Note on liquid sloshing in a container of arbitrary shape

Zusammenfassung Vorliegende Mitteilung schlägt ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Eigenfrequenzen einer schwingenden Flüssigkeit mit freier Oberfläche in einem Tank beliebiger geometrischer Gestalt vor. Die Flüssigkeit wird als reibungsfrei, homogen und dichtebeständig, dic Strömung als wirbelfrei vorausgesetzt. Das Geschwindigkeitspotential wird in Form des Potentials einer einfachen Belegung angesetzt und eine Integralgleichung für die Belegungsdichte hergeleitet. Als Frequenzgleichung ergibt sich eine Determinantenbedingung, welche die näherungsweise Berechnung der Eigenfrequenzen gestattet. *** DIRECT SUPPORT *** A1325111 00005     

Note on the boundary layer on a rotating sphere

Zusammenfassung Die gleichmässige Strömung in der Grenzschicht bei einer gleichmässig rotierenden Kugel wird behandelt. Die Grenzschicht entsteht an den Polen und entwickelt sich in beiden Hemisphären nach dem Äquator zu. An den Polen verhält sich die Kugel wie eine rotierende Scheibe, und Flüssigkeit strömt hier ein. Am Äquator verhält sich die Kugel wie ein rotierender Zylinder, und die Flüssigkeit strömt in dessen Bereich aus.     

A remark on the sloshing frequencies for a half-space

Summary The known sloshing frequencies of an incompressible and inviscid fluid in a half-space with circular or strip-like aperture are investigated in some detail, based on previous results [4]. The first two terms in the asymptotic expansion for large eigenvalues are determined and a conjecture is enunciated for the general structure of the next term. The asymptotic results are listed in Table 1 and compared with the known frequencies.Furthermore, the sum of the reciprocal squares of the eigenvalues is computed numerically for each symmetry class; the results suggest a conjecture about the exact value of these sums.

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Zusammenfassung Es werden die bekannten Eigenfrequenzen der Schwingungen einer idealen Flüssigkeit in einem Halbraum mit kreisförmiger oder streifenförmiger freier Oberfläche näher untersucht (siehe [4]). Die zwei ersten Glieder in der asymptotischen Entwicklung der Eigenfrequenzen werden hergeleitet und eine Vermutung über das nächste Glied aufgestellt (Abschnitt 2, 3). Die asymptotischen Ergebnisse werden mit den bekannten Frequenzen in Tabelle 1 verglichen.Für die verschiedenen Symmetrieklassen der Schwingungen werden die reziproken Quadratsummen der Eigenwerte numerisch bestimmt und eine Vermutung über den Wert dieser Ausdrücke ausgesprochen (Abschnitt 4).

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This research was supported by the National Science Foundation under Grant GP-22587.     

The transverse flexure of a thin circular plate subject to parabolic loading over a concentric ellipse

Zusammenfassung Auf der Basis der Poisson-Kirchhoffschen Theorie und unter Verwendung der komplexen Methode werden die Durchbiegungen und Spannungen in einer dünnen isotropen Platte unter einer parabolischen Belastung ermittelt, die sich über die Fläche einer konzentrischen Ellipse erstreckt. Der Rand der Platte ist einer elastischen Bindung unterworfen, welche Auflage und Einspannung als Sonderfälle enthält. Es werden auch Grenzfälle der erhaltenen Lösung diskutiert.     

Development of flow in the inlet length of a circular tube starting from rest

Zusammenfassung Auf der Grundlage linearisierter Navier-Stokes-Gleichungen wird die instationäre laminare Strömung einer reibungsbehafteten, inkompressiblen Flüssigkeit im Einlaufbereich eines kreisförmigen Rohres behandelt. Es wird angenommen, dass sich die Flüssigkeit zum Anfangszeitpunkt im Ruhezustand befindet und dass die Geschwindigkeitsverteilung im Einlaufquerschnitt eine bekannte Funktion der Zeit und des Radius ist. Es werden Formeln für die Längskomponente der Geschwindigkeit sowie für den Druckgradienten angegeben.     

