从微积分的发展看微积分的教学(续一)

积分学的历史比较微分学早得多,古希腊时代的穷竭法(还有中国的割圆术和祖（日桓）原理)都是早期的积分学。关于积分的理解,同样也因什么是无穷小,什么是不可分量而遇到困扰。即令我们把这些问题暂时放在一边,古代的穷竭法也只能用于一些最简单的曲线所成图形的面积。例如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到了不定积分     

从微积分的发展看微积分的教学

本文中我们想回顾一下微积分的发展 ,但本文不是一篇数学史的论文。尽管它涉及一些历史事实 ,但有不少事实并未经过专门的考证。而且一些重要的历史事实与历史人物全未涉及。我们希望说明的只是一点 :数学发展归根结底是为了探索大自然规律。为了实现这个目的 ,数学不可能只是某些经验事实的积累 ,也不可能仅仅依靠哲学的思辨。在人类文化的各个分支中 ,数学成了可能是唯一的依靠逻辑规则建立自己的分支。这是它对人类的发展的伟大的 ,不可代替的贡献。如果这个论点是站得往脚的 ,则它的教学过程也应该充分考虑到这一点。但是本文是关于数学…     

微积分严格化之后(续二)

一、复数域上的微积分Frobenius定理说 :实数域上所有有限维结合可除代数 ( Division Algebra)只有三个 ,即 :实数域 ,复数域 ,四元数 ( Quaternion)代数 ,如果去掉结合性要求 ,则实数域上还有另一个可除代数 Cay-ley-Dickson代数 ,即 Octonion代数。在实数域上的维数为 8。由于四元数代数不可交换 ,Cayley-Dickson代数既不可交换又不结合。而复数域既可交换又可结合 ,且复数早已为人们所熟悉 ,于是人们在考虑原有微积分 ,即实数域上的微积分之后 ,理所当然地考虑复数域上的微积分 ,这就形成了复分析。复分析既然是复数域上的微积分 ,那…     

从微积分的发展看微积分的教学（续三）

我们可能有一些不适宜的习惯。其一是：例如，在讲到积分学的应用时，总是用很大的精力讲面积体积等等。其实这些问题都属于前牛顿时期的微积分，是科学上老早解决了的问题。作为引入积分概念的例子还可以，此外很难说有什么作用。对于工科学生，也很难设想哪一门后续课     

微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考(续)

三、微积分教育形态的表现形式在微积分教学中,人们面对的是教科书中书写的学术形态,比较形式化的表达.那么如何用各种手段使它呈现为人们易于接受的教育形态呢?以下是一些具体的建议.1·平易近人重视人的原始观念切线,瞬时速度,都是人们具有的原始观念.我们应该把它作为微积分的出发点,而不是导数的几何解释和力学解释.切线,人人都懂.于是,我们可以启发学生用切线的斜率变化来研究函数y=x的性质,这和中学里采用的方法完全不同,立即能使得学生关注微积分的奥妙.瞬时速度,其实也是人们的原始概念.当后面的快车赶上慢车的那一刹那,快车的速度…     

从中西方哲学传统看微积分的创立

本从古代中西方哲学传统出发，分析了中西方方法论以及数学方法论的差异，在此基础上进步分析了微积分在西方而不是在中国创立的哲学原因。     

与中学老师谈微积分（3）——从3个经典例子看微积分的基本问题

2 从3个经典例子看微积分的基本问题 2．1 平均速度和瞬时速度例2．1用S=S（t）表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程，V=V（t）表示它在时刻t的瞬时速度，则它在时间区间[u，v]上的平均速度的大小，应当在[u，v]上的某两个时刻的瞬时速度之间．     

