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<正>图1性质如图1,点P是△ABC的内心,过点P垂直于AP的直线分别交AB、AC于点D、E,则DE是△PBC外接圆的切线.证明∵点P是△ABC的内心,DE⊥AP,显然易证Rt△APD≌Rt△APE,∴∠ADE=∠AED,在△ADE中,∠ADE+∠AED+∠DAE=180°,即2∠ADE=180°-∠DAE①同理∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC②由①、②得∠ADE=12∠ABC+12∠ACB,而∠ADE=∠DBP+∠DPB=12∠ABC+∠DPB,∴∠DPB=12∠ACB=∠PCB, 相似文献
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在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目,本文将此类问题进行归纳总结,以利于进行求解.命题1 如图1,点D是△ABC两个内角平分线的交点,则∠D =90°+1/2∠A.∵ ∠1 =∠1′,∠2 =∠2′,∴ 2∠1 +2∠2 +∠A =180°,∠1 + ∠2 + ∠D=180 °. 相似文献
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图1文[1][2][3]中都有如下一道几何题:如图1,△ABC中,E、F分别在边AB、AC上,BF与CE相交于点P,且∠1=∠2=12∠A,求证:BE=CF.文[2]中用共角定理给出证明,方法简洁、巧妙,文[3]中利用三角法结合正弦定理证明线段相等.这两种方法难度都较大,本文拟给出两种学生容易接受的常规证法并证明两个变式.图2证法1如图2,过点B作BG∥CE,过点C作CG∥BE,BG、CG相交于点G,连结GF,则∠4=∠2=∠1=12∠A,∠ACG=180°-∠A,四边形BGCE是平行四边形,∴CG=BE,∵∠FBG+∠FCG=∠1+∠4+∠ACG=12∠A+12∠A+180°-∠A=180°, 相似文献
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圆内接三角形的一个性质 总被引:1,自引:0,他引:1
设I为△ABC的内心,射线A I、B I、C I与△ABC的外接圆分别交于点D、E、F,EF与AD交于点P,DF与BE交于点M、DE与CF交于点N,则I是△PMN的内心.图1证明连结AF(如图1),∵∠1=∠4,∠2=∠5,∴∠1 ∠2 ∠3=∠4 ∠5 ∠3.∵内心是三角形三条内角平分线的交点,∴∠4 ∠5 ∠3=90°即∠1 ∠2 相似文献
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本文所讨论的三角形"峰角"问题,是与三角形一个内角的有关的角的大小问题,其中呈现出一定的规律.问题1如图1,O在△ABC内,BO、CO相交于点O,则有∠BOC-∠BAC=∠ABO+∠ACO.证明连结AO并延长交BC于D,则有∠BOD=∠ABO+∠BAO 相似文献
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性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆, 相似文献
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本文将给出三角形等角共轭点的一个新性质,即命题 设P、Q是△ABC的等角共轭点(∠PAB=∠QAC,∠PBC=∠QBA,∠PCB=∠QCA),则有AP.AQAB.AC BP.BQBA.BC CP.CQCA.CB=1.证明 如图1,设D是射线AQ上的点,且使得满足∠ACD=∠APB.因为∠APB>∠ACB,则点D必在△ABC的外部.又因∠PAB=∠CAD,∴ △ABP∽△ADC.图1故 ABAD=APAC=BPCD.1又 ∠QAB=∠PAC,ABAD=APAC,可知 △ABD∽△APC,于是 ABAP=ADAC=BDCP.2又因为∠CDA=∠PBA=∠QBC,所以可知有B、Q、C、D四点共圆.由托勒密(Ptolemy)定理… 相似文献
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新课标体现新的理念 ,“学数学”、“做数学”是新的课程标准体现的目标和要求 ,也是培养数学能力的重要手段 .纵观近年来各地中考试卷 ,处处无不体现这一思想 .本文以近年来中考题为例 ,撷集数例如下 ,供赏析 .1 .折一折例 1 ( 2 0 0 3年北京市海淀区中考题 )如图 1 ,把△ABC纸片沿DE折叠 ,当点A落在四边形BCDE内部时 ,则∠A与∠ 1 +∠ 2之间有一种数量关系保持不变 ,请试着找一找这个规律 ,你发现的规律是 ( ) .A .∠A =∠ 1 +∠ 2 B .3∠A =2∠ 1 +∠ 2C .3∠A =2 (∠ 1 +∠ 2 )D .2∠A =∠ 1 +∠ 2分析 :由四边形的内角… 相似文献
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IMO - 1979备选题 (由荷兰提供 ) :在等边△ ABC内取点 K、L、M,使得 :∠ KAB =∠ L BA =15°,∠ MBC =∠ KCB =2 0°,∠ L CA =∠ MAC =2 5°,求△ KL M的三内角 .图 1笔者最近研究发现可将此题作如下推广 :定理 如图 1,在等边△ ABC内取点 K,L ,M,使得∠ KAB =∠ LBA=α,∠ MBC=∠ KCB =β,∠ L CA =∠ MAC=γ,且α +β +γ =60°,则∠ L MK =3α,∠ ML K =3β,∠ MKL =3γ.证明 如图 1,延长 AK、AM分别交 BC于点 P、Q,又连结 PM、QK,则∠ PBM =∠ PAM =β 点 P、M、A、B共圆 ∠ MPA =∠ M… 相似文献
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<正>(2021年欧洲女子数学奥林匹克第3题)对于钝角△ABC,∠A为钝角,E,F分别为∠A的外角平分线与顶点B,C关于△ABC的垂线的交点,M,N分别为线段EC,BF上的点,满足∠EMA=∠BCA,∠ANF=∠ABC.证明:E,N,M,F四点共圆.该题主要考查三角形垂心,圆的割线定理及四点共圆的判定等知识点. 相似文献