关于有限区间上二次函数的最大(小)值

先看一道问题的解答: 问题:x、y是实数,且满足等式3x~2 2y~2=6x,求x~2 y~2的最大值. 解由3x~2 2y~2=6x,得y~2=-3/2x~2 3x,从而K=x~2 y~2=x~2-3/2x~2 3x=1/2x~2 3x.故由-1/2<0,可知当x=3/2×(-1/2)=3时,有(x~2 y~2)_(max)=4(-1/2)×0-3~2/4(-1/2)=9/2. 这是一道在约束条件下可化为求二次函数最大值的问题.上述解题过程显然是错误的,而这种错误不易被学生所觉察,常常出现在作业中.错误的根源在于没有考虑到“约束条件”,而乱用二次函数y=ax~2 bx c的极值公式来求在有限区间上该函数的     

含两参数的平均值代换法的应用

含一参数的平均值代换法是 ,若数学题中含有x + y =2a的条件 ,则令x =a +t,y =a -t(t为参数 ) .除此以外 ,还有含两参数的平均值代换法 ,即若数学题中含有x + y +z =3a的条件 ,则令x =a +t1,y =a +t2 ,z =a - (t1+t2 ) (t1,t2 为参数 ) .此法也可以推广到更多个参数的情形 .下面只举例说明含两参数的平均值代换法的应用 .1　求值例 1　已知 xa + yb + zc =1,ax + by + cz =0 ,求 x2a2 + y2b2 + z2c2 的值 .解　因 ax + by + cz =0 ,故可令 ax =t1,by =t2 ,cz =- (t1+t2 ) ,则有1t1+ 1t2- 1t1+t2=1.将上式两边平方 ,得1t21+ 1t22+ 1(t1+t2 ) …     

上期课外练习参考解答

1.令cosx=t,t∈[-1,1],则f(t)=t+3+1/(t+3)在[-1,1]内的值域为:f(-1)≤f(e)≤f(1),即5/2≤y≤17/4.2.把已知方程化为x2-4x+4=0(x>1),即x=2.由题意得B/A=2,sinC/sinA=2,于是有B=2A,sinC=2sinA,而A+B+C=π,∴C=π-3A,∴sinC=sin3A=2sinA,即3sinA-4sin3A=2sinA.     

两道函数题的错解剖析

在函数这章的教学中 ,笔者发现学生在解题过程中出现与函数有关的两个相似的错误 .剖析如下 .错误 1　认为函数 y =f (x 1 )的反函数是 y =f-1(x 1 ) .例 1　已知 f (x) =2 x 3x - 1 ,函数 g(x)的图象与 y =f-1(x 1 )的图象关于直线y =x对称 ,则 g(3 ) =.错解　根据题意 ,g(x)是 f -1(x 1 )的反函数 ,而 f -1(x 1 )的反函数是 f (x 1 ) ,∴　 g(x) =f (x 1 )=2 (x 1 ) 3(x 1 ) - 1 =2 x 5x .故得　 g(x) =1 13 .剖析　 f (x 1 )的反函数是 f-1(x 1 )吗 ?我们不妨来求 f (x 1 )的反函数 ,设 y =f (x 1 ) ,则 x 1 =f -1(y) ,…     

Strong approximation of empirical process with independent but non-identically distributed random variables

Let{Y_t,t=1,2,…} be independent random variables with continuous distribution functionsF_i(y).For any y,dencte s=F_t(y)=1/t sum from i=1 to t F_i(y).The empirical process is defind by t~(-1/2)R(s,t) whereR(s,t)=t(1/t sum from i=1 to t I_((?)_t(Y_i)≤s)-s)=sum from i=1 to t I_(?)-ts=sum from i=1 to t I_(?)-(?)_t(y)=sum from i=1 to t I_(Y_(?)≤y)-sum from i=1 to t F_i(y).The purpose of this paper is to investigate the asymptotic properties of the empirical processR(s,t).We shall prove that for some integer sequence {t_k},there is a (?)-process (?)(s,t) such that(?)|R(s,t_k)-(?)(s,t_k)|=O(t_k~(1/2)(log t_k)~(-1/4)(log log t_k)~(1/2))a.s.where (?)(s,t) is a two-parameter Gaussian process defined in §1.     

B值移动平均过程的Strassen重对数律

设 {ε,εt;t∈ Z}是 iid的 B值随机变量序列 ,{ aj;j∈ Z}是一个实数列 ,满足 ∞j=-∞|aj|<∞ .记 Xt= ∞j=-∞ajεt-j,Sn = nt=1Xt.对 p≥ 1 ,本文研究了n-1 -( p/ 2 ) (2 L2 n) -( p/ 2 ) ni=1 ‖ Si‖p 及 n-1 -( p/ 2 ) (2 L2 n) -( p/ 2 ) ni=0 ‖ Sn- Si‖ p的渐进性质 ,使得 Strassen(1 964)及 Chen(1 994)的一些结果得到推广 .     

