除伪存真推陈出新 优化思维

学生在处理下面一类常见问题时 ,一般有两种解法 .题目　设 f ( x) =ax2 c,且 -4≤ f ( 1)≤-1,-1≤f( 2 )≤ 5 ,求 f( 3 )的取值范围 .　错解　 -4≤ f ( 1)≤ -1-1≤ f ( 2 )≤ 5 -4≤ a c≤ -1-1≤ 4a c≤ 51 0≤ a≤ 3-7≤ c≤ -1　 2 -7≤ 9a c≤ 2 6 -7≤f( 3 )≤ 2 6.解法 1　 f ( 1) =a cf ( 2 ) =4a c a=-13 f( 1) 13 f ( 2 )c=43 f ( 1) -13 f ( 2 ) ,∴　 f ( 3 ) =9a c=9·〔-13 f( 1) 13 f( 2 )〕 43 f( 1) -13 f( 2 )=-53 f( 1) 83 f( 2 ) .∵　 -4≤ f ( 1)≤ -1,-1≤ f ( 2 )≤ 5 ,∴　 -1≤f( 3 )≤ 2 0 .分析 1　函…     

对一道初赛题的解法探究

<正>本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明:2(b-a)≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2(b-a)≤cosπa-cosπb,只要证2b+cosπb≤2a+cosπa.即设f(x)=2x+cosπx,下证f(b)≤f(a);     

活用两个简单结论巧解两类高考试题

数学中有如下两个人人皆知的简单结论: 　　I 设f(n)=a1+a2+…+an, 　　g(n)=b1+b2+…+bn. 　　若ak=bk(k∈N),则f(n)=g(n). 　　若ak≤bk(k∈N),则f(n)≤g(n). 　　Ⅱ 设f(n)=a1a2…an,g(n)=b1b2…bn. 　　若ak=bk(k∈N),则f(n)=g(n), 　　若ak＞0,bk＞0且ak≤bk(k∈N), 　　则f(n)≤g(n). 　　利用这两个简单结论解答高考试题中与自然数n有关的不(恒)等式的证明问题,思路清晰,通俗易懂.……     

用线性方程组解一类函数题——从一道数学竞赛题谈起

一九八三年省、市自治区联合数学竞赛第一试有题;已知函数f(x)=ax~2-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么,f(3)应满足;(A)7≤f(3)≤26;(B)-4≤f(3)≤15;(C)-1≤f(3)≤20;(D)28/3≤f(3)≤35/3答案是(C) (Ⅰ)联想到这样一道题:设f(x)=x~2+ax+b,证明|f(1)|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 (Ⅱ) 我们发现(Ⅰ)、(Ⅱ)是同一类型题,解这类题的关键是如何从f(1)、f(2)、f(3)中消去参系数, 题(Ⅰ)中,由条件可得-4≤c-c≤-1 ①-1≤4a-c<5 ②问题是要求出9a-c。即由     

另解两值联赛题

(一)2010年全国高中数学联赛一试试题(9)已知函数f(x)=ax~2+bx~2+cx+d(a≠0),当0≤x≤1,| f′(x)≤1 |,试求a的最大值.解由于f′(x)=3ax~2+2bx+c当a>0时,表示一条下凹的抛物线,从题设条件,可知0≤x≤1,-1≤f′(x)≤1.从图线中可以得到     

一类带参变量的二次函数最值问题的错误解法探源

一九八三年各省、市、自治区联合数学竞赛中,有这样一道试题: 已知函数f(x)=ax~2-c,满足 -4≤f(1)≤-l,-1≤f(2)≤5。求f(3)的范围。用待定系数法能解答本题: 解∵f(1)=a-c (1) f(2)=4a-c (2) 解(1)与(2)联立之方程组得到 a=1/3(f(2)-f(1)), c=1/3(f(2)-4f(1))、∴ f(3)=9a-a -1/3(8f(2)-3f(1)) ∵-4≤f(1)≤-1, -1≤f(2)≤5。∴5/3≤-5/3f(1)≤20/3, -8/3≤8/3f(2)≤40/3。     

一道函数题引发的思考

<正>我们学过基本不等式后老师出的一道函数题引发了我的思考,下面是我对这道题的一点感悟.题已知:f(x)=ax²+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x2+bx+c的图像过(-1,0)是否存在常数a,b,c使不等式x≤f(x)≤x²+1/2对一切实数x都成立.一般解法假设存在实数a、b、c满足题意.∵f(x)的图像过(-1,0)对一切实数x都成立,     

