与面积有关的反比例函数问题

<正>解决与反比例函数有关问题时,经常要用到反比例函数的面积的不变性,即反比例函数图1y=k x的本质特征,两个变量y与x的乘积是一个常数k,由此不难得到反比例函数的一个重要性质:如图1,过双曲线y=k x(k≠0)上一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形的面积S=PM·PN=|x||y|=|xy|=|k|.下面举例介绍一些与面积有关的反比例函数问题.图2例1如图2,Rt△ABC的直角边BC在x轴正半轴上,斜边AC边上的中线BD反向延长线交y轴负半轴于E,双曲线y=k x(x>0)的图像经过点A,若△BEC的面积为4,则k     

一道中考题的演变与拓展

<正>(2011年乐山)如图1,直线y=6-x交x轴、4y轴于A、B两点,P为反比例函数y=x的图像上位于直线下方的一点,过点P作x轴垂线,垂足为点M,交AB于点E,过点P作y轴的垂线,垂足为点N,交AB于点F,则AF·BE=.     

通向面积之桥——|k|

一、重要结论反比例函数y=k/x(k≠0)中的比例系数k有以下几何意义：如图1,过双曲线上任意一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足分别为M、N,所得矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|     

反比例函数系数K与图形的面积

<正>同学们都知道,反比例函数系数k的几何意义为:如图1,过反比例函数y=k/x(k≠0)图像上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM、PN,垂足为M、N,则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|,三角形PON(或三角形POM)的面积S=|k|/2.那么它能帮助我们解决哪些常见的问题呢.     

与反比例函数有关的面积问题

如图1,过双曲线y=k/x(k≠0)上任意一点P 作x轴、y轴的垂线PA、PB,易证S△POA=S△POB=1/2|y·x|=1/2|k|.这是反比例函数图像的一个重     

用截线段长度的方法解面积问题

<正>在二次函数中,有一类题,可以利用平行于y轴的直线被两函数所截线段长度解决问题.我们来看几个求面积定值的例题,希望对大家有所启发.一、截正比例与反比例函数求面积为定值例1如图:已知直线y=1/2x与双曲线y=k /x(k>0)交于A,B两点,且点A的横坐标为4.     

反比例函数的一个性质及其推广

引子如图1,设P（m,n）是反比例函数y=x^k（k≠0）的图象上任意一点,PE⊥x轴,PF⊥y轴,E、F是垂足,则SPEOF=｜k｜．连结OP,     

巧用基本结论 妙求阴影面积

涉及到反比例函数的图像的面积问题,有一个非常实用的基本结论:如图1,从反比例函数y=k/x(k≠0)的图像上任意一点P(x,y)分别作PA⊥x轴于A、PB⊥y轴于B,连结OP,则S矩形PAOB=OA×OB=|x|×|y|=|xy|=|k|.     

剖析双曲线的一个性质及推论——一道中考题的探源与拓展

1引例例1(山东省2008年中考第22题) (1)探究新知:如图1,已知△ABC与△ABD的面积相等,试判断AB与CD的位置关系,并说明理由(2)结论应用:①如图2,点M,N在反比例函数y=k/x(k>0)的图象上,过点M作ME⊥y轴,过点N作NF⊥x轴,垂足分别为E,F试证明:MN//EF。     

一道抛物线问题的思路突破与教学微设——以2021年常州市中考卷抛物线问题为例

<正>1考题呈现,思路突破1.1考题呈现考题（2021年常州市中考卷第28题）如图1所示,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数y=kx (k≠0）和二次函数■的图象都经过点A(4,3）和B,过点A作OA的垂线交x轴于点C.D是线段AB上的一点（点D与点A,O,B不重合）,E是射线AC上的一点,且AE=OD,连接DE,过点D作x轴的垂线交抛物线于点F,以DE,DF为邻边作平行四边形DEGF.     

反比例函数一个瑰丽性质的简证

文[1]给出了反比例函数一个"极其瑰丽"的几何性质,并提供了三种"妙不可言"的证法.笔者在研读文[1]时,发现了该性质的一种较为简洁的证法,现撰文如下,供读者参考. 性质:任一直线y=ax+b分别与x轴和y轴交于点C、D,与反比例函数y=k/b的图像相交于点A、B. (1)如图1,当A、B两点在反比例函数y =k/b的图像的同一分支上时,AD=BC,AC=BD. (2)如图2,当A、B两点在反比例函数y=k/b的图像的不同分支上时,AD=BC,AC=BD.     

