数学问题解答

数学问题解答１９９５年１１月号问题解答（解答由问题提供人给出）９８１将任意△ＡＢＣ各内角三等分，每两个角的相邻三等分线相交得△ＰＱＲ、ＡＸ、ＢＹ、ＣＺ分别个分／ｊｊ、４ｆ７、ｆＡＢＣ、ｆＡＣＢｆｌ它（＇Ｊ与ＱＲ、ＲＰ、ＰＱ的交点为Ｘ、Ｙ、Ｚ求由角平分...     

莫莱定理的一个新证

莫莱定理的一个新证广州师范学院数学系张映柬本文给出莫莱定理一个纯几何的构造性证明，它比文［１］［２］所列几何证明，有其独特和简练之处．莫莱（Ｍｏｎｅｙ）定理将△ＡＢＣ各内角三等分，则每两个角相邻的三等分线交成正三角形ＰＱＲ．证明设则作△ＥＢ’Ｃ’在外...     

关于三角形不等式的一个猜想

关于三角形不等式的一个猜想安徽省肥西师范学校朱玉扬数学通讯于１９８９年第８期登载陈计与高海明同志所撰《一道征解题的拓广和加强》［１］一文提出如下颇有意义的猜想：设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别位于ＡＢＣ的ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上．且将周界三等分，则ＡＢｋ）．其中ｋ是正整数...     

三、一个几何不等式的证明

三、一个几何不等式的证明石世昌（浙江新昌中学３１２５００）文［１］提出了如下猜想：设Ｐ，Ｑ，Ｒ分别位于西ＡＢＣ的边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上，且将同界三等分，则ｏＲ‘“ＲＰ‘＋Ｐｏ‘＞２－‘（ＢＣ‘＋ＣＡ‘＋ＡＢ＊）（１）其中ｋ是正整数．文【Ｚｊ证明了当Ｐ，...     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

一道竞赛题的多种证法

2002年全国初中数学竞赛中有这样一道几何题 :△ＡＢＣ内 ,∠ＢＡＣ =6 0° ,∠ＡＣＢ =40° ,Ｐ、Ｑ分别在ＢＣ、ＣＡ上 ,并且ＡＰ、ＢＱ分别是∠ＢＡＣ、ＡＢＣ的角平分线 .求证 :ＢＱ +ＡＱ =ＡＢ +ＢＰ .下面给出它的几种证法 .图 1证法 1　延长ＡＢ到Ｄ ,使ＢＤ =ＢＰ ,连结ＤＰ(如图 1 ) ,则∠Ｄ =∠ＢＰＤ .∵　∠ＡＢＣ =1 80°-(∠ＢＡＣ +∠ＡＣＢ) =80° ,∴　∠Ｄ =∠ＢＰＤ=40° ,∴　∠Ｃ =∠Ｄ .∵　∠ 1 =∠ 2 ,　ＡＰ =ＡＰ ,∴　△ＡＣＰ≌△ＡＤＰ ,∴　ＡＣ =ＡＤ ,即ＡＱ +ＣＱ =ＡＢ +ＢＤ .又∵　∠ 3=12 ∠ＡＢＣ =…     

莫莱三角形对应边的位置关系

莫莱三角形对应边的位置关系２２２２００江苏省灌云县中学李平龙本世纪初，英国数学家莫莱（Ｆ·Ｍｏｎｅｙ）发现了数学中“最令人吃惊而又全然意外的定理”．这就是著名的莫莱定理［１］：将任意面△ＡＢＣ各内角三等分，则分别接近于三边的三等分线的交点构成等边三角...     

三角形中一类线段的比

本文首先介绍三角形中的一个线段比定理．定理如图１,设Ｏ为△ＡＢＣ内一点,ＡＯ、ＢＯ、ＣＯ的延长线分别交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｐ、Ｑ、Ｒ,则ＡＯＯＰ＝ＡＲＲＢ＋ＡＱＱＣ,ＢＯＯＱ＝ＢＰＰＣ＋ＢＲＲＡ,ＣＯＯＲ＝ＣＰＰＢ＋ＣＱＱＡ．证明在△ＡＢＣ中,ＡＰ、Ｂ...     

