談一題多解

本文試图对一个习題多种解法的問題,作比較系統的分析,供研究这一問题的老师們参考。一、一个习題为什么存在多种解法? 解答数学习題的方法是根据題里的式子或几何图形間的联系而得出的。由于有些习題里的式子或几何图形間的联系是多种多样的,这就决定了一个习題可以有多种解法。例如用图象解方程 x~2-2x-2=0.在这个习題里,方程x~2-2x-2=0与函数y=x~2-2x-2有联系,与函数y=x~2,y=2x-2也有联系。根据这两种联系,就可以得出两种不同的解法: (1)方程x~2-2x-2=0的根是使y=x~2-2x-2函数值为零的自变量x的值。根据这种联系,可得如图1的解法。 (2)方程x~2-2x-2=0的根,是使两个函数y_1=x~2和y_1=2x 2的值相等时自变量x的值。根据这个联系,可得如图2的解法。     

我也把这个问题搞清楚了

原题函数y=x~3-3x~2+6x-7的图象是中心对称图形,其对称中心的坐标为____.分析配立方得,y=(x-1)~3+3(x-1)- 3,原函数图象是由奇函数y=x~3+3x的图象按向量(1,-3)平移而来.奇函数图象为中心对称图形,对称中心为坐标原点,所以原函数图象为中心对称图形,对称中心为(1,-3).     

中学数学里的求函数极值問題

在中学里研究函数极值問題,散見于二次函数与不等式各单元的习題中。課本内因缺乏明确的要求,学生在学习时往往不能深入地理解,因而感到困难。所以教师在不加深課本原有的深度下,通过复习,使学生能够較完整的掌握这部分知識,还是必要的。現就这方面試作較为綜合系統的說明,以供参考。一、求二次函数的极值問題。在高一代数“二次函数”这一单元里,学生就初次遇到求二次函数的极大值与极小值問題,此时教师在讲了二次函数y=ax~2++bx+c的图象后,可以指出,从y=ax~2+bx+c图象里,我們很清楚地看到:在(1)a>0的时候,函数图象的拋物綫口向上,它的纵坐标由递減轉为递增,这个頂点的纵坐标相当于极小值。(2)a<0的时候,拋     

幂函数教学中如何使认识深化

现行课本《幂函数》这个内容,是安排在学习了函数定义后,首先讲授的一类函数,它是从初中已经学过的函数y=x,y=x~2及y=x~(-1)入手,引出幂函数y=x~(?)(这里只讨论α是有理常数的情况)。然后给出了函数y=x~3,y=x~(1╱3),y=x~(1╱2),y=x~(-2),y=x~(-(1╱2))的定义域。对于α>0时,在同一坐标系内画出了函数y=x,y=x~2,y=x~3,y=x~(1╱2),y=x~(1╱3)的图象:对于α<0时,在同一坐标系内画出了函     

两数和的完全平方及其应用

早在初中代数课上,同学们就已经知道了两数和的平方公式: (x+y)~2=x~2+2xy+y~2。(1)这一公式的应用是极其广泛的。在这里,我们准备介绍它的部分应用。 (一)推証公式問題 乘法公式 (x+y)~2=x~2+2xy+y~2, (x-y)~2=x~2-2xy+y~2, (x+y)(x-y)=x~2-y~2, (x+y)~3=x~3+3x~2y+3xy~2+y~3, (x-y)~3=x~3-3x~2y+3xy~2-y~3, (x-y)(x~2+xy+y~2)=x~3-y~3, (x+y)(x~2-xy+y~2)=x~3+y~3等都可运用公式(1)来推导。例1.1.求証:(x+y)(x-y)=x~2-y~2。 証.令     

一类问题的纠错为什么这么难——关于函数f(x)=log_2g(x)的值域为R的教学

问题已知函数f(x)=log_2(x~2+kx+2) (x∈R)的值域为R,求实数k的取值范围。错解要使函数f(x)的值域为R,只需g(x)= x~2+kx+2>0对一切x∈R恒成立,所以有△=k~2-8<0,解得-2 2~(1/2)相似文献   

揭露教材的共同本貭,以少胜多——对中学数学教学中貫彻少而精原則的一点看法

問題的提出要想了解麻雀的生理結构,无需把所有的麻雀都一个一个地加以解剖,只要解剖其中的一个就可以了。一个一个地解剖麻雀,这样的人当然是沒有的;但是,用类似于这种方法对待問題的人,在数学教学中(因而也在学生的数学学习中)确有人在。例如,有些教师讲反三角函数时,根据总的进度作除法,平均每个反三角函数用两节課。讲反正弦时,讲了如何从正弦定义反正弦、主值区間、函数記号、基本恆等式、图象画法等問題,在讲到反余弦、反正切和反余切时,仍然按照以上几个方面各讲两个課时。这种只看到教材的差异而看不到教材的共同性,从而不分彼此,不分輕重,平均使劲,岂不正好象一个一个地解剖麻雀嗎? 又如,教会学生正确而熟练地从图象上观察函数的性貭,是讲授函数的一个主要要求。但是,却常常遇到这样的情况,不少学生会从一次函数的图象上观察     