An isoperimetric problem with a nonlinear side condition for sloshing in a symmetric shallow canal

Summary The eigenfrequencies of the oscillations of an ideal liquid in a symmetric, shallow canal are investigated. The shape of the cross section is determined, for which thenth eigenfrequency becomes as large as possible, when the width and the wetted are length of the canal cross section are prescribed. This variational problem leads to a nonlinear eigenvalue problem for two functions. The problem is solved numerically, and, in addition, upper and lower bounds for the maximal eigenvalues are reported.

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Zusammenfassung Die Eigenfrequenzen der Schwingungen einer idealen Flüssigkeit in einem symmetrischen, untiefen Kanal werden untersucht. Es wird die Form desjenigen Querschnittes bestimmt, für den dien-te Eigenfrequenz möglichst gross wird, wenn die Breite und die benetzte Bogenlänge des Kanalquerschnittes vorgeschrieben werden. Dieses Variationsproblem führt auf ein nichtlineares Eigenwertproblem für zwei Funktionen. Das Problem wird numerisch gelöst, und ausserdem werden obere und untere Schranken für die maximalen Eigenwerte angegeben.

     

Complementary formulation for plate vibration problems

Zusammenfassung Das Problem der schwingenden Platte wird mit Hilfe des Hamiltonischen Prinzips und des komplementären Prinzips formuliert. Es wird gezeigt, dass das komplementäre Prinzip auf drei Bewegungsgleichungen an Stelle einer einzigen führt. Die Randbedingungen werden bei der rechteckigen Platte für beide Formulierungen des Problems angegeben. Für die Eigenfrequenzen der freien Rechteckplatte ergibt sich mit dem komplementären Prinzip eine deutliche Verbesserung gegenüber dem Hamiltonischen Prinzip bei Behandlung mit dem Ritzschen Verfahren.     

Oscillating two-phase channel flows

Zusammenfassung Die in einem Kreisrohr durch pulsierende Kräfte in Bewegung gesetzte Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit mit schwebenden kugelförmigen Teilchen wird analysiert. Das Lösungsverfahren beruht auf der Zusammenfassung der Teilchen- und Flüssigkeit-Impulsgleichungen zu einer einzelnen Integrodifferentialgleichung, die durch die Laplace-Transformation gelöst wird. Die Geschwindigkeit von Teilchen und Flüssigkeit und der Reibungswiderstand werden als Polynome angegeben und durch einen Computer numerisch berechnet. Überraschenderweise ergibt sich, dass im Gleichgewichtsgrenzfall das Teilchen-Flüssigkeit-System, das durch eine stetige Massenkraft in Bewegung gesetzt wird, sich wie ein Teilchenloses verhält. Es wird auch gezeigt, dass die Wirkung der Massen- und Druckkräfte etwa gleich ist, wenn die Dichte des Teilchenmaterials viel grösser als die Dichte der Flüssigkeit ist. Die Wirkung dieser Kräfte ist verschieden, wenn diese beiden etwa gleich sind.     

On the natural frequencies of standing water waves in a canal of arbitrary shape

The small amplitude natural oscillation of liquid in a partially filled canal of arbitrary shape is investigated. The method is based on potential theory. The field equation subject to the appropriate boundary conditions is transformed into an integral equation, which is then solved numerically. Two specific geometries were chosen for the numerical examples; namely, a circular canal with arbitrary depth of liquid, and half full elliptical canals with various eccentricities. The results are presented and discussed.

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Zusammenfassung Die natürlichen Flüssigkeitsschwingungen kleiner Amplituden in einem teilweise gefüllten Kanal von beliebiger Gestalt werden untersucht. Die Methode basiert auf der Potentialtheorie. Die Feldgleichung mit den entsprechenden Randbedingungen wird in einer Integralgleichung transformiert, die dann numerisch gelöst wird. Als Beispiele wurden ein kreisförmiger Kanal mit beliebiger Flüssigkeitshöhe und ein halbgefüllter elliptischer Kanal mit verschiedenen Exzentrizitäten ausgewählt. Diese Beispiele werden numerisch ausgewertet und die Ergebnisse diskutiert.

