椭圆、双曲线另一组离心率公式及其应用

求椭圆、双曲线离心率一般涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点,综合性强方法灵活,解题关键是挖掘题中的隐含条件,可先找出含a,b,c的等式关系,再求离心率.在教学过程中,笔者发现椭圆、双曲线另一组离心率公式给我们解决某一类离心率问题会带来意想不到的"神奇"效果!现用定理的形式叙述并证明.……     

椭圆、双曲线中离心率问题的求解策略

圆锥曲线的离心率是高考考查的重点和热点．对离心率的考查实质上是对圆锥曲线的几何量和几何性质的考查，因此熟练掌握圆锥曲线的相关知识是根本．本文结合相关的题目具体谈谈离心率的考查方式及相应的求解策略，供读者参考．     

椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用

椭圆、双曲线过焦点的弦长问题是解析几何在高考、竞赛中的热点之一,解决这类问题,传统的做法一般是将弦所在的直线方程与椭圆或双曲线方程进行联立,利用焦半径公式或弦长公式｜AB｜＝｜x1-x2｜·√1+k2=｜y1-y2 ｜·√1+1/k2求解,这样求解运算量往往较大,若我们利用椭圆、双曲线过焦点的弦长公式处理此类问题会省时省力,同时也能大大提高解题的准确率.现阐述如下,供同仁参考.     

例谈椭圆双曲线离心率取值范围的求法

求离心率取值范围问题有两种题型,即显示约束条件和隐藏约束条件两种题型.两种解题方向,即以"形"为主的解题的方向和以"数"为主的解题方向.两种求取值范围的方法,即解不等式法和函数值域法.下面举例说明.……     

椭圆双曲线的一组有趣性质

在对椭圆、双曲线的研究中 ,笔者发现一组有趣性质 .为便于结论统一 ,我们先引入一个概念 :定义　在二次曲线方程Ａｘ2 +Ｂｙ2 +Ｃ=0 (其中Ａ、Ｂ、Ｃ是常数且Ａ·Ｂ·Ｃ≠ 0 )中 ,称比值 - ＡＢ 为此二次曲线的斜心率 ,记为Ｋ ,即Ｋ =- ＡＢ.例如圆ｘ2 +ｙ2 =ｒ2 的斜心率Ｋ =- 1 .于是 ,我们有如下有趣性质 .定理 1　椭圆 (或双曲线 )的中心在原点Ｏ ,焦点在坐标轴上 ,其斜心率为Ｋ .点Ｐ为椭圆 (或双曲线 )上任意点 ,Ｐ1 Ｐ2 为椭圆 (或双曲线 )上任意弦 ,设直线ＰＰ1 、ＰＰ2 的斜率分别为ｋ1 、ｋ2 .若弦Ｐ1 Ｐ2 过中心Ｏ ,则ｋ1 ·ｋ2…     

共焦点的椭圆与双曲线离心率范围问题的探究

本文对一道关于共焦点的椭圆与双曲线离心率试题进行分析,发现将一个条件改变后,会得到截然不同的结果,然后通过深入思考探究,揭示问题背后的本质,并对其进行推广,得到若干关于共焦点的椭圆与双曲线离心率范围的结论.     

椭圆、双曲线的“中心半径”公式及应用

在椭圆或双曲线中，我们把椭圆或双曲线上的点与焦点的距离称为焦半径；这里我们把椭圆或双曲线上的点与其中心的距离，称为“中心半径”。     

共焦点的椭圆与双曲线的一组性质及应用

从多角度对共焦点的椭圆和双曲线进行了研究,得到一组性质,并举例说明性质的应用.     

一组角度公式及其应用

定理　若OB与OC确定的平面为α ,OA为平面α的一条斜线 ,且AB⊥α ,若记∠AOB =θ1,∠BOC =θ2 ,∠AOC =θ ,二面角C -OA -B的大小为β ,则图 1　定理证明用图cosθ =cosθ1·cosθ2 (1)cosβ =tanθ1tanθ (2 )sinβ =sinθ2sinθ (3)简析 :要证明 (1) ,只需过B作BD⊥OC于D即可 (如图 1) ;要证明 (2 ) ,(3) ,则过B作BE⊥OB于B ,且使BE∩OC =E ,然后过B作BF⊥OA于F ,再连结EF .可以证明图 2　定理证明用图∠BFE =β(如图 2 ) ,具体证明从略 .例 1　如图 3,球O的截面BCD把球面面积分成1∶3两部分 ,BC是截面圆的直径 ,…     

