蝴蝶定理的向量证法

贵刊《数学通报》2004年第1期刊登了周春荔的《蝴蝶定理》一文，笔者联想到中学新教材中的向量知识，于是，笔者尝试运用向量来证明蝴蝶定理，得到了如下的证明方法，希望能引起读者的兴趣。     

Farkas定理的新证法

本文用初等方法对著名的Farkas定理给出新的证明,避免了原有艰涩的证明过程,论述简单明了。     

二项式定理的新证法

高级中学课本代数第三册二项式定理的证明采用的是数学归纳法.本文用构造递推方程的方法给出二项式定理的两种证法,供同志们数学时参考.     

关于一个次线性逼近定理的新证法

Ｄｅｍｙａｎｏｖ和Ｒｕｂｉｎｏｖ在［１］中给出了一个次线性逼近定理．本文对该定理的证明进行了修正．     

关于高维蝴蝶定理

利用距离几何方法将古典的蝴蝶定理推广到n维欧氏空间一般二次超曲面情形,同时也得到高维蝴蝶定理的逆定理.     

蝴蝶定理的新故事

这几年,人们对蝴蝶定理谈得可真不少了,谈它的历史,谈它的多种证法,谈它的美妙变化,有兴趣的读者可参看文献[1]～[6]。那么,关于“蝴蝶”,还有什么新鲜东西值得一提吗?如果是一年以前,笔者也觉得无话可说,现在又提笔写它,得感谢杜锡录先生。在今年四月份广州的一次会上,与杜君久别重叙,他问我:“你知道筝形中的蝴蝶定理吗?”老实说,我不知道,杜君告诉了我这个定理,并且提到,他和单墫先生都希望有一个简单方法证明筝形中的蝴蝶定理,如同[1]中用面积方法巧证圆内蝴蝶定理一样。这引出了蝴喋定理的新故事。 (一) 四边形里的蝴蝶定理如果凸四边形ABCD中,AB=BC而且CD=AD,则称它为筝形,因为它确象一只瓦片风筝,图1中画出了筝形ABCD,我们把对角线AC叫做筝形的横架,BD叫做筝形的中线。命题1 (筝形蝴蝶定理)如果ABCD是以BD为中线的筝形,过其对角线交点M作两直线分别与AB、CD交于P、Q.与AD、BC交于R、S.连PR、SQ分别与横架     

莫利定理的一个新证法

莫利定理是三角形中的一个非常美秒的定理,如图、AB_o、AC_o、BA_o、BC_o、CA_o、CB_o、是△ABC的内角三等分线,则△A_oB_oC_o是正三角形。莫利定理的证明一般都用同一法,下面给出一种三角的证明。这里,要用到一个三角等式: sin30=4sinosin(π/3-o)sin(π/3 o) 运用三角函数的积化和差公式、即得 4sinosin(π/3-o)sin(π/3 o)     

牛顿定理的两种新证法

<正>牛顿定理[1]圆外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形的对角线的交点重合.此定理是说,若凸四边形ABDF外切于圆,AB,BD,DF,FA边上的切点分别为P、Q、R、S.则四条直线AD、BF、PR、QS交于形内一点.文献[1]给出了8种证法.经笔者探究,给出如下两种新的证法,供鉴析.     

中值定理的两个新证法

本文的证法都利用了下列定理 :达布中值定理　若函数 f (x)在区间 [a,b]内可导 ,并且设 f′(a)≠ f′(b) ,不妨设 f′(a)f (b) -f (a)b-a 或 f′(x) …     

罗尔中值定理的一些新证法

给出了罗尔微分中值定理的三种新的证明方法,其中第二种很简便的方法仅依赖于大家熟知的Heine-Borel有限覆盖定理.由此可见罗尔微分中值定理可以是实数的完备性的直接推论.     