     

Surface tension and buoyancy effects in the cellular convection of an electrically conducting liquid in a magnetic field

Zusammenfassung Eine frühere Analyse des Konvektionsanfangs in einer horizontalen Flüssigkeitsschicht, ausgelöst durch die gleichzeitige Einwirkung der Auftriebs- und Oberflächenspannungseffekte, wird auf eine elektrisch leitfähige Flüssigkeit in einem magnetischen Feld ausgedehnt. Zahlenresultate werden für den Fall gewonnen, wo die untere Fläche ein starrer Leiter ist und die obere freie Fläche für Temperaturstörungen entweder «leitet» oder «isoliert». Für die Wirkungen eines vertikalen magnetischen Felds ergibt sich folgendes: (1) Konvektion wird unter allen betrachteten Umständen gehemmt, (2) die horizontalen Dimensionen einer Konvektionszelle werden vermindert, und (3) die Kopplung zwischen den Oberflächenspannungs- und Auftriebswirkungen wird abgeschwächt. Die Wirkung (3) ist erstaunlich plötzlich, wenn die obere Fläche ein guter Leiter für Temperaturstörungen ist.     

Lateral vibrations of pretwisted rods with various boundary conditions

Zusammenfassung Unter Vernachlässigung der Scherung und der rotatorischen Trägheit werden die ersten vier Eigenfrequenzen der Biegeschwingungen von Stäben mit konstantem Querschnitt und konstantem Verdrehungswinkel je Längeneinheit mit Hilfe einer linearen Theorie berechnet. Der Einfluss der Randbedingungen und des Verhältnisses der effektiven Biegesteifigkeiten auf die Eigenfrequenzen wird untersucht. Es werden acht verschiedene Randbedingungen und drei verschiedene Verhältnisse der Biegesteifigkeiten behandelt. Die Resultate werden in der Form von Frequenzkurven gegeben, die sich über einen Bereich des totalen Verdrehungswinkels erstrecken, der von praktischem Interesse sein dürfte. Die Ergebnisse zeigen, dass die Eigenfrequenzen im allgemeinen stark vom Verhältnis der Biegesteifigkeiten abhängen und in gewissen Fällen merklich vom totalen Verdrehungswinkel beeinflusst werden.

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The work presented here was supported in part by the U.S. Army Research Office (Durham) under grant DA-ARO-D-31-124-G238.

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formerly with Space Technology Laboratoires where B. A.Troesch carried out most of his contribution.     

Rectilinear laminar flow of a visco-elastic fluid

Zusammenfassung Eine inkompressible viskoelastische Flüssigkeit fliesst zwischen zwei parallelen, starren, unendlichen Wänden. Es wird unter der Voraussetzung, dass die eine Wand fest ist und die andere sich mit einer exponentiell abklingenden Geschwindigkeit bewegt, das zur Aufrechterhaltung einer speziellen laminaren Strömung nötige Kraftfeld bestimmt.     

Toroidal oscillations of a spherical mass of viscous conducting fluid in a uniform magnetic field

Zusammenfassung Es werden die toroidalen Schwingungen einer flüssigen Kugel in einem konstanten Magnetfeld betrachtet. Nach [2] ist bekannt, dass das Spektrum der Eigenwerte für vollkommen leitende Flüssigkeit kontinuierlich ist. Hier wird aufgezeigt, dass für endliche Leitfähigkeit ein diskretes Spektrum entsteht und dass der diskrete Charakter erhalten bleibt, wenn die Leitfähigkeit nach Unendlich strebt. In diesem Grenzfall konzentriert sich die Schwingung auf die Symmetrieachse.     

Forced oscillations in a rotating liquid (I)

Zusammenfassung Der vorliegenden Analyse liegen die linearisierten Gleichungen für die achsensymmetrischen Störungen einer gleichförmig rotierenden Flüssigkeit zugrunde. Dabei wird aber keine Annahme hinsichtlich einer Zeitabhängigkeit der erzwungenen Bewegungen gemacht und die Entwicklung der Störungen vom Beginn der erzwungenen Bewegung an studiert. Ungeachtet der sich zeigenden analytischen Schwierigkeiten können über die allgemeinen Störbewegungen Aussagen gemacht werden.Für die relativ schnellen harmonischen Schwingungen (mit einer Störfrequenz grösser als die doppelte Rotationsfrequenz) findet man, nachdem die Einwirkung zeitlich genügend dauerte, dass die Bewegung der Flüssigkeit und jene des erzwungenen Mechanismus — wie in den früheren Arbeiten angenommen — überall phasengleich ist. Demgegenüber wird für Schwingungen mit kleinerer Relativfrequenz ein System fortschreitender Wellen vorausgesagt. Spezielle Aufmerksamkeit wird hier dem früheren Falle geschenkt; mit Hilfe einer Ähnlichkeitsbetrachtung kann die Analyse einer breiten Klasse der durch kleine harmonische Schwingungen erregten Bewegungen auf ein Problem der Potentialtheorie reduziert werden. Als Beispiele werden die axial schwingende und die radial pulsierende Kugel kurz erörtert.     