正负Brocard点间的距离

定理　设三角形的Ｂｒｏｃａｒｄ角是θ,外接圆半径是Ｒ,则正负Ｂｒｏｃａｒｄ点间的距离是２Ｒ１－４ｓｉｎ２θ·ｓｉｎθ．引理１　将△ＡＢＣ绕外心Ｏ反时针旋转２θ得△Ａ１Ｂ１Ｃ１,则△ＡＢＣ的正Ｂｒｏｃａｒｄ点与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的负Ｂｒｏｃａｒｄ点重合．图１证明　如图１,设Ｐ是△ＡＢＣ的正Ｂｒｏｃａｒｄ点,延长ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ分别交外接圆Ｏ于Ｂ１、Ｃ１、Ａ１,连结Ａ１Ｂ１、Ｂ１Ｃ１、Ｃ１Ａ１．则　∠ＰＡ１Ｃ１＝∠ＰＢ１Ａ１＝∠ＰＣ１Ｂ１＝θ．可见Ｐ是△Ａ１Ｂ１Ｃ１的负Ｂｒｏｃａｒｄ点．又易证△ＡＢＣ≌…     

3倍角三角形的性质初探

在△ＡＢＣ中,若∠Ｃ＝ｎ∠Ｂ,∠Ｂ＝ｎ∠Ａ,ｎ∈Ｎ,则称△ＡＢＣ为。倍角三角形． 当ｎ＝１时,即为正三角形;当ｎ＝２时,则∠Ｃ＝２∠Ｂ,∠Ｂ＝２∠Ａ,此时 ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２～０：２～１：２～２,我们称△ＡＢＣ为２倍角三角形． 关于２倍角三角形,文［１］已给出了若干有趣的性质． ２倍角三角形性质可以给出许多竞赛题以新解,简解,见文［２］． 当ｎ＝３时,∠Ｃ＝３∠Ｂ,∠Ｂ＝３∠Ａ,则∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝３～０：３～１：３～２,称△ＡＢＣ为３倍角三角形,关于３倍角三角形,笔者初步得到如下性质： （１）当∠…     

从一道命题谈起

从一道命题谈起杨学枝（福州二十四中３５００１５）我的好友杨世明先生在１９８９年８月９日写给本人的信中，顺便向我介绍一道“难题”：假定Ｐ，Ｑ，Ｒ是△ＡＢＣ的三边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上三点，且满足ＡＱ＋ＡＲ—ＢＲ＋ＢＰ＝ＣＰ＋ＣＱ，则ＰＱ＋ＱＲ＋ＲＰ他还在信...     

数学问题解答

20 0 0年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 81　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ=50°,Ｐ、Ｑ为形内两点 ,∠ＰＣＡ =∠ＱＢＣ =1 0°,∠ＰＡＣ =∠ＱＣＢ =2 0°.求证 :ＢＰ =ＢＱ .(黑龙江省绥化地区教育学院田永海　 1 52 0 54)证明　如图 ,过Ａ作ＢＣ的垂线 ,在该垂线上取一点Ｄ ,使∠ＤＣＡ =2 0°,连ＤＰ、ＤＢ、ＤＣ .由∠ＡＢＣ =∠ＡＣＢ =50°,可知ＡＣ =ＡＢ ,∠ＢＡＣ =80°,有ＡＤ为ＢＣ的中垂线 .易知ＰＡ平分∠ＤＡＣ ,ＰＣ平分∠ＤＣＡ ,可知Ｐ为△ＡＤＣ的内心 .有∠ＰＤＡ=∠ＰＤＣ =60°.由∠ＤＢＣ =∠ＤＣ…     

三角形外心的一个性质

定理 若点 Ｄ在△ＡＢＣ的边 ＡＢ上,且∠ＣＤＢ＝α,Ｍ１、Ｍ２、Ｍ 分别 为 △ＡＤＣ、△ＤＢＣ、△ＡＢＣ的外心则 证明（１）建如图１所示的平面直角坐标系．设Ａ（α,０）,Ｄ（ｄ,０）,Ｂ（ｂ,０）,Ｃ（０,ｃ）,则线段ＡＤ、ＤＢＪＢ的垂直平分线方程分别 易得线段ＡＣ书Ｃ的垂直平分线方程分 ０ＭＩ和ＯＭ;的连心线ＭＩＭＺ垂直平分其公共弦ＣＤ．三角形外心的一个性质@胡斌$山东省惠民师范学校!251700     

对一个凸体分割问题的探讨

定理 1　过三角形的重心任作一条直线 ,把这三角形分成两部分 ,证明 :这两部分面积之差不大于整个三角形面积的 19.图 1　定理 1图分析　如图 1,过△ＡＢＣ的重心Ｇ的任意直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｅ ,Ｆ ,过Ｇ作平行于底边ＢＣ的直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｐ ,Ｑ .先证明 :ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ=Ｓ9,这里Ｓ表示△ＡＢＣ的面积 .事实上 ,ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ =Ｓ - 2ＳＡＰＱ=Ｓ - 2·4Ｓ9=Ｓ9.后证明 :ＳＥＢＣＦ-ＳＡＥＦ<ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ (1)由于∠ＥＰＧ =∠Ａ ∠ＡＱＰ >∠ＡＱＰ ,故能在△ＥＰＧ内作直线ＰＲ ,使∠ＲＰＧ =∠ＧＱＦ ,…     