反比例函数比例系数的几何意义及应用

反比例函数比例系数的几何意义:反比例函数图像上的任意一点的横坐标与纵坐标的乘积都等于比例系数k的值,如图1所示．过双曲线上的一点A(m,n)作AB垂直于x轴,垂足为B,AC垂直于y轴,垂足     

例谈反比例函数中的几个不变性问题

反比例函数是最基本的函数之一.通过学习反比例函数可以使学生进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点,深化对函数内涵的理解和掌握.对于每一个具体的反比例函数来说,其中蕴涵的变化与对应的数学思想是具有普遍性的,但它还有自身的独特性质,笔者在教学中发现了一些关于反比例函数的几个不变性问题,本文通过实例谈谈这些不变性问题中体现的数形结合及转化等一些重要的数学思想.1面积的不变性问题图1例1如图1,已知双曲线y=xk(k为常数,k>0,x>0)经过矩形OABC的边AB的中点F,交BC于点E,则E一定是边BC的中点.分析要证明E是边BC的中点,只需要证明S△OCE=41S矩形OABC或者S矩形OMEC=21S矩形OABC即可,为此可以将问题转化为反比例函数中的面积不变性命题来证明.证明设点E的坐标为(x1,y1)(x1>0,y1>0),点F的坐标为(x2,y2)(x2>0,y2>0).则x1.y1=x2.y2=k.过点E、F分别作EM⊥x轴于M,FN⊥y轴于N.则OM=x1=x1,OC==y1=y1,OA=x2=x2,ON=y2=y2.∴S矩形OMEC=OM.OC=x1.y1=k,S矩形OAFN=O...     

品味一道课改实验区中考压轴题

原题:(07安徽第24题)如图1,已知⊙P的圆心在反比例函数y=xk(k>1)图象上,⊙P与x轴相交于A、B两点,且始终与y轴相切于定点C(0,1).(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2)如图2,若二次函数图象的顶点为D,问当k为初何步感值时受,:四边形ADBP为菱形?本题是代数与几何相结合     

正比例函数与反比例函数的思考

上海市初二数学教材第二十一章“正比例函数与反比例函数”共有三个单元:比例及性质;正比例函数与反比例函数;函数在第二单元中,正比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成正比例,函数y=kx为正比例函数”.反比例函数的定义为:“一般地,如果变量x、y满足y=kx(k≠0),那么称变量x、y成反比例,函数y=kx为反比例函数.”本人认为,这样定义存在两点不足:1.它没能反映正比例函数、反比例函数与比例之间的内在联系,甚至让人觉得第一单元和第二单元间并没联系.在第一单元学习了比例,知道比例是形如a∶b=c∶d(bd≠0)的…     

一对姊妹图形助你跳出“题海”——从一道中考试题谈起

<正>图1考题(2013年四川巴中)如图1,一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与反比例函数y=m x(m≠0)的图像交于一、三象限内的A、B两点,直线AB与x轴交于点C,点B的坐标为(-6,n),OA=5,tan∠AOx=43.(1)求反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积.析解(1)∵OA=5,tan∠AOx=43,∴点A(3,4),m=12,∴反比例函数的解析式y=12x.(2)根据y=12x,得交点B(-6,-2),那么△AOB的面积可以通过割补法来计算,有下面三种基本方法:方法1由A(3,4),B(-6,-2),利用待定系数法,得直线AB的解析式:y=23x+2.     

一道反比例函数试题的变式思考

<正>一、试题及解答试题(2016年宁夏)如图1,Rt△OAB的顶点O在坐标原点,点B在x轴上,∠ABO=90°,∠AOB=30°,OB=3^(1/2).反比例函数y=k/x(x>0)的图像经过OA的中点C,交AB于点D.(1)求反比例函数的关系式;(2)连接CD,求四边形CDBO的面积.解析(1)如图1,过点C作CM⊥OB,垂足为M.因为点C是OA的中点,∠ABO=90°,所     

反比例函数图象中的一个基本图形的应用

<正>1基本图形与结论展示如图1,反比例函数■的图象上有两点A,B,过A,B分别作x轴的垂线,垂足分别为C,D,那么S_△AOB=S_梯形ACDB.证明:四边形OABD的面积S=S_△AOC+S_梯形ACDB.从另一角度,四边形OABD的面积S=S_△AOB+S_△BOD,而S_△AOC=S_△BOD,所以S_△AOB=S_梯形ACDB.     

蕴内涵 重能力 促发展——一道中考压轴题的亮点赏析及教学启示

一、试题呈现题目(2014年徐州卷第27题)如图1,将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限,顶点A、B分别落在反比例函数y=k x图像的两支上,且PB⊥x轴于点C,PA⊥y轴于点D,AB分别与x轴、y轴相交于点E、F,已知B(1,3).(1)k=_________;(2)试说明AE=BF;(3)当四边形ABCD的面积为214时,求点P的坐标.二、试题探析纵观近几年徐州市中考试卷不难发现,围绕反比例函数的图像及其性质考查的题目为数不少.如2012年卷第13题"已知交点(1,2),求反比例函数中k的值";压轴     

两道例题的简解

<正>《中学生数学》2013年第4期(初中刊)刊登了文章《中考反比例函数问题两例》,文中介绍了"设辅助未知数"的方法,倒也切实可行.但是笔者研究发现,若不设辅助未知数,借助面积关系解题更加简单.首先明确一个简单的小结论:如图1,点P为反比例函数y=k/x的图像上任意一点,过点P向两坐标轴作垂线,垂足分别为A、B,则