Heilbron型问题又一猜测的证明及其量化

Ｈｅｉｌｂｒｏｎ型问题又一猜测的证明及其量化朱玉扬（安徽省肥西师范学校２３１２００）吴报强先生于数学通报１９９１年第５期发表《关于Ｈｅｉｌｂｒｏｎ型问题的一个猜测》一文（后称文［１］）解决了很多人曾考虑过的著名猜想：最后为估计ｉｎｆ的值提出三个重要猜...     

关于Heilbron型问题的一个猜测的纠正和证明

Heilbron型问题是组合几何中较为困难的问题,其中一个是: 平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比记为λ_n,求λ_n的     

关于Heilbron型问题的一个猜测

在数学竞赛中曾多次出现如下的Heilbron型问题:“设平面上任给n个点,每两点之间有一个距离,最大距离与最小距离的比记为又λ_n,求λ_n的最小值(下确界)”。人们已经知道λ_4≥2~(1/2),λ_5≥2sin3π╱10,λ_8≥3~(1/2)。当n≥7时,目前还没有任何结果,只是猜测λ_n≥2sin(n-2)╱(2n)π(见[1])。本文将给出这     

关于Heilbron型问题一个猜测的否定

关于Ｈｅｉｌｂｒｏｎ型问题一个猜测的否定朱玉扬，李友根（安徽肥西师范２３１２００）（安徽肥西中学２３１２００）平面上ｎ个点之间距离的最大者与最小者之比值记为λｎ，求ｉｎｆλｎ即为著名的Ｈｅｉｌｂｒｏｎ型问题．这是组合几何中一个很困难的问题．当ｎ＝４，...     

证明三点共线问题的若干种思路

本文通过一道题目介绍证明三点共线问题的12种思路 ,掌握这些思路可加深我们对一些概念、公式、定理的理解 .题目　证明 :三点Ａ(1,3) ,Ｂ(5 ,7) ,Ｃ(10 ,12 )在同一条直线上 .思路 1　利用平面内两点间的距离公式 .证法 1:∵ |ＡＢ|=(5 - 1) 2 (7- 3) 2 =4 2 ,|ＢＣ |=(10 - 5 ) 2 (12 - 7) 2 =5 2 ,|ＡＣ|=(10 - 1) 2 (12 - 3) 2 =92 ,∵ |ＡＢ| |ＢＣ|=|ＡＣ|,∴Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点在同一条直线上 .思路 2　利用定比分点坐标公式 .证法 2 :设Ｂ′(5 ,ｙ)是有向线段ＡＣ的定比分点 ,点Ｂ分ＡＣ所成的比为λ ,则　　5 =1 10λ1 λ ,ｙ =3 12…     

关于“Heilbron”型问题一个猜测的否定以及进一步的问题

关于“Ｈｅｉｌｂｒｏｎ”型问题一个猜测的否定以及进一步的问题熊斌，田廷彦（华东师大数学系）（上海科技出版社）对于平面上一个由ｎ个点组成的点集，其中任两点都有一个距离，记这些距离中的最大者和最小者之比为人，求人的最小值ｉｎｆ．这就是一个＂Ｈｅｉｌｂｒｏ...     

On the Problem of Heilbron Type

ＯｎｔｈｅＰｒｏｂｌｅｍｏｆＨｅｉｌｂｒｏｎＴｙｐｅ￥ＴｉａｎＺｈｅｎｇｐｉｎｇ（田正平）（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＲｏｙａｌＨｏｌｌｏｗａｙａｎｄＢｅｄｆｏｒｄＮｅｗＣｏｌｅｇｅ，ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＬｏｎｄｏｎ，Ｅｇｈ...     

凸n边形内Fermat点问题的初等证明

本文中,凸n边形内Fermat点是指形内到此n边形各顶点距离之和为最小的点。之所以这样相称的原因是因为法国数学家Fermat最先研究了这个问题,不过他只研究了三角形的情形。即指出了:在各顶角均小于120°的三角形中存在着唯一的到各顶点距离之和为最小的点,这一点就是形内对此三角形各边张角均为120°的点。对一般的凸n边形,有相应的命题: 如果一凸n边形内存在一点满足性质:此点至这n边形的各顶点所引的单位矢量之和为0,则这一点是此n边形内唯一的Fermat点。上述结论可以用数学分析的方法加以证明,即借助多元函数的极值理论。但是,似乎还一直未出现过这个一般性问题的初等证明,本文则将对此给出一个简明的初等几何证明。为了利于叙述和证明,这里用另一方式叙述上命题的条件,这要用到关于复数的一些简单知识。先给     

用极坐标两点间距离公式证明定值问题

高中数学新课程标准又把《坐标系与参数方程》列入了选修系列4，使得极坐标这一传统教学内容又回到了高中数学之中，为说明极坐标在解题中的应用，本文现应用极坐标系中P1（ρ1，θ1）和P2（ρ2，θ2）两点间的距离公式：     

