二次方程的求解

大约公元前1900年,巴比伦汉莫拉比时代的数学泥板载有形似二次方程的求解问题,比如,"已知两个数之和与两个数之积,求此两数."     

漫谈二次方程

二次方程是中学数学的重要内容之一.它是指未知数最高次数是2的代数方程.在历史上,它曾是代数学的中心问题之一,对它的研究是人们扩张数域的动力因素之一. 早在公元前2000年左右的古埃及纸草书(卡呼恩(Kahun)纸草书,现藏于柏林)中就有相当于解二次方程组x2 y2=100 y=3/4x的问题.在两河流域巴比伦的泥板     

圓錐曲线

本文共分六节,概述圓錐曲縷綜合讲法及代数讲法的要点,并闡明三个定义的等价性。一般书中常見的証明及推导概行略去。最后述及它們的一些应用及共发展略史。 51.直圆錐面的平截綫 設有两条相交直綫。如果固定其中一条并交点,而使另一条在空間围繞这条定綫旋轉,則所产生的曲面叫做直圓錐面。該定点和定綫分別叫做它的頂和轉。当动綫固定在某一位置时叫做它的元綫。由于頂把每条元綫分成两条半綫,故錐面也被頂分成两部分,其中每一部分都叫做半錐面。每一个半錐面上任意半元綫与軸所成的角永远相等叫做半頂角。     

圓的周長

在一般高中平面几何課本里,規定圓的周長时,往往从一个固定的正多边形开始,繼續倍增这个正多边形的边数,便得到一系列正多边形,然后証明这一系列正多边形的周長有一个極限,那末就規定这样所得到的極限为圓的周長。就拿今年各高級中学所採用的課本来說,开始取的是正六边形,繼續倍增它的边数,便得     

二元二次方程的分解

我们知道,二元二次方程 A~x(~2) Bxy Cy~2 Dx Ey F=0 (1) 在平面直角坐标系下一般表示一条园锥曲线,其主要类型是椭园、双曲线和抛物线(当方程不可约即不可分解时)和几种退化情况(当方程可约,即可分解时)。在一般解析几何教程     

二次方程的整数解

<正>在各类数学竞赛中,二次方程的整数解问题一直是个热点,它将古老的整数理论与传统的二次方程知识相结合,涉及面广,解法灵活,综合性强,备受关注.一、利用解的有理表达式和整除性去解题例1(全国初中数学竞赛题)若关于x的方程(6-k)(9-k)x²-(117-15k)x+54=0的解都是整数,则符合条件的整数的值有多少个?简析利用十字相乘法将方程的左边分解因式,得出x的有理表达式.     

二元二次方程组

初中二年级代数讲授二元二次方程组,是为了求应用题的解,及为学习解析几何时求二次曲线交点等作准备。由于初二学生年龄较小,课本只介绍了一些简单的二元二次方程组的解法。现就课本的内容,谈一些点滴体会:     

二次方程解法概述

在代数課本中,二次方程一般被认为是簡单熟悉的問題,但是不少教师为了在这一問題上扩大学生的知識范围和培养学生的解題技巧,正在不断的研究和改进着自己的教学方法。本文企图指出在初等数学的教学中进行此一工作仍有着广闊的余地,从而为教师或学生进一步独立钻研打下基础。哈恰多里(巴庫)写道,数年来他坚持在八年級的一节課上进行了利用韦达定理口答带有有理根的完全二次方程的练习。为此目的,他証明了二次方程枳的一个簡单性貭。已知方程 ax~2+bx+c=0, 証明方程 y~2+bx+ac=0的根等于已知方程根的a倍。为了証明此性质,我們应用公式解每一方程     

等分圓周法

分圓周為n等分,或與此有聯繫的關於作正多角形的問題,在學校裏的教科書中,構成了平面幾何作圖問題的一部份。教師教給學生的,是利用圓規和直尺,把圓周分為3、4、6等份的方法;有時還講把圓周分成10或5等份的方法,並把能否等分圓周的高斯檢驗法,介紹給學生。當準確的作圖不能做到時,教師們便介紹一種近似的利用量角器分圓周的方法,墨守着教科書的成法,他們常常僅作到這一步為止。利用幾何的方法是可以準確地分圓周為3、5、6、15、17、及257等份的,然而這裏並沒有一個統一的方法;分圓周為15等份的方法是這樣,而分圓周為5或6等份的方法又是那樣,所有的方法都得記住,這對學生有何益處呢? 正由於這樣,從學校裏畢業的人,幾乎在任何時候,誰也不用把圓周分為5、10、17等份的幾何方法,他們往往純粹只利用量角器來分圓周     

关于分圓问题

一.問题的提出和轉化1.問題的提出。用圓規和直尺来等分一个圓周(或者作一个正多边形)在初等几何学里是一个很平常的問題;可是为了完全地解决这个問題,却不是單憑初等几何学的知識所能做到的,这需要有比較高深的工具。我們在这篇文章里是想尽量地利用比較初等的工具来解     

