函数对称性及简单应用

性质1y=f(x)关于x=a轴对称<=>f（a＋x）＝f（a—x）（或f（x）＝f（2a-x)，f(-x)=f2＋x)等)性质2y=f(x)关于（a，b)中心对称<=>f(a＋x) f(a－x）=2b（或f(x)＋f（2e-x）＝2b，f（-x） f（2a＋x）＝2b等）特别地有：（1）y=f(x)关于（a，0）对称b八a＋x）—一人a－x）（或人x）—一人如一动，人一X）—一人加十X）等）（2）y一人工）关于（0，b）对称白人工）＋＊（一X）一Zb证明1．y一人工）关于x＝a轮对称hoJ一人。＋＊关于x—0对称edy一人x＋a）为偶函数今户八一x＋a）一人x＋。），通过提元面得人）一人加一），人一）一八b＋＊等．2．…     

高中教学“短平快”同步练(2)

【高一代数】一元二次不等式选择题1．若a2}补集是（）（A）V到一1＜X＜引（BV到一1＜X＜引（C川到一互＜X＜引（D川ho3或X＜一1）5最简一元二次不等式x2＞0的同解不等式是（）（A／＋X＋1＞0（B）xZ－X＋l一0（O（X－1尸＞0（D）X十周…     

关于拉格朗日中值定理的几点注记

由拉格朗日中值定理很容易得到定理1定理1若函数f（x）在（a，b）内可徽，则对（a，b）内的任意两点x1〈x2，在（x1，x2）内至少有一点ξ（a＜ξ＜b），使等式成立。那么，若函数x（x）在（a，b）内可微，对于区间（a，b）的内任一点ξ，可否从（a，b）内找到两点X1及x2，满足等式一般不可以。考察函数f（x）=X3，（－1＜X＜1）．对于ξ=0就找不到所需的x1、X2，使（1）成立。事实上，时，但是，当的条件加强时，有定理2定理2若函数f（x）在（a，的内二次可微且产（＄）一0，a＜誊＜b，则在区间内可找到两个值由、X。满足f（。）一人X；…     

一个不等式的巧证

设a，b，c∈R，且a＋b＋c＞0，ab十bc ca＞0，abc＞0，柬：a＞0，b＞0，c＞0．此题在分种参考书中曾出现过，原证法都是用反证法证明的．这里结出一种简捷的巧证．设f(x）=（x＋a）（x＋b）（x＋c）＝x‘＋（a＋b＋c）x3＋（ab bc ca）x＋abc从尾舟式来看，显然当X＞ow人X）＞o．意味着y一八X）的图象更X轴的正半细无交点，而y一人x）弓xs青三个交点（－a，0），（－b，0），（－C，0），所以必有一a＜0，一b＜0，－c＜0即a＞0，b＞0，c＞0．一个不等式的巧证@周满庭$安徽省宣城中学!242000…     

函数f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x最小值猜想的推广

文[1]中猜想：f（x）=a/sin^n x＋b/cos^n x（0〈x〈π/2,a,b∈R^＋,n∈N＋），当且仅当x=arctan ^n＋2√a/b时，取最小值（a 2/n＋2＋b 2/n＋2）n＋2/2。笔者发现不但此猜想是正确的，而且还得到它的一个推广，下面给出推广及证明（初等证明）．     

e~(kx)在解题过程中应用几例

在解题过程中如果能用上ekx，会使解法简单巧妙，下面的例2说明必须会用e－x构造辅助函数。例1设f（x）是定义在［0，］上的连续函数，且证二八x）在肝，音］上连续，八X）＞o，设在X。处取最大值，于是由于八x。）是最大值，人n＜八X。），这就有：用上面的方法可证出在同样可证fseo，以此类推，则有人X）三0。上面的例是我们学校的一次统考题，证法一是学生想起的。例2设人x）在「a，b］上存在n＋l阶导数，且满足广‘’（a）一月‘’（b）—0，足一0，1，2，…，n．（这里／”（a）一f（），f”’（b）一f（））．证明：目七（a，b）使…     

三类最小值问题的统一解法及一般结果

本文旨在通过实例，归纳总结出形如y=x＋和y=x的最小值问题的统一解法及一般结果对能直接利用基本不等式a＋b≥2,a＋b＋c≥3求解的情形，本文将略去．第一类的最小值问题情形1例1求的最小值，这里x（O，π）．以上两个木等号中的等式同时成立，当且仅例2求函数y的值域．解函数的定义域为一1≤X≤1，于是令t=（1－x2）＋，于是只需求出t的值域，即可得到y的值域．以上两个不等号中的等式同时成立，当且仅。。M。。。。。。4．例3（一般情形）求y一x十上的最小值，其中，0＜X＜b，户是一个正常数，且产）矿．上述两个不等号中的等式同时成立…     