证明三点共线的方法

高中数学新教材 (数学 )第一册 (下 )第111页有一例题 5 :已知A( -1,-1) ,B ( 1,3 ) ,C( 2 ,5 ) ,求证 :A ,B ,C三点共线 .这是一道证明三点共线的典型例题 ,笔者经过这一章的系统学习后发现 ,此类问题至少存在如下四种典型的证法 .证明方法 1:∵AB =( 2 ,4) ,AC =( 3 ,6) ,∴AC =3 ( 1,2 ) ,AB =2 ( 1,2 ) ,从而AB=23 AC ,故AB∥AC .而直线AB ,AC有公共点A ,∴A ,B ,C三点共线 .注　此种证法的关键是寻找实数λ ,使AB =λAC .方法 2 :∵AB =( 2 ,4) ,AC =( 3 ,6) ,而2× 6-4× 3 =0 ,∴AB∥AC ,而AB与AC有公共点 ,∴A ,…     

构造点的坐标证明不等式

有些不等式的证明 ,若采用常规方法 ,往往不易下手或比较冗繁 ,但若从数形结合思想考虑 ,充分挖掘出不等式的几何背景 ,通过构造点的坐标 ,建立起不等式的几何模型 ,利用几何图形的不等性质 ,可使不等式较易得到证明 .一、构造点的坐标 ,利用点线距最短证明图 1不等式例 1　已知ａ≥0 ,ｂ≥ 0 ,且ａ +ｂ =1,求证 :(ａ + 2 ) 2 + (ｂ +2 ) 2 ≥2 52 .证明　设Ａ(-2 ,-2 ) ,Ｐ(ａ ,ｂ) ,则点Ｐ在线段ｘ +ｙ =1(0≤ｘ≤ 1)上 ,点Ａ到直线ｘ + ｙ =1的距离ｄ =| -2 -2 -1|2 =52 .如图 1,∵　 |ＡＰ|≥ｄ ,即　 (ａ + 2 ) 2 + (ｂ + 2 ) 2 ≥ 52 …     

巧用三点共线证明三线共点

<正>在平面几何中,证明某一类型命题时,如果能捕捉到相关类型命题的有关信息,那么我们就能另辟蹊径.例如在证明三线共点这类命题时,其中一种方法就是利用三点共线去证请看下面几例.例1证明三角形的三条中线共点.已知:AD、BE、CF为△ABC的三条中线.     

角格点一些猜想的统一证明

文 [1 ]给出了文 [2 ]中一些猜想的证明 .在此 ,笔者运用角元形式的塞瓦定理再给出这些猜想统一简捷的证明 .角元形式的塞瓦定理　设 A′,B′,C′分别是△ ABC的三边 BC,CA,AB上的点 ,则三直线 AA′,BB′,CC′共点的充要条件是sin∠ BAA′sin∠ A′AC.sin∠ CBB′sin∠ B′BA.sin∠ ACC′sin∠ C′CB=1 .事实上 ,如图 1 ,由BA′A′C=S△ ABA′S△ AA′C =AB . sin∠ BAA′AC . sin∠ A′AC,CB′B′A=BC . sin∠ CBB′AB . sin∠ B′BA,AC′C′B=AC . sin∠ ACC′BC . sin∠ C′CB.图 1三式相乘 ,再运用…     

关于角格点一些猜想的证明

文 [1 ]提出了 4 5个猜想 ,但笔者没有看出其规律 ,因而不能知道被省略的猜想 ,本文将证明文 [1 ]列出的全部猜想 .首先约定 ,本文中的 A,B,C,β,γ分别表示图 1中△ ABC的三个内角及∠ PBC,∠ PCB的度数 .定理 1　在图 1中 ,cot∠ PAB =sin Csin (β γ)sin ( B C) sinγsin ( B -β)- cot( B -β) .证明　在△ ABC,△ PBC中 ,分别运用正弦定理 ,得BCsin ( B C) =ABsin C,BCsin (β γ) =PBsinγ,所以　 AB =BCsin Csin ( B C) ,图 1　 PB =BCsinγsin (β γ) .在△ PAB中 ,再运用正弦定理 ,得ABsin(∠ PA…     

施泰纳问题的几何证明

施泰纳(Sterner.J)问题可表述为:抛物线外切三角形的垂心在抛物线的准线上.本文揭示这个定理的深刻的几何背景,我     

Steinhaus问题及其证明

本文利用Pythagoras数组的性质,导出了与此问题等价的相关量的表述,证明了可以按某种方式把平面上的点划分为不相交的四类点集,而在每一类点集中都不存在整距点.     

构造函数证明平面几何问题

众所周知,单调函数的一个最基本性质:若f(z)是区间I上的单调函数X1,X2∈I,且f(x1)=f(x2),则x1=x2.下面我们利用这个性质来证明<数学通报>2007年8期数学问题第1687题,进而再证明著名的施泰纳-莱默斯定理.     

直角三角形整距点一个猜想的证明

文[1]提出猜想:设a,b,c∈N,且a与b互素,a2 b2=c2,则当n≥ab(除去a=3,b=4的情形)时,由直线ax by=n与x轴,y轴的正向围成的直角三角形内存在整距点,本文将证明这个猜想.     

关于跳点格式收敛性证明的注记

众所周知,跳点格式以其计算稳定、程序简单、计算量和存贮量小而著称.在跳点格式的提出及推广应用过程中,A.R.Gourlay做了不少工作,但其所作的跳点格式收敛性的证明,却存在值得讨论的问题,现提出纠正. 为叙述清楚起见,现将[1]内某些结论转述如下(其中记号与定理编号同[1]):