换元法在证明代数等式中的应用

在证明代数恒等式时,适当地运用换元法进行变量置换,有时能使思路清晰过程简捷,现举例说明於下。一、通过换元,把多项式的项数减少或次数降低,可简化证明过程。例1,求证(1 x x~2 x~3)~2-x~3=(x~2 x 1)(x~4 x~3 x~2 x 1) (证明)设1 x x~2=y,则左边=(y x~3)~2-x~3=y~2 2x~3y x~6-x~3 =y~2 2x~3y x~3(x~3-1)=y~2 2x~3y x~3(x-1)(x~2 x 1) =y~2 2x~3y x~3(x-1)y =y(y 2x~3 x~4-x~3) =y(y x~3 x~4)=(1 x x~2)(1 x x~2 x~3 x~4) =右边。例2。求证x(x 1)(x 2)(x 3) 1 =(x~2 3x 1)~2     

“解文字数无理分式方程”教学一例

人民教育出版社出版的高中代数第一册,习題十四,第14題中的两个小題是解文字数无理分式方程: (1) x (a~2 x~2)~(1/2)=(5a~2)/(a~2 x~2)~(1/2);(a>0)(2)((a-x)~(1/2) (b-x)~(1/2))/((a-x)~(1/2) (x-3b)~(1/2))=((a-x)~(1/2)-(b-x)~(1/2))/((a-x)~(1/2)-(x-3b)~(1/2))(a>b,b<0) 解文字数的无理方程,在驗根时要討論文字数間的大小关系或文字数的尤許值的范围,对高一学生来說,这不是十分容易掌握的,因此,教师在教学中必須賦予应有的注意。本文不想从教学法上来討論这个問     

求函数极值的图解法

求函数极值问題,已有不少的论述。在代数里,讲过y=ax~2+bx+c的图象以后,求二次函数的最大值和最小值得到了较彻底的解决。本文就在此基础上,借助于求解非线性规划问題的思想,用图形来解答一些常见的具有约束条件的极值问题。这类问题的一般形式是:在约束条件下,要求找出变量x_i(i=1,2,…,n)的值,使得给定的函数 L=f(x_1,x_2,…,x_n) (2)取最大值或最小值。这里gi(x_1,x_2,…,x_n) (i=1,2,…,m)和f(x_1,x_2,…,x_n)都是变量x_1,x_2,…,x_n的有理整函数;“V”表示=,≤,≥中的某一个符号。式(2)称为目标函数。     

巧用sgn（）函数制作分段函数的图象

分段函数是高中代数中常见的函数 ,在《几何画板》中我们可以利用《几何画板》软件自带的函数ｓｇｎ( )来制作分段函数的图象 .例如我们要制作函数Ｆ(ｘ) =- 2ｘ - 122 + 1 ,ｘ∈ (ａ ,ｔ]- 2ｘ + 2 ,　　　ｘ∈ (ｔ,ｂ)的图象 ,可以按下述步骤来进行 :1 )选择【图表】莱单中的【建立坐标轴】 ,建立直角坐标系 ;2 )用【画点】工具在ｘ轴上画出两个点Ｃ ,Ｄ(不妨使点Ｃ在ｘ轴的负半轴上 ,点Ｄ在正半轴上 ) ;3)选择【图表】菜单中的【隐藏坐标轴】 ,隐藏坐标系 ;4 )用【画线段】工具作出线段ＣＤ ;5)用【画点】工具在线段ＣＤ上画两点 ,分别为…     

对初中代数中整式一章教学的几点体会

初中代数里“整式”这一章是整个代数学的基础,它对学生以后的学习,关系是异常重大的。因此在教学中,必須要求学生要理解透彻,記忆牢固,运用正确,計算熟练。如所周知,在这一章的教学中,教师讲起来,学生多不感到难懂,但一当学生自己动手作起題来,有时就会感到似是而非,沒有把握,乃至錯誤百出。例如,开头时有的学生就不承认a 2a 5b=3a 5b已經算完了;有的认为a~0应等于0,而不应等于1;有的則算出:3x-2(x-5y)=3x-2x-5y,3x-2(x-5y)=3x-6x 30y,x~3·x~2=x~6,x~3y~2 x~2y~3=x~5y~5以及5ab 3ab=Sa2b,5a~2b 3a~2b==8a~4b~2等等錯誤的結果来;甚至有的还长期地把3a~2和(3a)~2,-a~2和(-a)~2,(a b)~2和a~2 b~2混淆不清;或者在教师强調了(a b)~2≠a~2 b~2之后,却連(ab)~2=a~2b~2又不敢承认了。笔者有鑑于此,深     