理科第24题别解

试回设二次函数人X）一。‘十仅十C（C＞O），方程人C）一C—O的两个根CI，1。a足0＜J1＜而＜上，（互）当工E（o，xl）时，证明：l＜人l）＜11；（巨）设用数人X）的图方关于直线X—XO对称，证明：二＜于．解法1（I）”．”xl，x。是人x）一x一0的两个根，故可设f（）一x—x（x—xl）（1—1：）令g（x）一a（x—xt）．。＞o，则以）在（一一，十一）内单调速增．解法2（I）同解法1，则故一’十hi十〔＜＊片十bll＋〔，即人l）＜人11）一11．又由a＞O，xl，xZ为／（x）一x—0的两个根（X；＜X。），则人X）一工在「0，Xl」上为减…     

凑配均值不等式常用的变形技巧

（a1，a2，…，an是正数，n∈且≥2）解证有关不等式问题，常常无法直接解决，而是先将解证的不等式进行适当的变形，凑出均值不等式的条件，再用均值不等式解决．这时，恰当的变形便成为解题的关键．下面介绍七种常用的变形技巧．1补项例1已知X＞-1，且x≠0，n∈N，求证：（1＋x）n＞1＋nx．证明例2设x1，x2，…，xn。都是正数，证明：2拆项例3已知a、b∈R ，且a≠b，求证：证明a5＋b5例5已知a、b、c∈R ，且a＋b＋c＝1，求证：证明例8已知a＋b＋c—1，＄证：rt‘＋b‘＋C‘MM．证明”．”1一（a＋b＋c）‘一a‘＋b’＋c’＋Zab＋Zbc＋…     

变上限积分integral from n=a to x () f(t)dt的一个应用

本文将利用变上限定积分构造辅助函数的方法，建立并证明一类新的积分不等式。定理1设f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，f（a）=0，如果．那么如果广（x）＞l，那么不等式（l）反向，且仅当人x）20，入。）一x－a或几。）一lr－a＋b＿I。＿。、上三二时等号成立。2”“。、——～。证明对于任意给定的t6［a，b」，构造函数对t求导数得：F’（t）二由厂（t）＞O，知f（）单调递增，又f（）一O，故f（）＞O，tC［a，hi又O＜／（t）＜1，．”．G’（t）＞O，G（t）单调递增。”．’G（a）一O．”．G（t）＞O即产（t）一G（t）f…     

方差非负性的应用

方差的计算公式为S2人教版初中《代数》第三册），它又可化为9一上【】X～上（，IZI方差具有非负性，即5270，当且仅当xl—12一…一xu，SZ＝0，利用方差公式及其非负性，可以将不少数学问题转化为方差问题来解决．例1已知a，heR”，a＋b—1，求证a’＋bZk且2”证考虑a，b二项的方差例3已知实数x，y，z满足x－y＝6，cy＝zZ十9，求证：X一y·证工，y的方差为Y一言【x“十y“一二（x＋y广」”亏以x＋y）“一zry一青（x＋y广」一一子【一子X十一月．t＋o）1一一，J＞几4＝O，于是X一y·例4已知0＜6＜。，求函数y＝／厂工面F肩而十／而百…     

关于函数平均值的一个例注

设y=f（x）是［a，b］上的一个可积函数。我们知道，f（x）在［a，b］上的平均值定义f［x（t）］在［a，B］上的平均值一般来说是不同于f（x）在［a，b］上的平均值，在具体问题的平均值计算中需要注意。以下举例说明：例求摆线的第一拱（0＜t＜2。）上点到原点距离平方的平均值。解法一距离平方为d’二x’＋y’一（t－SISt）’＋（l－COSt）’一t‘＋2－ZCOSt－Ztsiflt（0＜t＜2。）若取t为自变量，则平均值解法二若取x为自变昌（0＜x＜2。）则解法三取弧长S为自变量（（0＜S＜8），孤长S与参数t的关系为：当t—2知时，总弧长S一8，…     

巧解一题

题目（2005年全国理科）（1）设函数f（x）=xlog2x＋（1-x）log2（1-x）（0〈x〈1），求，（x）的最小值； （2）设正数p1，p2，p3，…，p2^n满足p1＋p2＋p3＋…＋p2^n=1，求证：p1log2p1＋p2log2p2＋p3log2p3＋…＋p2^nlog2p2^n≥-n．     