用线性方程组解一类函数题——从一道数学竞赛题谈起

一九八三年省、市、自治区联合数学竞赛第一试有题: 已知函数f(x)=ax~2-c满足:-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5。那么,f(3)应满足:(A)7≤f(3)≤26;(B) -4≤f(3)≤15;(C) -1≤f(3)≤20;(D) -28/3≤f(3)≤25/3。答案是(C)。 (Ⅰ) 联想到这样一道题:设f(x)=x~2+ax+b,证明|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。 (Ⅱ) 我们发现,(Ⅰ)、(Ⅱ)是同一类型题。解这类题的关键是如何从f(1)、f(2)、f(3)中消去参系数。题(I)中,由条件可得-4≤a-c≤-1 ①-1≤4a-c≤5②问题是要求出9a-c,即由a-c及4a-c重新组合得出9a-c的范围,为此,我们将a-c和4a-c分别乘以m、n,相加     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

一道高考试题的常规解法

2012年高考浙江理科卷第22题:已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax3-2bx-a+b.(Ⅰ)证明:当0≤x≤1时,(ⅰ)函数f(x)的最大值为|2a-b|+a;(ⅱ)f(x)+|2a-b|+a≥0;(Ⅱ)若-1≤f(x)≤1对x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.本题主要考察不等式、导数、单调性、线性规划等知识点及综合运用能力.官方给出的答案中,对(Ⅰ)(ⅱ)的解答中运用了"放缩法",有一定的     

借用向量分解定理巧求f(x0)的范围

已知函数 f ( xi) ( i =1,2 ,3 ,… )的范围 ,求 f( x0 )的范围 .笔者在同行们研究的基础上 ,借用向量分解定理 ,使这类问题的解决更加简单、明了 ,可操作性强 ,便于实施 .例 1　已知一次函数 f( x) ,1≤ f ( 1)≤2 ,3≤ f ( 2 )≤ 4,试确定 f( 5 )的范围 .解　设一次函数为 f( x) =ax + b,则　 f( 1) =a+ b,f( 2 ) =2 a+ b,f( 5 ) =5 a+ b.记　 p1→ =a+ b,p2→ =2 a+ b,p=5 a+ b显然 p1→ ,p2→ 不共线 ,根据向量分解定理p=λ1 p1→ +λ2 p2→ 　 (λ1 ,λ2 为实数 ) ,即　 5 a+ b=λ1 ( a+ b) +λ2 ( 2 a+ b…     

解一道高考题的心路历程

题目(2009年全国卷Ⅰ理22)设函数f(x)=x~3+3bx~2+3cx有两个极值点x_1、x_2,且x_1∈[-1,0],x_2∈[1,2].(Ⅰ)求b、c满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点(b,c)的区域;(Ⅱ)证明:-10≤f(x_2)≤-1/2.命题者提供的标准答案如下:(Ⅰ)f′(x)=3x~2+6bx+3c,由题意知方程     

一道易错解题的两种正确解法

题已知f(x)=ax2-c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围.错解依题意有:-4≤a-c≤-1,①-1≤4a-c≤5.②由①、②加减消元得:0≤a≤3,③1≤c≤7.④由f(3)=9a-c,可知:-7≤f(3)≤26.正解1用方程组的思想求取值范围.因为a-c=f(1),4a-c=f(2),图1所以不等式组表示的可行域为平行四边形ABCD(图1).依题意有f(3)=9a-c.令z=9a-c,作直线l:9a-c=0.把直线l向下平移,过点A(1,0)时,有zmin=9·0-1=-1;把直线l向上平移,过点C(7,3)时,有zmax=9·3-7=20,即-1≤f(3)≤20.解得a=13[f(2)-f(1)],c=-43f(1) 13f(2).所以f(3)=9a-c=83f(2)-53f(1).因为-1≤f(…     

剖析一道高考试题 提高解题教学效果

1题目呈现(2015浙江高考文-20)设函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R). (1)当b=a2/4+1时,求函数f(x)在[-1,1]上的最小值g(a)的表达式; (2)已知函数f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b-2a≤1,求b的取值范围. 对于第(2)问,从题面上看,这是一道以函数和方程为载体、不等式为主线的典型问题,着重考查学生分析问题、解决问题的能力,能够检验学生对二次方程与二次函数之间关系的认知程度,对数形结合思想、转化思想、分类讨论思想的掌握情况.     