Analysis of the oscillations of the Timoshenko beam

Zusammenfassung Die Schwingungen des Timoshenko-Trägers werden mit Hilfe sich ergänzender Variationsprinzipien analysiert. Es werden Rayleigh-Quotienten, die auf den beiden Prinzipien basieren, für die Eigenfrequenzen angegeben. Sodann werden duale Träger mit konstanten Querschnittpaaren definiert und die Beziehungen zwischen den Eigenfrequenzen und Schwingungsformen der dualen Träger diskutiert.     

A note on gravity waves in a viscous liquid with surface tension

Summary The linear theory by Reid [1] on gravity waves in a viscous liquid with surface tension is extended. Asymptotic formulae for the dispersion relation are derived. A critical Morton number equal to 0.044789 is found. Only in liquids with smaller Morton numbers, travelling ripples may exist with group velocity exceeding phase velocity.

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Zusammenfassung Reid's lineare Theorie über Gravitationswellen in einer viskosen Flüssigkeit mit Oberflächenspannung wird erweitert. Abgeleitet werden asymptotische Formeln für das Verteilungsverhältnis und eine kritische Morton-Zahl gleich 0.044789 wird gefunden. Nur in Flüssigkeiten mit geringeren Morton-Zahlen existieren wandernde kleine Wellen mit einer Gruppengeschwindigkeit, die die Phasengeschwindigkeit überschreitet.

     

Dynamic instabiliry phenomenon in cavitation bubbles

Summary An adiabatic gas-filled bubble in a viscous, incompressible liquid is subjected to a tension wave in the form of a step function in time. The governing equation is solved numerically. It is shown that there exists a dynamic tension threshold, similar to the Blake threshold in the static case, beyond which the bubble in the liquid will grow infinitely. The effec of the fluid viscosity on the forced oscillations of the bubble is discussed. Critical dynamic radii and critical dynamic pressures are given for a wide range of the radius of the bubble at rest, for both the viscous and inviscid liquids. The collapse mechanism of a bubble subjected to an exponentially decaying tension wave is explained.

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Zusammenfassung Eine adiabatische Gasblase in einer zähen inkompressiblen Flüssigkeit wurde unter dem Einfluss einer zeitlich diskontinuierlichen Spannungswelle untersucht. Die Gleichungen wurden numerisch gelöst. Es wurde gezeigt, dass eine dynamische Spannungs-Schwelle ähnlich zur Blake-Schwelle des statischen Falles vorhanden ist. Wenn diese überschritten wird, wächst die Blase in der Flüssigkeit unbegrenzt. Die Wirkung der Zähigkeit auf die erzwungenen Blasenschwingungen wurde diskutiert. Kritische dynamische Radien und Drücke wurden für einen breiten Radiusbereich der Blase im Ruhezustand für zähe und reibungsfreie Flüssigkeiten gegeben. Der Zusammenbruch einer Blase in einer exponentiell gedämpften Spannungswelle wird erläutert.

     

Petites oscillations d'un liquide dans un vase fermé par une membrane élastique

Résumé Dans ce travail, l'auteur étudie le problème des petites oscillations d'un liquide dans un container rigide fermé par une membrane élastique. Dans la première partie, le container est fixe. Dans le cas général, l'existence des fréquences propres du système est démontrée à l'aide des méthodes de l'analyse fonctionnelle. Une solution analytique est donnée dans le cas où le container a la forme d'un cylindre circulaire.Dans la seconde partie, le container est mobile. Les équations du mouvement sont obtenues au moyen d'un principe variationnel et sont mises sous la forme d'une équation opérationnelle dans un espace de Hilbert convenable. L'existence des fréquences propres est prouvée à l'aide de la théorie des opérateurs auto-adjoints complètement continus dans l'espace de Hilbert.