定积分的二种换元法及其应用

1．引言在定积分的计算中,运用变量替换可以大大简化计算过程,因此在计算定积分时常常需要考虑换元法．本文介绍了定积分的二种换元法：交换变换和减半变换,并列举了典型范例．2定积分的两种换无法定理亚若f（x）在闭区间[a,b]上,可积,则证明用换元法设u—a＋b—x,则dx—一du,当x一a时,u—b,当x一b时,u—a,Hx一a＋b—u6「a,hi,即f（＋b—u）在［a,hi上也是可积的,故我们把这种上、下限交换的换元法称为“交换变换”,特别地当a一O时有下列推论：推论1若f（x）在［a,hi上可积,则由定理1和推论1我们还可以得到两个十分重要…     

对称问题的坐标代换法

高中数学中的中心对称和拍对称问题，解决的方法不乏多样，但笔者认为，利用坐标代换的方法来研究这类问题，更具有一般性和规律性．1中心对称问题求曲线C：八x，y）一0关于点Q（a，b）对称的曲线C’．设C上的任一点只（xl，yi）关于点Q的对称点为P（X，y），由中点坐标公式可得：fHI一一二十ZQlyl一一y十Zb因为点PI（xl，yi）在C上，即f（XI，yi）一0，k得f（一x＋Za，一y＋Zb）一0即为所求．例1抛物线y—ax’＋bx＋c与y一x‘一sx＋2关于点（3，2）对称，求系数a、b、c．解设点（xl，yi）是y—l‘一sl＋2上任一点即yi一xZ—5xl＋2…     

一个不等式的应用

高中代数下册（必修）习题十五第6为：已知ad≠be，求证：（a2＋b2）（c2＋d2）＞（ac＋bd）2．若去掉已知条件，则有（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2（*）当且仅当ad＝be时取“＝”号．若灵活巧妙地顺用或逆用（*）式，可一些问题获得简洁的解证．例1若实数m、n、x、y满足m2＋n2＝a，x2十y2＝e（a≠b），则mx十ny的最大是昙（）解依题没，据（*）式，有ab＝（m2＋n2）（x2＋y2）≥（mx＋ny）2故应选（B）．例2若a、b、c、d∈R ，则一（1＋1）’一4．故应填4．例3若X’十／一1，则3X＋4y的取值范围是解依题设，据（。）式，有（3X十4y…     

2011年高考湖北卷理科压轴题的解法探讨

2011年高考湖北理科压轴题（第21题）： （Ⅰ）已知函数f（x）=lnx—x＋1,x∈（0,＋∞）,求函数f（x）的最大值; （Ⅱ）设ak,bk（k=1,2,…,n）均为正数,证明： （1）若a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤b1＋b2＋…＋bn,则a1^b1a^b2^2≤1;     

一道函数竞赛题的另解及探讨

第五届“创新杯”全国数学邀请赛（复试）高二年级试题的第19题为： 已知二次函数f（x）=ax^2＋bx＋c，若对一切x∈[-1，1]，有｜f（x）｜≤1，求证： 1）x∈[-1，1]时，｜2ax＋b｜≤4； 2）x∈[-1，1]时，｜cx^2-bx＋a｜≤2．     

函数y=lgcx＋d/αx＋b图象的对称问题及引申

文[1]探索证明了函数y=lgcx/d/αax＋b（αd≠bc,cα≠0）的图象是中心对称图形，它的对称中心是-d/c＋d/α/2,lg（c/α），但过程稍显繁琐，笔者认为用结论：“函数f（x）的图象有对称中心（h，k）的充要条件是对定义域中的任何一个x，均有f（h＋x）＋f（h-x）=2k．”证明较为简洁明了．证明如下：     

再谈广义奇(偶)函数及其周期性

文［1］对奇（偶）函数的概念作了推广，并对其性质和周期性问题进行了探讨．笔者读后，获益匪浅．现试图将原文论及的问题再作推广．一几个概念定义至对于函数f（x），若存在常数a、b、m、n（m＞0，n＞0），对于其定义域内的任意x：（1）当都有f（a＋mx）=f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义偶函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是偶函数．（2）当都有f（a＋mx）=－f（b－nx）成立时，则称函数f（x）为广义奇函数．特别地，如果a=b=0，m=n，则f（x）就是奇函数．定义2对于一个图形的两部分，从第一部分上的各点作定直线l的垂线…