一个命题的再研究

命题　△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，求证　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｂｃ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣｃａ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡａｂ　≥０．（１）（《数学通报》１９９７年５月号问题１０７２）文［１］对上述命题给出了一种简捷证法．通过对（１）式证法的研究，笔者得到了以下几个命题．命题１　设△ＡＢＣ中，∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃ所对边分别是ａ、ｂ、ｃ，则有：　　ｓｉｎＡ－ｓｉｎＢｃａ＋ｓｉｎＢ－ｓｉｎＣａｂ＋ｓｉｎＣ－ｓｉｎＡｂｃ　≤０．（２）证明　由正弦定理知，不等式（２）等价于ａ－ｂｃａ＋ｂ－ｃａｂ＋…     

平面几何问题三角化的一条有效途径——一个常见命题的推广及应用

平面几何问题三角化的一条有效途径──一个常见命题的推广及应用谢水龙（贵州六枝郎岱二中５５３４０５）１来源命题若Ｐ为ＺＸＯＹ—１２０“平分线上一点，过点Ｐ的直线截ＯＸ、ＯＹ于点Ａ、Ｂ．则＿十＿一ＭＭ．””“ＯＡ’ＯＢＯＰ这是一道以往的教材中常能见到的普...     

椭圆、双曲线的切线与圆的关系

图１是高中《平面解析几何》参数方程一章中一例题的图形，我们发现：如果过Ａ，Ｂ两点分别作大圆和小圆的切线，交ｘ轴于Ｐ，Ｐ１，交ｙ轴于Ｑ，Ｑ１，则Ｐ，Ｍ，Ｑ１三点共线，且为椭圆的切线．于是得到下面两个命题．图２命题１过圆ｘ２＋ｙ２＝ａ２上一点Ａ（ｘ１，ｙ...     

关于勃罗卡点的两个命题

关于勃罗卡点的两个命题苗大文（安徽省定远中学２３３２００）文［１］、［２］、［３］都讨论了勃罗卡的有关问题，读来很受启发．笔者也得到了两个命题供参考．图１命题１设Ｐ为△ＡＢＣ的勃罗卡点（如图１），记△ＰＢＣ，△ＰＣＡ，△ＰＡＢ，△ＡＢＣ的外接圆半径分...     

数学问题解答

数学问题解答１９９４年２月号问题解答（解答由问题提供人给出）８７６设ΔＡＢＣ的外接圆Ｏ，另一圆Ｏ１与ＡＢ，ＡＣ相切于点Ｚ，Ｙ；且与Ｏ内切于Ｐ点，证明：ＺＹ的中点为ΔＡＢＣ的内心证明设ΔＡＢＣ外接圆与内切圆的半径分别为Ｒ，ｒ；Ｏ１的半径为ｘ．由于Ｏ１与...     

上期课外练习参考解答

初一年级1.50 .2 .令　Ｃ =1× 2× 3×…× 10 0 2 ,Ｄ =2× 4× 6×…× 2 0 0 4 .∵　Ａ·Ｃ =Ｂ·Ｄ ,∴　 ＡＢ =ＤＣ =2 10 0 2 .3.周长为 3× ( 43) 3 =6 4初二年级1.∵　ｐ2 +ｑ2 =ｐ2 ·ｑ2 ,　∴　 1ｐ2 +1ｑ2 =1.∴　原式 =ｐ|ｑ|- ｑ|ｐ|.当 ｐ <0 <ｑ时 ,原式 =ｐ2 +ｑ2ｑ·ｐ =ｐｑ ,当ｑ <0 <ｐ时 ,原式 =- ｐｑ .图 12 .如图 1,由于ＡＢＣＤＥＦ的各内角都是钝角 ,那么ＡＢ、ＣＤ、ＥＦ三边所在直线 ;ＢＣ、ＤＥ、ＡＦ三边所在直线 ,分别可构成△ＰＱＲ、△Ｐ′Ｑ′Ｒ′ ,而∠Ｐ =∠ＡＢＣ -∠ＰＣＢ ,∠Ｐ′ =∠ＤＥＦ -∠…