线面垂直的判定定理的新证法

现行高中数学教科书人教版第九章 (A,B)对直线与平面垂直的判定定理的证明 ,仍是沿用以往教材中的传统证法 ,而课程改革要求我们尽可能地运用新知识处理问题 ,尽可能地用简明的方法解决问题 .我在教学中发现另一种证明定理的方法 .现给出证明过程 ,供大家教学参考 .直线和平面垂直的判定定理 :如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 ,那么这条直线垂直于这个平面 .已知 :如图 1,m α,n α,m∩ n =B,l⊥ m,l⊥ n.求证 :l⊥α.证明　若 g是平面α内任意一条直线 ,设直线 l、m、n、g上分别有非零向量 l、m、n、g,由于 m、n是平面内…     

初等分析中一些定理的新证法

本文给出了初等分析中一些定理证明的一种统一处理方法,所用技巧是借助于如下定义和引理。 定义 区间[a,b]的闭子区间族C称作[a,b]的一个完全复盖(full cover),例如对任一x∈[a,6],存在δ(x)>0,使得[a,b]的每个包含     

反正切相加定理的一种新证法

利用微分方程给出了反正切相加定理的一种新证法,该方法可直接确定反正切相加定理中函数ε(x,y)的连续域以及函数在域内的取值.     

Steiner定理与蝴蝶定理

如图 1 ,设Ｈ是欧氏平面上圆的弦ＡＢ的中点 ,过Ｈ的弦ＣＤ ,ＥＦ的端点连线ＣＦ与ＥＤ分别交ＡＢ于Ｉ,Ｇ ,则ＡＩ=ＧＢ .这就是平面几何中的蝴蝶定理 .它可以“纯平面几何”地证明 ,也可以用解析几何的方法证明 .运用射影几何的知识会使证明变得简单并且容易推广 .欧氏平面加上平面上所有直线的无穷远点 ,并把任意一组平行直线上的无穷远点看成同一点 .所有的无穷远点组成一条直线 ,叫无穷远直线 ,所得平面称为拓广欧氏平面 .假如对于拓广欧氏平面上的普通点与无穷远点不加区别就得到射影平面 .我们讨论的主要工具是射影映射与下面的Ｓｔｅ…     

广义蝴蝶定理

广义蝴蝶定理南京三乐电气总公司朱履乾蝴蝶定理是世界近代初等几何中的一道名题．该定理于一八一五年问世，一百七十多年来，始终吸引着人们去探求新的更优美简捷的证法，探求她的多种形式的推广．然而至今尚无对各种蝴蝶定理普遍适用的几何关系式．作者对蝴蝶定理范畴的...     

Johnson定理的向量证法

ｏｈｎｓｏｎ定理的向量证法仲盛（南京大学计算机系９６研２１００９３）美国数学家ＲｏｙｅｒＪｏｈｎｓｏｎ于１９１６年提出了以下的问题［１］：定理若三个半径为ｒ的圆都经过同一个点Ｏ，而另外三个交点为Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，则ΔＰ１Ｐ２Ｐ３的外接圆半径也是ｒ．此...     

替换定理的矩阵证法

本文给出了替换定理的一种新证法 ,并解决了具体的替换问题     

罗尔中值定理的一些新证法(英文)

给出了罗尔微分中值定理的三种新的证明方法,其中第二种很简便的方法仅依赖于大家熟知的Heine-Borel有限覆盖定理.由此可见罗尔微分中值定理可以是实数的完备性的直接推论.     

鲁津定理中mE=∞情形时的新证法

在可测集的性质的基础上,给出了鲁津定理中mE=∞情形时的一个新的证法.     

蝴蝶定理及其推广

蝴蝶定理是初等几何中的近代名题，可称为数学殿堂里的一颗璀璨的珍珠．自1985年杜锡录教授介绍到我国以来，不少数学家、数学教育工作者对此作过研究．本文在给出蝴蝶定理的一个简洁证明的基础上研究其推广形式并加以证明．