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Summary The problem of the small oscillations of a liquid in a rigid container closed by an elastic membrane is investigated. In the first part, the container is fixed. In the general case, the existence of the eigenfrequencies of the system is proved by means of the methods of the functional analysis. An analytic solution is given in the case of a circular cylindrical container.The second part deals with a moving container. The equations of motion are obtained by means of a variational principle and are written in the form of an operational equation in a suitable Hilbert space. The existence of the eigenfrequencies arises from the theory of the completely continuous self-adjoint operators in an Hilbert space.

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Zusammenfassung Es wird das Schwingungsproblem einer in einem Behälter befindlichen Flüssigkeit, deren Oberfläche mit einer elastischen Membran abgedeckt ist, behandelt. In dem ersten Teil ist der Behälter fest. In dem allgemeinen Fall wird die Existenz der Eigenfrequenzen mit Hilfe der Methoden der Funktionalanalysis bewiesen. Für einen Kreiszylinderbehälter werden die Eigenfrequenzen des Systems bestimmt.Im zweiten Teil ist der Behälter beweglich. Die Bewegungsgleichungen werden mit Hilfe eines Variationsprinzips erhalten und in der Gestalt einer Operatorgleichung in einem richtigen Hilbertraum geschrieben. Die Existenz der Eigenfrequenzen ergibt sich aus der Theorie der vollstetigen, selbstadjungierten Operatoren in einem Hilbertraum.

     

A decomposition theorem on the scalar potential of a compressible BKZ fluid

Based on the existence of a caloric equation of state in the thermodynamic theory of a nonlinear viscoelastic fluid (Bernstein, Kearsley and Zapas, 1964), and the additional assumption that the local entropy production along any instantaneous deformation path is finite, we first show that such a fluid behaves as a perfectly elastic material whenever the deformation gradient suffers from a jump-type discontinuity. The nature of the apparently perfectly elastic material serving to interpret results in the instantaneous deformation depends on the previous historyonly through two parameters, namely, the density and the temperature of the fluid immediately prior to the jump. This result is then applied, in conjunction with the usual conditions of isotropy and objectivity as well as an application of Schur's Lemma on irreducible sets of matrices, to obtain a decomposition of the scalar potential of the compressible Bernstein-Kearsley-Zapas Fluid (abbrev. BKZ Fluid).

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Zusammenfassung Gegründet auf der Existenz einer kalorischen Zustandsgleichung in der thermodynamischen Theorie einer nichtlinearen viskoelastischen Flüssigkeit (Bernstein, Kearsley und Zapas, 1964) und der zusätzlichen Annahme, daß die örtliche Entropiezunahme entlang einer Deformationskurve endlich ist, zeigen wir zuerst, dass sich eine solche Flüssigkeit wie ein ideales elastisches Material verhält, wenn der Deformationsgradient eine sprunghafte Unstetigkeit aufweist. Die Eigenschaften des scheinbar idealen elastischen Materials, die dazu dienen, Ergebnisse der momentanen Deformation zu interpretieren, hängen von der Vorbehandlung nur durch Werte von zwei Parametern ab, nämlich der Dichte und Temperatur der Flüssigkeit direkt von der sprunghaften Veränderung. Das Ergebnis, zusammen mit den üblichen Bedingungen der Isotropie und Objektivität wie auch der Anwendung von Schurs Lemmas über nichtreduzierbare Gruppen von Matrizen, wird dann dazu verwendet, eine Zerlegung des skalaren Potentials einer verdichtbaren Bernstein-Kearsley-Zapas-Flüssigkeit (BKZ-Flüssigkeit) zu erzielen.

     

Effects of external circuit and wall conditions on magnetohydrodynamic free convection between two heated walls

Zusammenfassung Die Einwirkungen der äusseren elektrischen Schaltungsbedingungen und der elektrischen Leitfähigkeiten der Wände auf die magneto-hydrodynamische freie Konvektion einer Flüssigkeit zwischen zwei erhitzten Wänden werden studiert. Eine Annäherungsmethode wird angewendet zur Lösung des das Problem beherrschenden Systems von nichtlinearen Integro-Differentialgleichungen. Es zeigt sich, dass die Strömung vom Hartmannschen Typ ist und auch entsprechende charakteristische Eigenschaften zur Elektrizitätserzeugung hat. Der erzeugte Strom ist proportional zur Temperaturdifferenz zwischen der Flüssigkeit und den Wänden.