反思通解&#183;引出简解&#183;创造巧解

在解题教学中,有些教师总是演示“成功”,教师的解题思路方法一想就正确、巧妙;教师从不展示“失败”,从不展示在解题思路和方法碰壁时怎么办.长此以往,学生的独立解题能力得不到提高,而且对巧解有一种神秘感.其实,许多问题的巧解可以在反思通解的过程中产生,教师若能引导学生对通解进行反思,使学生在反思中看到转变思维的方向、方式、方法和策略,缩小探索范围,尽快获得发现的成功,这不仅使学生感到巧妙思路的得来是顺其自然的,而且在发展学生思维、培养创新能力上无疑是一种很好的体验和进步.题目　二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),是否存在常数a、b、c使不等式x≤f(x)≤12(x2+1)对一切实数x都成立?若存在,求出a、b、c;若不存在,说明理由.学生思考后,容易想到如下的常规解法:解法1　f(x)≤12(x2+1)　即(1-2a)x2-2bx+1-2c≥0,(1)f(x)≥x即ax2+(b-1)x+c≥0.(2)∵　(1)、(2)两式对于一切实数x都成立,而且f(x)的图象经过点(-1,0),∴　a、b、c应满足条件1-2a&gt;0a&gt;04b2-4(1-2a)(1-2c)≤0(b-1)2-4ac≤0a-b...     

不等式解题中的几种致错因素剖析

1、乱用不等式性质,导致错误例1已知f(x)=ax b/x,若-3≤f(1)≤0,3≤f(2)≤6,求f(3)的范围．错解由条件得(?)②×②-①得6≤a≤15③①×②-②得-8/3≤b/3≤-2/3④③-④得(10)/3≤3a b/3≤(43)/3,即(10)/3≤f(3)≤(43)/3．剖析在多次应用不等式性质的时候,若等号不能同时成立时,会使所求范围扩大,因     

三点共线条件在解题中的应用

由解析几何知 ,三点P1(x1,y1) ,P2 (x2 ,y2 ) ,P3(x3,y3)共线的充分必要条件是 :(x3-x1) (y2 - y1) - (x2 -x1) (y3- y1) =0 .这一结论除用于判定或求解有关解析几何的共线问题外 ,也可用于求解一些三角以及代数中的问题 ,其解法具有一定的启发性 ,下面举几例说明 .例 1　已知一次函数 f(x) =ax +b ,且 - 1≤f(- 1) ≤ 2 ,- 2≤f(2 )≤ 3,求 f(3)的取值范围 .解　由已知 f(- 1) =-a +b ,f(2 ) =2a +b ,f(3) =3a +b ,整理即-a - f(- 1) +b =0 ,2a - f(2 ) +b =0 ,3a - f(3) +b =0 ,上式表明点P1(- 1,f(- 1) ) ,P2 (2 ,f(2 ) ) ,P3(3,f(3) …     

考点3 映射与函数

1.(湖南卷,2)函数f(x)=1-2x的定义域是().(A)(-∞,0](B)[0,+∞)(C)(-∞,0)(D)(-∞,+∞)2.(浙江卷,3)设f(x)=x-1-2,11+x2,x≤1,x>1,则f[f(21)]=().(A)21(B)143(C)-59(D)42153.(山东卷,6)函数f(x)=sin(πx2),ex-1,x-≥1<0.x<0,若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为().(A)1(B)-22(C)1,-22(D)1,224.(广东卷,11)函数f(x)=11-ex的定义域是.5.(江苏卷,15)函数y=log0.5(4x2-3x)的定义域为.6.(江苏卷,17)已知a、b为常数,若f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则5a-b=.考点3映射与函数1.由1-2x≥0,得x≤0,选(A).2.∵f(12)=-23,∴f[f(21)]=f(-23)=143,故…     

分数(g,f,m)-消去图的不相邻顶点领域并条件（英文）

一个图称为分数(g,f,m)-消去图若删除任意m条边后的剩余子图依然存在分数(g,f)-因子.本文证明若图G的阶为n,1≤a≤g(x)≤f(x)-Δ≤b-Δ对任意顶点x∈V(G)成立,δ(G)≥(b-Δ)(b+1)/a+2m,n≥(a+b)(2(a+b)+2m-1)/(a+Δ),且|N_G(x_1)∪N_G(x_2)|≥(b-Δ)n/(a+b),对任意不相邻顶点x_1和x_2都成立,则G是分数(g,f,m)-消去图.这个领域并条件在一定程度上是最好的.     

学贵有疑--质疑、反思

文[1]“巧解”摘录:题已知二次函数f(x)=ax2 bx c(a,b,c∈R)的图像经过点(-1,0),且x≤f(x)≤12(x2 1)对一切实数x都成立,求f(x).原解设A(x),B(f(x)),C(x2 12)为数轴上的3点,则ABBC=λ.由于当x∈R时,总有x≤f(x)≤12(x2 1)恒成立,∴λ≥0.由定比分点公式得f(x)=x λ(x2 12)1 λ.