欧氏几何的关联公理、順序公理、連續公理。定理1.利用欧氏几何的关联公理、順序公理、合同公理,可以証明平面上存在着两条不相交的直綫。 証.平面上至少有一条直綫a及a上至少有A,B两点,如果过A,B两点关于a的垂直綫c,d交于一点C的話,那末△ABC的一个外角等于它不相邻的內角,这与合同公理的推論——外角定理矛盾。所以平面上有不相交的两条直綫c,d。     

中学平面解析几何課中“直綫”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“直线”这部分的具体内容主要包含“直綫的傾斜角和斜率”、“直綫方程的一般形式”、“直綫方程的点斜式、两点式、斜截式、截距式”、“点与直线的位置关系”、“直綫与直綫的位置关系”等五部分。其中直綫的傾斜角和斜率这一部分,有些課本是放在第一章直角坐标系中讲的。在这五部分的教材中,一般常是这样編排的: 1.直綫的傾斜角和斜率; 2.直綫方程的点斜式、斜截式,两点式、截距式; 3.直綫方程的一般形式;     

数学教学中的实驗、直觉与邏輯

§ 1 在黑板上画一个半径为15cm的圆,过离圆心10cm的一点作一条直綫。显然,这条直綫交圓于两个点。这一知識是由实驗方法得到的。 設想在平面上画一个半径为15,000,000公里的圆,过离圓心10,000,000公里的一点作一条直綫。当然,你們会說,这条直綫也是与圆相交于两个点。你們并沒有看見这个圆,这条直綫也沒有真正作出来,你們这个信念的根据是什么呢?不可能实际地証实这样的直綫与圆相交。即使要証明这个定理也并非易事,而在中学阶段是不可能証明的。你們这个信念是一定的經驗与直觉所给与的。中学数学課不是、也不可能是具有严密邏輯系统的課程。許多数学事实是由实驗方法得到的,而只有一部分才經过了邏輯证明。为了改进数学教学,必須正确地理解在学生获得知識的过程中,实驗、直觉与邏輯的相互关系的意义。     

对現行高中立体几何課本第一章第Ⅲ、Ⅳ兩节教材安排的一些意見

我認为在講过第III节§22作图題之后最好不接着講§23垂线和斜綫的長,因为容易使学生糾纏在“过已知点如何作一条直綫垂直于已知平面呢”?“要想找到一个平面的斜綫的射影,不会作过已知点垂直于已知平面的直綫能行嗎”?同时,課本中接着又講§24直綫与平面垂直的推广定理及§25三垂綫的正逆定理,而在講解中,特别是佈置習題三中的16題和17題,     

中学平面解析几何課中“曲綫和方程”部分的教学

在中学平面解析几何課中,“曲綫和方程”部分的具体內容主要是指“曲綫方程的意义”、“依已知曲綫求它的方程”、“就已知方程作出它的曲綫”等。其中后两部分常称为曲綫和方程的两个基本問題。由于直角坐标系的建立构成了平面上的点与有序实数偶間的一一对应,使平面解析几何中“就数論形”打下了物貭基础,从而在曲綫方程的概念中,再由于构成了某些方程与平面上的某些曲綫間的一一对应,进一步就使得平面解析几何中“就数論形”获得了現实意义。这就是說,由于曲綫是被看作具有某些共同性貭的点的軌迹,而曲綫方程正是具有某些共同性质的点在坐标平面上的坐标之間关系的反映,这样一来,几何中的形(点之間的关系)与代数中的数(数之間的关系)原为对立,而被揭示以統一,为“就数論形”与“依形判数”的相互轉化开辟了切实可行的途径。而全部平面解析几何的內容正是在这种相互轉化的过程中展     

中学平面解析几何课中“直角坐标系”部分的教学

在中学平面解析几何課中,一般都从标题为“直角坐标系”的一章开始,其具体內容主要包含“有向綫段”、“平面直角坐标系”、“两点间的距离”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”等五部分。不言而喻,这一章的教材是这門課的最基础部分,学生只有将这一章学好了,才算是掌握了研究解析几何的最基本的工具,才有可能学好以后的各章教材。但是,如果将上述五部分联系起来,则又不难看出:由于“有向綫段”部分主要的是解决有向綫的概念、直綫上点的坐标、計算有向綫段的数量公式等問題,因此它是“平面直角坐标系”部分的理論基础。而对于“两点间的距离公式”、“綫段的定比分点”、“三角形的面积”这三部分说来,由于它們都是利用有向綫段的数量公式,根据“平面直角坐标系”中的知識来解决的,因     