关于二次方程的实根问题

题目若口,刀是二次方程 ,.岑2一尹左主+k+6=o的两个实数根,试求(a一l)“十(月一!)2的最小位。 错解一山韦达定理可得a+刀J一,刀二k+6(。二z),十<刀一I),二。“+刀“一2。一2刀件:二(a+刀)“一:(。‘尸)一:a刀+2二‘左乞一6k一10 3、。=4L闷一一f)‘一 峙芋》一留(。一1),+(夕一,),的最小值为一华. , 错处钮)么》o 错因答案一琴是错的的,闪为(。一,),、、,:- 仔解法中只考虑了韦达定理,忽略了几认方程有实根的条件,即灸程的系数多欲人的取值范围要受根的判别式全》。介愁阳制.改错①②③先得条件组a+刀=2左a·刀,k+6211 \(一二·“)2升4(左…     

完全二次方程的几何討論

§1.前言 現行高中代数第一册“根据判別式和系数討論完全二次方程”一节里,对于簡化完全二次方程x~2 2px q=0可用分析方法討論得出下列結果。 (Ⅰ)当Δ=p~2-q<0时,沒有实数根。 (Ⅱ)当Δ=p~2-q=0时,有两个相等的实数根。 (Ⅲ)当Δ=p~2-q<0时,有两个不等的实数根。 (ⅰ)如q>0,两根同号。当p>0,两根都是負数; p<0,两根都是正数。 (ⅱ)如q<0,两根异号。当p>0,負数根的絕对值大; p<0,正数根的絕对值大。在这以前,学生学习了韦达定理,在这以后学生又     

求圓面积及圓柱的全面积两公式的直观教法

这兩段教材,是初中算术課本(人民教育出瓶社1957年版第265及267頁)習題三十里的兩个作業。在初中算术范圍內,这兩段教材就知識分量方面来說,不能算重,而且是容易懂的。但是,由于学生接触的公式不多,不習慣利用公式計算題目;並且学生每每把一个整个公式里的各个因素,不顧它們的来源,而勉强分开来孤立地去理解它;所以,常会發生一些有趣的問題。     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时，二次方程根的判别式有着十分重要的作用．根据判别式△的符号，我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数，进而可以判定直线和二次曲线的位置关系．有些同学便将这种方法迁移到求圆锥曲线和圆锥曲线的交点，并试图运用它来判定曲线之间的一些特殊关系．下面是一位同学给出的一道习题的解答．     

探究二次方程的几何解释

§Ⅰ.大家知道,二次方程x~2 px q=0 (1)的每一对系数(p,q)对应它的一对根(x_1,x_2).如果它的兩个根同是实根,並且我們約定x_1≤x_2. 方程(1)的每一对参数(系数),我們看作它是具有p,q軸的平面M上的一点(图1).     

二次方程求根公式的历史

解二次方程是初等数学中的一个很普通的問題,而且人們会很熟练地运用求根公式 x=(-b±(b~2-4ac)~(1/2)/2a来求一般二次方程ax~2 bx c=0的根。在現行的初中代数教本中,也有这个公式。但是,这个公式是怎样得到的呢?考查一下它的历史发展,这在教学或学习上或許多少是有所裨益的。二次方程的出現,有很久的历史。最早的記录,大約在公元前两千年左右的巴比伦文献中。例如我們在古巴比伦罕莫拉比王朝时代的文献上看到一个相当于解两个不定方程才能解决的問題。这两个不定方程用現在的符号表示,就是     

构造二次方程证明不等式

利用一元二次方程根的分布的充要条件，可以证明一类不等式．例１已知ａ＞１３，ｂ＞１３，ａｂ＝２９．求证：ａ＋ｂ＜１．证明设ａ＋ｂ＝ｔ，∵ａｂ＝２９．∴ａ，ｂ为一元二次方程ｘ２－ｔｘ＋２９＝０的二根，由于ａ＞１３，ｂ＞１３，记ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｔｘ＋２９，...     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时,二次方程根的判别式有着十分重要的作用.根据判别式△的符号,我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数,进而可以判定直线和二次曲线的位置     

解二次方程图尺

当高中学生学到二次方程时,必然会学到二次方程的圖象解法.但是同学們对这一方法並不感到多大兴趣,只認为是解二次方程的一种方法而已,沒有什么实用价值;实际上則不然,有些高次方程和方程组用圖象解法往往比計算方法簡便。为了培养同学們对圖象解法的兴趣,以便給以后学習高等数学打下基础,老师在教学时,可組織学生制作“解二次方程圖尺”或把它当作教具,也可以供課外活动小組参考。它是把圖象解法变成实用的計算尺,     

二元二次方程组的教学

教学改革运动开展以来,我們在教学上采取了一系列措施。首先,在备课时充分研究如何精雕細刻地进行教学,如何在进行新課的教学中巩固和提高旧知識。現在仅就“二元二次方程组”这一单元教学的初步經驗做些介紹。 (一)加强概念的理解对于二元二次方程的一般形式 ax~2 bxy cy~2 dx ey f=0,其中bxy是二次項,这个“二次”的概念,多数同学是模糊的,以为x~2,y~2才是二次,而xy只是一次。我从直观着手,联系几何,說明一次项是“綫”二次项是“面”,x~2及y~2都是正方形,是“面”;但xy是长方形,也是“面”,因此学生对“二次”的概念就清楚了。学生对于一个二元二次方程可以有“无数組解”的意义不太明白,教师可联系二元一次方陧,从列表、作图来說明无数組解的情况,根据学生接受情况还可以介紹“不定方程”这个名词。