微积分教学:从冰冷的美丽到火热的思考

数学成果通常具有三种不同的形态.第一,数学家构建数学思想、发现数学定理时的原始形态.其次是公开发表,写在论文里、教科书里的学术形态.最后,则是数学教师在课堂上向学生讲课的教育形态.国际数学教育委员会前主席、数学家H·弗赖登塔尔H.Freudenthal(1908-1990)有一句名言:“没有一种数学思想,以它被发现时的那个样子发表出来.一个问题被解决以后,相应地发展成一种形式化的技巧,结果使得火热的思考变成了冰冷的美丽.”(Freudenthal,Hans.1983.D idacticalPhenomenology ofMathematical Structures.Dordrecht:Reidel.P.9)事实上,教科…     

从积分概念的发展看数学分析基本概念的发展（待续）

全文分四部分概述了积分概念的发展历史,此为第一部分,介绍古希腊到牛顿-莱布尼兹积分学概念的生成.主要有穷竭法和不可分量的出现,牛顿和莱布尼兹的贡献,以及贝克莱关于微积分学基础的批判.     

初等函数Taylor级数的向量形式(英文)

推广了初等函数 Taylor级数的向量形式的一些结果 ,所考虑的初等函数 Taylor级数的向量形式涉及了三个复向量 .给出了在二阶常微分方程初值问题中的一个应用 .     

数学大师的风采——记陈省身先生讲授《微积分及其应用》(续一)

( )外微分上面讲了这么样一种关系 ,甚至这关系还更要好 ,我们讲高等微积分的时候 ,一个重要的定理是格林定理 ( Green' s Theorem)。就是说 ,假使你有个区域 ,在边界上的微分是可以变为区域上的微分 ,是一个一重积分和二重积分的关系 ,这是个非常重要的关系。比方龚 升曰 教授有一本小书 ,讲到这个关系 ,他认为这是整个微积分的基本定理 ,我是同意的。这样的关系现在通常写格林定理的时候 ,往往是写成有积分 ,∫γAdx +Bdy =( Bx-Ay) dxdy. ( 1 .9)如果有一个问题 ,有时候你可以只管 Integral,不要管其它 ,那么 Integral就是把…     

数学史与数学教育(HPM)的一个案例——刘徽的“割圆术”与微积分

刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特认识和致用的处理方式.很多高等数学教科书在讲述极限概念时大都提及,但所述,并未体现刘徽本意.刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准则”和不可分量可积的预设.通过这些相关知识的历史考察,试图以HPM的方法来辅助解决极限概念教学的难题.     

从积分概念的发展看数学分析基本概念的发展(续完)

全文分四部分概述了积分概念的发展历史,此为第四部分,主要介绍讲述积分概念在黎曼以后的发展,简单说明勒贝格积分出现的背景及其意义,并在一个附录里仔细介绍伏尔特拉的例子。     

从初中“圆”的教学看极限思想的渗透

乍一看,笔者的"文题"似有不合时宜之嫌.首先,初中数学新课程标准降低了对"圆"这部分内容的学习要求,特别是"圆的相关定理的证明与运用",大多移至高中教材4-1(几何证明选讲);其次,在高中数学的新课程标准中,"极限"的概念也大大削弱,前几年"不讲‘极限’是否能学微积分"的争论,至今犹在耳畔.在这样的背景下,是什么原因,促使笔者下决心将"初中圆的教学中渗透极限思想"的教学理念进行到底?     

从积分概念的发展看数学分析基本概念的发展(续2)

全文分四部分概述了积分概念的发展历史,此为第三部分,主要介绍黎曼积分.从傅里叶的影响开始,详细讨论关于函数概念大争论的情况,特别是狄利克雷对于傅里叶定理的证明,及其对于黎曼积分的影响.介绍黎曼是怎样区别于柯西的.也详细介绍魏尔斯特拉斯所领导的分析的算术化对于整个数学的发展的影响.     

宏观经济均衡发展的数学理论(Ⅱ)

研究了X(t)=AX(t 1) B[X(t 1)-X(t)] S(t)得到了此投入产出模型的稳定解。     

宏观经济均衡发展的数学理论(Ⅰ)

研究了投入产出模型X(t)=AX(t 1) E[X(t 1)-X((t)]得到了可运行集及稳定解。