介紹新編的高級中學課本立体幾何

人民教育出版社这次根据中学數学教学大綱(修訂草案),参考了苏联的立体幾何課本所編寫的高級中学課本立体幾何,在1956年春季開始在全國各地試用,筆者得到机会参加了这个課本的編寫工作,在編寫的过程中,比較更進一步地体会到了教学大綱和苏联教材的优越性,现在願意通过課本內教材的編排來談談教学大綱和苏联教材的科学系統性,並且对於使用本課本時的一些教学上的問題,提出个人的看法,以作为学習教学大綱和苏联教材的体会。一、新編課本的編排系統 中学的立体幾何課,是在学生已經理解和掌握平面幾何全部知識的基礎上開始的,教材的內容主要包括着空间的直線与平面間的一些重要性質,以及一些幾何体(多面体和旋轉体)側面積和体積的求法,就学習順序來看,旋轉     

关于解析几何教学的几点注意(續)

本文叙述解析几何教学中的几个問題。內容包括:(一)关于常态圓錐曲綫的两个定理;(二)关于圓周方程的一个定理;(三)关于极坐标方程图形的描繪。可作平面解析几何課的教学参考材料。 (一)关于常态圓錐曲綫的两个定理众所周知,实常态圓錐曲綫乃指椭圓、双曲綫、拋物綫和圓(圓可看作椭圆的极端情况)。常見的定义蘊涵在下述命題之中。命题.一个曲綫具有下述三属性之一,則必然具有另二属性。Ⅰ.平面π上具有下述性貭之一的动点的軌迹: (1)到π上的两个定点的距离之和为一个大于此二点間距离的常数; (2)到π上的两个定点的距离之差为一个小于此二点間距离的正常数; (3)到π上的一个定点及一条不通过它的定直綫     

介紹一种測量圓弧直徑的簡單工具

根据高中平面几何(?)47定理:“过圓內一点,引直徑和任一条弦,那末弦上被这点所分兩綫段的积等于直徑上被这点所分兩綫段的积”,可以制作一种測量圓弧直徑的簡單工具:     

投影平面及其拓扑結构

在代数学里,方程式的研究使得数的概念逐漸扩充起来。这种扩充就是把新的元素(新数)添加到原来的数集中去,对于这些新数說来,正演算(加法,乘法,乘方)的一切基本性貭都成立。添加新数的目的,是为了在扩充了的系統中得以施行逆演算。几何学里我們也有类似的东西。这里的基本运算是:通过两个不同的点引直綫,以及通过一条直綫和不在它上面的点引平面;这些运算在几何学里总是可以施行的。然而求(同一平面上的)两条直綫的交点,求直綫和平面的交点,以及求两张平面的交綫,却并不是常常可以施行的。这种情况的出現,使得在陈述关于点,直綫和平面的相互位置的几何定理时,引出許許多多的例外。对于所考虑的問題說来,这种破坏結論普遍性的最重要的典型例子就是透視对应。     

只保留結合公理的几何——一般体上的三維射影几何

一、引言学过几何的同志們都很熟悉希尔伯特(Hilbert)的几何公理体系,在这体系中基本元素是:点、綫、面。这些元素滿足五組公理:結合公理、順序公理、合同公理、平行公理和連續公理。在本文中我們将研究一种几何,它的基本元素还是点、綫、面,但是只保留一組結合公理。希尔伯特在建立他的公理体系时,事实上并不很关心連續公理,在他所写的經典著作“几何基础”的第一版里,实貭上沒有提到康托尔(Cantor)公理或与其等价的公理。后来由于潘加来(Poincaré)等人提了意見,他才在第二版中添加了和康托尔公理等价的完备性公理,并証明了体系的完备性。因此,希尔伯特书的中心思想按其实貭来說是要发展一种和連續公理无关     