从一道全国高中数学联赛预赛题想起

<正>题目(2014年山东赛区预赛第二题)已知函数f(x)=sinx+(1+cos²x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t2x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t²)(1/2),t∈[-1,1],即原题等价于求g(t)的值域问题,下面从不同角度来研究此函数的值域.一、解法探究解法1平方再开方.     

《常规的分离参数解法为何半途而废》一文的瑕疵与改进

近日拜读了文[1]——《常规的分离参数解法为何半途而废》,发现有几处瑕疵,笔者进行了一些改进.一、几处瑕疵1.方程et=21+(t-1)2(021+(t-1)2,0相似文献   

非线性脉冲微分方程边值问题正解的存在性

考虑如下非线性脉冲微分方程两点边值问题{-x'(t)=x~q,t∈(0,1),t≠1/2,△x|_(t=1/2)=β_1x(1/2),△x'|_(t=1/2)=-β_2x(1/2),x(0)=x(1)=0,其中参数0β_2β_1.当q∈(-∞,1)\{0}时,利用上下解方法研究非线性脉冲边值问题正解的存在性.     

揭示隐含条件提高解题能力

解题不注意隐蔽条件,因忽视或不能很好应用隐蔽条件,仍常常是学生在解答某些题目时产生错误的根源。如何解决?采取专题复习,集中讨论的办法,将可以收到较好的效果。一编选题组,让学生先练我编选了以下一组题日,集中让学生先作练习。 1.解不等式arcsin(3-x/2)≤arcsin(x/3-2)。 2.已知a(1-b~2)~(1/2)+b(1-a~2)~(1/2)-1,求证a~2+b~2=1。 3.方程组(Ⅰ)为参数与方程(Ⅱ)y=b/ax(a>0,b>0,     

新题征展(25)第7题的别解及推广

贵刊 2 0 0 1年第 12期新题征展 (2 5 )第 7题是2 0 0 0年春季京皖高考题的改编题 ,是培养学生整体思维品质与细心演算习惯的一道好题 .我们再提供这道题的另外 4种解法并把结论推广到一般情况 .原题　如图 1,过原点 O作抛物线 y2 =2 px(p >0 )的两条互相垂直的弦 OA、OB,再作∠ AOB的平分线交 AB于 C,求 C点的轨迹方程 .解法 1　设 A(2 pt2 ,2 pt) ,C(x,y)则 k OA =1t,　 k OB =- t≠ 0 ,直线 OB的方程为 y =- tx (t≠ 0 ) ,代入 y2 =2 px得 B点坐标 (2 pt2 ,- 2 pt) ,图 1则　 | OA| =(2 p t2 ) 2 (2 pt) 2 =2 p| t| t2 1,|…     

“树形图“与数学解题

树形图是图论中结构最简单但又十分重要的图,它广泛存在于自然学科、社会学科、经济生活中.下面例谈树形图在中学数学解题中的应用,供参考.例1设f(x)=4(x-1)2,g(x)=f(x2-1),求g(x)的单调区间.解:y=g(x)可看做y=f(t)与t=x2-1的复合函数,f(t)的对称轴为t=1,于是f(t)在(-∞,1]上为减函数,在(1, ∞)上为增函数.而t=x2-1在(-∞,0]上为减函数,在(0, ∞)上为增函数.令t=1得x=±2,于是可作以下树综述形上图:图,可知g(x)的单调递增区间为[-2,0],[2, ∞);单调递减区间为(-∞,-2],[0,2].评点:在函数中采用“树形图”,主要应用于讨论复合函数的性质,可使…     

函数图象变换常见错误剖析

由于函数概念不清 ,导致在处理函数图象变换的问题中出现错误 ,下面列举学生在练习中几种常见错误 ,关剖析错因 .错误 1　函数 ｙ =ｆ( -ｘ ａ)的图象是函数 ｙ=ｆ( -ｘ)的图象沿ｘ轴右移 (ａ <0 )或左移 (ａ >0 )|ａ|个单位而得到 .剖析　函数图象的左右平移的根据是自变量ｘ发生变化情况 ,而错误 1中确定图象变换是根据中间变量 -ｘ的变化而非ｘ的变化 .正确结论为 :ｙ =ｆ( -ｘ ａ) =ｆ[- (ｘ -ａ) ]的图象是 ｙ =ｆ[- (ｘ) ]的图象沿ｘ轴左移 (ａ <0 )或右移 (ａ >0 ) |ａ|个单位而得到 .错误 2　函数 ｙ =ｆ(ｘ -ａ)的图象与函数ｙ =…     

新教材的一点启示

新教材使用后 ,笔者觉得有许多值得一提的地方 ,尤其是新增添的内容 .本文试就第一册 (下 )向量第 5.3节例题 5谈一点浅见 .1　一道例题新教材第一册 (下 )课本 P1 0 7例 5:如图 1 ,OA、OB不共线 ,AP =t AB( t∈R) ,用 OA、OB表示 OP.解　 AP =t AB,OP =OA AP =OA t AB=OA t( OB - OA)=OA t OB - t OA=( 1 - t) OA t OB.此例在教学中学生不难接受 ,但在教学时不妨告诉学生以下定理 .图 1　　　　　　　　图 22　一个定理如图 2 ,向量 a,b,c有公共起点 ,且满足c=λa μb(λ,μ∈ R) .则这三个向量…     