培养学生具有从实际出发,認真审題的习慣

目的,学生在解答数学习題时,存在不从习题的实际条件出发、不认真审題的缺点,經常发生由于审错了題而把习题作錯的現象,因而影响作題貭量的提高。这篇文章将要分析这一缺点产生的原因,井提出一些克服缺点的方法。我們想从四个方面来谈这个問題:第一、不从实际出发,不认真审題的原因;第二、必須重视审題工作;第三、作到审題正确是不容易的;第四、必須对学生进行长期訓练,培养他們具有从实际出发,认真审題的习惯。 1.不从实际出发,不认真审题的原因。在作“画函数y=2x~2 4x 6的图象,并求函数的极值”习題时,有些学生沒看清問題的性质,仅凭过去的經驗判     

三次方程求根公式的历史

在三次方程解法的发展过程中,求根公式占有中心地位,所以我們在这篇文章里主要介紹一下关于三次方程求根公式的历史。三次方程最早都是以实际問題出现的。在古巴比伦人遺留下来的楔形文字小片中有相当于下列的三次方程問題: 12x~3+x~2=1+45/60(当时巴比伦使用六十进位制)。但是在三四千年以前,巴比伦人怎样解这类三次方程問題,現在还不知道,不过不会有普遍解法是可以肯定的。刁藩都(Diophantos,第三世紀人)是古代希腊著名的代数学家,在他的数学名著《算术》中研究了許多方程問題,其中有一个問題相当于下面的三次方程: x~3+8x-(5x~2+1)=x。我国也是最早研究三次方程的国家之一。唐朝初     

拟伪补双重MS-代数

本文将介绍一类称之为拟伪补双重MS-代数的代数类,即代数(L;∧,∨,°,~+,~*)。其中(L;°,~+)是双重MS-代数,(L;~*)是拟伪补代数,并且一元运算由恒等式x°~*=x~*°及x~(+*)=x~(*+)所确定。特别地,我们将证明,这样一个代数是真次直不可约,当且仅当其同余格是一个3-元素链或4-元素链。     

要什么,解什么

有这么一道函数方程:若f(x)-2f(1/x)=x,求f(x)。有这样一种解法: ∵ f(x)-2f(1/x)=x=(-3x~2/-3x)=(x~2 2-3-4x~2)/-3x=(x~2 2)/(-3x)-(2·(1 2x~2)/-3x)=(x~2 2)/(-3x)-(2·(1/x~2) 2/(-3·1/x)。∴ f(x)-(x~2 2)/(-3x)。我真不知道怎么想到要把x写成(-3x~2)/(-3x)?更不知道怎么想到要把-3x~2写成x~2 2 2-4x~2?我疑心的是编者事先求出f(x),再倒过来创造了这种解法的。我知道的是,要从f(x)-2f(1/x)=x中求出f(x)。于是要想办法消去f(1/x),因此还得     

浅谈函数奇、偶性的教学

函数的奇、偶性是函数的重要性质之一。这一性质在代数、三角、解析几何、高等数学等课程中都有应用。本文着重谈谈它的应用,借以说明它在中学数学教学中的地位和作用。定义如果函数y=f(x)在其定义域上,当x改变符号。函数值不变,即f(-x)=f(x)恒成立,那么,y=f(x)叫做偶函数;如果当x改变符号时,函数值也只改变符号,即f(-x)=-f(x)恒成立,那么,y=f(x)叫做奇函数。如讲幂函数时,通常列举y=x~2,y=1/x~2。     

“巧”用定义域求值域?

本斑黑板报《数学园地》的小编者们,在第20期上以“巧用定义域求值域”为题刊出了某同学的问题及解法: 求函数y=arecos(x~2-1/2x 1)的值域. 解:先求定义域:要使函数y=arccos(x~2-1/2x 1)有意义,必须-1≤x~2-1/2x 1≤1,解不等式组 x~2-1/2x 1≤1,x~2-1/2x 1≤-1 得0≤x≤1/2,根据反余弦函数的单调性有:π/3≤arccos(x~2-1/2x 1)≤π/2,即函数的值域为[π/3,π/2] 数学趣味小组的同学利用黑板报来研讨问题,促进数学水平的提高,我多次给予鼓励和肯定.但也不可避免地出现一些错题和错解,这正为教师发现问题和改进教学提供了信息. 其实上述解答是错误的.事实上,函数y=     

利用不等式求函数最值方法的推广

高中代数课本第二册88页例3,给了我们一种求函数最值的方法。原题如下: 已知:x、y∈R~ ,x y=S,xy=P。(1)如P是定值;当且仅当x=y时S的值最小。(2)如s是定值,当且仅当x=y时P的值最大。对于某些不满足x=y的函数,就无法用这种方法求得最值。如f(x)=(x~4 4x~2 5)/(x~2 2),它可化成f(x)=(x~2 2) 1/(x~2 2),尽管(x~2 2)·1/(x~2 2)=1,但无论x取何实数,(x~2 2)与1/(x~2 2)永不会相等。显然不能用例3的方法求f(x)的最小值。     

用判别式法求值域的注意事项

在求函数y=(x~2 3x 2)/(-2x~2 x 3)的值域时,同学们大都将函数转化为关于x的二次方程,用判别式法求函数的值域．解答如下: