一道三角函数题的复数解法

我们先看下面这道题及其常规解法.题目:已知cosA+cosB+cosC=0,sinA+sinB+sinC=0,求证:cos3A+cos3B+cos3C=3cos(A+B+C),sin3A+sin3B+sin3C=3sin(A+B+C).解法一:由条件可得cosA+cosB=-cosC,sinA+sinB=-sinC,则(cosA+cosB)2+(sinA+sinB)2=1.     

分离参数法在恒成立问题中的应用

<正>本文从高中常见的几类恒成立问题来谈谈分离参数法的应用.一、三角函数恒成立问题例1已知△ABC中,f(A)=4sinA·sin2(π/4+A/2)+cos2A,若恒有|f(A)-n|<4成立,求n的取值范围.解f(A)=2sinA[1-cos(π/2+A)]+1     

构图法巧解锐角三角函数题

在锐角三角函数习题中,有些习题若用构图法能把较难的问题变得容易、直观地解决·下面特举数例,加以说明,供读者参考·一、求锐角三角函数值问题例1不查表求cot15°的值·分析:由于15°为30°的一半,这启示我们要构造一个含有30°角的直角三角形和一个含有15°角的直角三角形,再用余切求之·解:作Rt△ABC,使∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA到点D,使AD=AB,连结BD,(如图1)设BC=1,则∠D=15°,AD=AB=2,AC=3,∴CD=2 3,∴cot15°=BCCD=2 3·例2已知3sinA=4sinB,3cosA 4cosB=3,且A、B都是锐角,求sinA cosB的值·分析:由题设的结构特点,…     

聚焦三角函数中的多组解问题

在已知三角函数值求值或求角中,经常会解出多组解.这是学生的一个难点,要么根本无取舍意识,要么有取舍意识但不知怎么取舍.本文结合典型例题,对三角函数中出现多组解的原因、取舍的方法作一个归纳总结.……     

一个数学问题的简便证明

《数学通报》2004年第12期刊登了李明老师对1525号数学问题“△ABC中,求证:sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)≤23.”的证明,但证明方法技巧性较高,其实该题有较便的证法.记录如下:证因为sin(A-30°) sin(B-30°) sin(C-30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B 30°)=2sinA B2-60°·cosA2-B sin(A B-60°)=-2sin2A B2-60° 2cosA2-B·sinA B2-60° 1=-2sinA B2-60°-cosA2-2B2 cos2A2-B2 1≤32(1)当且仅当cos2A-2B=1cosA-2B=2sinA B2-60°时“=”号成立.因为-90°相似文献   

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

关于三角方程的教学

本文拟谈三个问题:1.对统编教材高中数学第一册“简单的三角方程”这一单元内容安排的分析;2.在用不同方法解三角方程时,可能得出不同形式的答案,如何判别它们是等价的;3.有关增根、失根的问题。 1.课本首先总结了最基本的三角方程:sin x=a;cos x=a;tg x=a的解集。当a为具体数值时,这些方程的解集,已经在第二章“任意角的三角函数”中,通过已知三角函数值求角的问题解决了,并且也给出了一般解,只是朱用反三角函数表示。在这     

点击一类解三角形的问题——从一道题的错解谈起

题目已知△ABC中,sinA=45,cosB=12,求cosC.错解:∵cosB=12,0相似文献   

妙解三角题一则

题目已知25cosA 5sinB tanC=0,且sin2B-4cosA·tanC=0．求证tanC=25cosA．证明由△=sin2B-4cosA·tanC=0知关于x的一元二次方程x2cosA xsinB tanC     

上期课外练习参考解答

1.令cosx=t,t∈[-1,1],则f(t)=t+3+1/(t+3)在[-1,1]内的值域为:f(-1)≤f(e)≤f(1),即5/2≤y≤17/4.2.把已知方程化为x2-4x+4=0(x>1),即x=2.由题意得B/A=2,sinC/sinA=2,于是有B=2A,sinC=2sinA,而A+B+C=π,∴C=π-3A,∴sinC=sin3A=2sinA,即3sinA-4sin3A=2sinA.     

韦达定理的逆定理在三角中的应用

如果两个数α和β满足如下关系:α+β=b/aαβ=c/a,那么这两个数α、β是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根,我们知道,这便是韦达定理的逆定理。下面举例说明它在平面三角中的应用。例1 已知A+B=90°,sinAsinB=m。求证:tgA、tgB是方程mx~2-x+m=0的两个根。证明:∵A十B=90°, ∴A=90°-B B=90°-A。∴tgA+tgB=sinA/cosA+sinB/cosB =sin(A+B)/cosAcosB=1/sinBsinA =1/m (1) ∵tgAtgB=tgActgA=1 (2) 故根据韦达定理的逆定理,由(1)、(2)     

对一道课本习题的多种证法探究

<正>试题(北师大版高中数学必修5第57页第1题)如图1,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点.设∠APC=α,∠BPC=β.求证:sin(α+β)/PC=sinα/PB+sinβ/PA.证法1正弦定理记PB=a,PA=b,PC=l,AC=m,BC=n.在△PAC中,sinα/m=sinA/ l,在△PBC中,sinβ/n=sinB/l.所以sinα=msinA/l,sinβ=nsinB/l.所以sinα/a+sinβ/b=msinA/la+nsinB/lb=m/l·sin(α+β)/m+n+n/l·sin(α+β)/m+n=sin(α+β)/m+n·m+n/l=sin(α+β)/l,     

2006年高考数学湖北卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.已知向量a=3,1,b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=3,则b=A.23,12B.21,23C.41,343D.(1,0)2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a=A.4B.2C.-2D.-43.若△ABC的内角A满足sin2A=23,则sinA+cosA=A.315B.-315C.35D.-354.设f(x)=lg22-+xx,则f(2x)+f(2x)的定义域为A.(-4,0)∪(0,4)B.(-4,-1)∪(1,4)C.(-2,-1)∪(1,2)D.(-4,-2)∪(2,4)5.在x-13x24的展开式中,x的幂的指数是整数的项共有A.3项B.4项C.5项D.6项6.关于直线m,n与平面α,β,有以下四个命题:①若m∥α,n∥β且…     

例析高中数学研究型问题

根据近年教学实践,选出研究型问题一组,似对高中数学总复习、特别对教师的备课有好处.现整理如下:例1在△ABC中计算:sin2A sin2B sinA·sinB的值.(1)若A=30°,B=30°(2)若A=45°,B=15°(3)若A=40°,B=20°(4)从上述(1)、(2)、(3)中能否得出一个一般性规律?请给予证明.解(1)sin230° sin230° sin30°·sin30°=43(2)sin245° sin215° sin45°·sin15°=43(3)sin240° sin220° sin40°·sin20°=1-c2os80° 1-c2os40° 21(cos20°-cos60°)=1-21(cos80° cos40°) 21cos20°-41=1-21·2cos60°cos20° 21cos20°-41=43(4)猜测:在△AB…     

构造点巧解三角问题

<正>有些三角问题,若用常规方法来解比较繁琐,运算量大,但若通过构造点(a cosα,bsinα),利用数形结合就可巧妙解决.一、求值例1已知sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0.求cos~2α+cos~2β+cos~2γ的值.分析由条件可知,同一个角的正弦余弦同时出现,故可设A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),C(cosγ,sinγ),则A、B、C是单位圆x~2+y~2=1上的三个点,它们到坐标原点的距离都等于1,所以坐标原点是△ABC的外心,再根据sinα+sinβ+sinγ=cosα+cosβ+cosγ=0     

一道题的巧证

题目已知25cosA 5sinB tanC=0,且sin2B-4cosA·tanC=0, 求证:tanC=25cosA. 分析仔细观察题目,发现它与一元二次方程的联系,即得证法.     

如何求解“给值求角”问题

“给值求角”问题的求解分为两步走 ,缺一不可 :1 )根据题设条件 ,求角的某个三角函数值 ;2 )讨论角的范围 ,必要时 ,还需根据已知三角函数值缩小角的范围 ,从而确定角的大小 .例 1　已知tan(α - β) =12 ,tanβ =- 17,且α ,β∈ ( 0 ,π) ,求 2α - β的值 .分析 :已知条件启发我们应求该角的正切值 ,并用拆角“手段”将角 2α - β分拆成2 (α - β) + β .讨论时应尽可能缩小角的范围 .解　∵tan( 2α- β) =tan[2 (α- β) + β]=tan2 (α- β) +tanβ1 -tan2 (α- β)tanβ.又　∵tan2 (α - β) =2tan(α - β)1 -tan2 (α - β) =4…     

均值不等式求三角函数最值举例

<正>均值不等式是求代数最值的重要方法,而且过程简单,应用广泛,如果把它迁移到三角函数中,还能求三角函数的最值,解这类题不仅满足一正、二定、三相等的要求,还要根据三角函数的特点作技巧性的变形,现举例说明.例1求函数y=4sin²θ+csc2θ+csc²θ的最小值.分析注意到正弦函数sinθ与余割函数cscθ互为倒数,易求y的最小值.解∵y=4sin2θ的最小值.分析注意到正弦函数sinθ与余割函数cscθ互为倒数,易求y的最小值.解∵y=4sin²θ+csc2θ+csc²θ≥2·2sinθ·cscθ=4,∴y_(最小)=4.点评运用不等式求最值应注意放缩的合理性,并判断等号是否可取.对等号不可取     

一道题的再一巧证

题目 已知25cosA+5sinB+tanC=0,且 sin2B-4cosAtanC=0,求证:tanC=25cosA． 《中学生数学》2004年11月上期魏鑫同学 构造方程给出该题的一个巧证,2005年6月上 期张兴元老师构造数列给出该题的又一个巧 证．注意到所证式子中不含B而已知式子中含     

研究三角函数性质的法宝——“三个一”

高一学生分析问题时最缺乏的就是目标意识,有的同学拿到三角函数性质的题目,想半天都没有一个明确的解题方向,其实所有这类问题都是首先将目标三角函数化为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式,即一个角的一种函数名称的一次式的形式,因为课本中三角函数的每一种性质都是由“三个一”型三角函数而展开讨论的,我们只有将目标三角函数化归成这种模型,才能使用课本结论灵活解题·例1求函数y=sin3xsin3cxos+22cxos3xcos3x+sin2x的最小值.分析只需将目标三角函数化简为“三个一”:y=Asin(ωx+φ)+k的形式即可·解法1因为sin3xsin3x+cos3xcos3x=(sin3xsinx)sin2x+(cos3xcosx)cos2x=21[(cos2x-cos4x)]sin2x+21[(cos2x+cos4x)cos2x]=21[cos2x+(cos2x-sin2x)cos4x]=21(cos2x+cos2xcos4x)=21cos2x(1+cos4x)=cos32x,∴y=cos32xcos22x+sin2x=cos2x+sin2x=2sin(2x+4π).当sin(2x+π4)=-1时,y...