数学问题解答

518 我們把交点在正六边形內的正六边形的两条相交对角綫叫做正六边形的內交对角綫,正六边形的两条內交对角綫将正六边形分成四个部分,每个部分我們叫做一个区域,試証:在边长为R的正六边形中任作一曲綫L,L的两端在这正六边形的边上,如果曲綫L的长l≤1.7R,則在这正六边形中必存在两条內交对角綫,使这曲綫L在这两条內交对角綫的某个区域內(除去曲綫的两个端点)。     

高一几何第一章复習提綱

第Ⅰ單元线段的度量的复習提綱 (甲) 关于阿基米德公理 1)阿基米德公理的內容是什么? 2)用数学式子怎样將它表出? 3)我們用它解决了什么問題? (乙) 公度 1)什么样的綫段叫做兩条已知綫段的公度? 2)兩条线段如果有公度,它有最小的嗎? 为什么? 3)怎样说明当兩条已知綫段有公度时一定有最大公度,並且还只有一个? 4)当兩条已知綫段有公度时用什么方     

三角形与四边形面积的分割

在1961—1962年北京出版社出版的平面几何課本(北京市初級中学試用課本)內,有关多边形的面积的教材,已不立专章讲授,而将其中最基本的部分(計算的与作图的),分編于各有关章节內。虽然如此,笔者认为如果把同一类型的問題整理在一起,作为学生的課外短篇讀物,对于学生还是有益的。     

空间的直线与平面

1本单元重、难点分析点、直线、平面是最基本的几何概念,要学会正确地使用它们之间关系的符号语言.平面的基本性质(三个公理和三个推论)是立体几何的基础,也是正确处理空间中点、直线、平面之间关系以及识图、画图、推理的依据.空间直线、直线和平面及两个平面之间的两种特殊关     

笛沙格定理与截面作图

培养空间想象能力是立体几何教学的重要任务,解答立体的截面的作图问题是培养这种能力的有效途径之一。研究立体截面的图形,必须充分应用平面图形的性质,它的主要依据是关于点、线、面之间的从属关系的三条公理。公理1.如果一条直线上有两个点在一个平面上,则这直线上所有的点都在这个平面上。公理2.过不在一直线上的三个点能且只能作一个平面。     

空间上“点在线上”的证明

空间中证明“点在线上”主要根据立几的公理二。其证法步骤如下: (1)分析出要证的直线是哪两个平面的交线; (2)再证明要证的点是这两个平面的公共点; (3)由立几公理二,点必在线上。例1 三个平面两两相交,有三条交线,若这三条交线两两相交,则三条交线交于一点。分析:证三线共点可转化为证其中两线的     

空间的直线与平面

1本单元重、难点分析 点、直线、平面是最基本的几何概念，要学会正确地使用它们之间关系的符号语言．平面的基本性质（三个公理和三个推论）是立体几何的基础，也是正确处理空间中点、直线、平面之间关系以及识图、画图、推理的依据．     

新編平面解析几何中几个天文問題簡介

高級中学課本平面解析几何(人民教育出版社出版,1963年第一版)中适当地介紹了解析几何在各方面的应用。本文仅就涉及到天文方面的某些問題,稍作說明,供正在鉆研这一課本的同志們参考。 1.地球是一个椭球体。課本在总复习題的第17題中提出地球的子午綫是一个椭圆,压縮率α=1/300。这个問題是这样的:我們設想把占地球表面3/4的海平面延伸和穿过大陆,就得到所謂“大地水准面”。这个大地水准面“第一次近似”于一个圓球面,在这个圓球面上通过南北两极的大圓称为子午綫。当月蝕現象发生时,就能看到地球在月亮上的影子始終为圓弧形,这就証明了只有地球近似于圓球形物体,其影子才能为圓弧形。基于这一了解,紀元前三世紀时,大地测量学者埃拉托斯芬在埃及亚历山大城,通过对子午綫弧的測量来算出地球子午綫周长約为40,000公里,地球半径約为12,700公里。由于测量仪器的精确度的限制,他所