探求椭圆面积公式的另一种方法

关于椭圆面积公式的探求有多种方法 ,不少的刊物上曾刊登过相关的研究文章 ,本文给出另一种探求方法 .图 1如图 1所示 ,设椭圆方程为 x2a2 + y2b2 =1 (a>b>0 ) ,Ak(xk,yk) (k=1 ,2 ,3,...n)是椭圆上的n个点 ,A1 A2 ...An 是椭圆的内接n边形 ,当n→∞时 ,｜AkAk+1 ｜max =ln → 0 ,则 x2 ka2 + y2 kb2 =1 ,由此得x2 k + abyk2 =a2 ,可见 ,点Bk xk,abyk (k =1 ,2 ,3...n)是圆x2 +y2 =a2 上的n个点 ,且这n个点在圆上的排列顺序与点Ak(k=1 ,2 ,3...n)在椭圆上的排列顺序相同 ,所以 ,B1 B2 ...Bn 是圆x2 +y2 =a2 的内接n边形 .连接OA1 ,OA2…     

椭圆及双曲线平行弦的又一组性质

文[1]给出了双曲线平行弦的两个性质,文[2]将其推广到圆与椭圆,笔者进一步研究,得出了椭圆与双曲线的又一组性质.性质1如图1,若P是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上任意一点(非长轴端点),连结OP,过椭圆的焦点F作直线MN,使MN∥OP,且交椭圆于M,N两     

椭圆、双曲线和抛物线

知识点及重要方法1)两种定义的核心　第一定义 :“距离和”为常量是椭圆 ( 2ａ >|Ｆ1 Ｆ2 |) ;“距离差”的绝对值为常量是双曲线 ( 2ａ <|Ｆ1 Ｆ2 |) .第二定义 :“距离比 (ｅ)”为常量 ,具有统一性 ( 0 <ｅ <1为椭圆 ,ｅ >1为双曲线 ,ｅ =1为抛物线 ) .2 )两个 (或四个 )标准方程的关键 :椭圆中焦点与长轴“同位” ;双曲线中焦点与实轴“同位” ;抛物线中焦点与对称轴“同位” .3)四种常见距离的表示 .如椭圆中①顶点与焦点间的距离 :ａ -ｃ或ａ ｃ,②两准线间的距离 :2ａ2ｃ ,③焦点到相应准线的距离 :ｐ =ａ2ｃ -ｃ =ｂ2ｃ ,④中心到准…     

离心率为2的双曲线的性质

1.问题的提出在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷,其中解答题17题是这样的:如图(图略),设A(-2,0),B(2,0),直线l:x=1,点C在直线l上,动点P在直线BC上,且满足AP·AC=0.(Ⅰ)若点C的纵坐标为1,求P的坐标;(Ⅱ)求点P的轨迹方程.没花多少时间笔者就顺利地求得结果:(Ⅰ)P的坐标为(-4,6);(Ⅱ)点P的轨迹方程为x42-1y22=1.在解题后的反思中笔者发现了一个“问题”:题中条件A(-2,0),B(2,0)恰是P的轨迹的左、右顶点,而直线l:x=1是P的轨迹的右准线,并且P的轨迹的离心率为2,这是巧合还是必然?于是笔者经过研究得到了离心率为…     

离心率为2的双曲线的性质

1．问题的提出 在2007年高三复习中笔者选用了温州市高三适应性测试数学试卷，其中解答题17题是这样的：如图（图略），设A（-2，0），B（2，0），直线l：X=1，点C在直线l上，动点P在直线BC上，且满足→AP·→AC=0．     

椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一组性质

本文借助于椭圆焦点三角形角平分线的方程,通过探究得到了椭圆焦点三角形角平分线的一组性质,并将此性质推广到双曲线中.     

椭圆的一组关联性质及其应用

<正>教学中,我们发现椭圆有下列一组相关联的性质,在解题中应用这些性质,给人以耳目一新之感,现整理出来,以便共同学习与研究.性质1设椭圆的弦AB所在直线交椭圆的一条准线l于点P,设F为与该准线l同侧的焦点,那么FP是∠AFB的外角平分线.证明如图1,设直线l是椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左准线,F是左焦点,AB是椭圆E的     

特殊的椭圆离心率背景种种

学习平面解析几何的读者一定解决过许多与椭圆离心率相关的问题,并熟悉一些相关的特殊值,但也许并未留意过(更少研究过)每个特殊值背后所蕴含的丰富深刻的本质内涵和形形色色的背景特征．作为研究性学习与数学兴趣小组活动的极好素材,本文旨在通过对椭圆离心率的几种特殊值的种种背景研究,揭示其趣味性、广泛性、深刻性,以利于培养学生综合应用与创新思维的能力．     

一公式的另证及应用

大家知道,cosθ—cosθ1cosθ2,俗称三余弦公式,对其详细表述是：     

椭圆双曲线的一个性质及其相关性

椭圆双曲线的一个性质及其相关性廉万朝（陕西三原县陵前中学７１３８０６）本文通过对一道三角问题的探究，旨在揭示椭圆、双曲线的一个性质，共焦点的椭圆与双曲线之间的一种可相互转换的实质．１问题的提出问题（湖北省咸宁地区９５年高三调研题）在△ＡＢＣ中，ＡＣ＋...