组合数集的毕达哥斯定理

本文得到两个组合数集的毕达哥斯定理的推广。(ⅰ )当n为奇数时∑[(n+ 3 ) / 2 ]t=0n +3-tt2 - ∑[(n+ 1) / 2 ]t=0n +1-tt2 2 +2 ∑[n/ 2 ]t=0n -tt · ∑[(n+ 4 ) / 2 ]t=0n +4-tt2 +4∑[(n+ 2 ) / 2 ]t=0n +2 -tt2= ∑[(n+ 1) /2 ]t=0n+ 1 -tt2 + ∑[(n+ 3) /2 ]t=0n+ 3-tt2 2 。(ⅱ )当n为偶数时∑[(n+ 4 ) / 2 ]t=0n+4-tt2 - ∑[n/ 2 ]t=0n-tt2 2 +2 ∑[(n+ 1) / 2 ]t=0n+1-tt · ∑[(n+ 3 ) / 2 ]t=0n+3-tt2 +4∑[(n+ 2 ) / 2 ]t=0n+2 -tt2= ∑[n/2 ]t=0n -tt2 + ∑[(n+ 4) /2 ]t=0n + 4 -tt2 2 。     

数学问题错解成因浅析

数学问题解题中,不少高三学生对所学知识一听就懂,可解题时一做就错,有时还一错再错.笔者就解题易错原因进行归类分析. 一、概念理解不深刻,感性思维难过渡 案例1 在(x3+2/x2)5的展开式中,x5的系数为_______. 错解:Tr+1=Cr/5·2 r·x15-5r,令15-5r=5,得r=2,所以x5的系数为C2/5=10. 评析:二项式展开式中项的系数与二项式系数是两个不同的概念,容易混淆,此解错误的原因是概念不清.     

抛物线的一个几何性质

下面的定理 ,给出了抛物线一个有趣的几何性质 .此性质的证法很多 ,本文仅介绍一种较简捷的证法 .引理　设过点 (t,o) (t∈ R)的一条直线与抛物线 y2 =2 px(p >0 )相交于 P(x1,y1)、Q(x2 ,y2 )两点 ,则 x1x2 =t2 ,y1y2 =- 2 pt.证明　依题意可设直线方程为 x =my t,代入 y2 =2 px,得 y2 - 2 pmy - 2 pt=0∴　 y1y2 =- 2 pt,x1x2 =y212 p.y222 p=(y1y2 ) 24 p2 =(- 2 pt) 24 p2 =t2定理　设 A是抛物线 y2 =2 px(p >0 )的轴上一点 (位于抛物线内部 ) ,B是 A关于 y轴的对称点 .(1 )若过 A点引直线与这抛物线相交于 P、Q两点 (图 1 ) ,则∠…     

l2-值两参数OU过程的连续

§ 1　IntroductionLet{ Y(t) ;-∞ 0 ,i.e.Xk(· ) is a sta-tionary,mean zero Gaussian process with EXk(s) Xk(t) =(γk/λk) exp(-λk|t-s|) ,k=1 ,2 ,....The process Y(· ) was first introduced in[1 ] as the stationary solution of the infinitearray of stochastic differential equationsd Xi(t) =-λi Xi(t) dt+(2γi) 1 / 2 d Wi(t)　 (i =1 ,2 ,...) ,(1 .1 )where { Wi(t)…     

纠正一个错误的公式

《中学生数学》2002年第1月上期刊登的《骨牌覆盖问题与一类递推数列》一文中有两处“错误”. 其一、“解题后的回顾”之例题的最后结果:an=1/18(9·2n-2·3n)应更正为an=1/18(9·2n 1-2·3n 1).这可能是笔误,只须看前面的推导过程或将n=1,2代入验证,即可发现. 其二、定理如果x1、x2是an=c1an-1 c2an-2(n≥3)的特征方程x2=c1x c2的两个根,那么(2)当x1=x2时,数列{an}的通项公式为: r; 将n=1,2代入验证,即可发现这是一个错误的结果.     

划分复合函数单调区间时的常见错误

划分复合函数的单调区间作为一种基本技能,频频出现在各类试题中,其解题原理并不复杂,可是这种题的得分率并不高.究其原因,皆是一些细节错误.本文把这些错误整理出来,以警来者. 常见错误1 忽视定义域的作用 例1求函数y=lgsin(2x π/4)的单调增区间. 错解∵y=lgx是增函数, ∴只需求y=sin(2x π/4)的增区间,于是有 2kπ-π/2≤2x π/4≤2kπ π/2 (k∈Z). 解得原函数的单调区间为