也谈一个数学命题的拓广

在本刊2004年第13期，杜玲玲老师研究了如下不等式命题的多种拓广。     

也谈一个数学命题的拓广

在本刊 2 0 0 4年第 1 3期 ,杜玲玲老师[1 ]研究了如下不等式命题的多种拓广 :原命题　已知 :a,b,c∈ R ,且 a1 a b1 b c1 c=1 ,求证 :a b c≥ 32 .受杜老师的启迪 ,本文拟对该不等式作进一步研究 ,对杜老师的拓广命题进行结构的重新调整和结论的统一推广 .1　命题结构的重新调整数学命题的叙述应简洁优美 ,数学命题的条件还应易于检验 .在数学解题的教学与研究中 ,应善于转化命题的叙述 ,以使数学命题更加简洁优美 ,使形似不同的问题的本质联系更加易于发现 .同时 ,通过对命题的转化“美容”,培养数学审美能力和发散创新思维能力…     

一个数学命题的加强

这是《数学通报》2005年第44卷第2期“数学问题与解答”中的第1541题,下面对原命题进一步加强,同时采用另一种证明方法．     

一个物理公式的数学拓广与应用

物理学上有个公式1/R=1/R1＋1/R2,它表明并联电路的总电阻的倒数等于各并联电阻倒数的和．我们用数学方法证明这个结论：     

一个物理公式的数学拓广与应用

物理学上有个公式1/R=1/R1+1/R2,它表明并联电路的总电阻的倒数等于各并联电阻倒数的和.我们用数学方法证明这个结论:证明如图1,设∠AOC=∠COB=60°,OA=R1,OC=R,OB=R2,因为S△AOB=S△AOC+S△COB,     

一个不等式的拓广

文 [1],[2 ]均对不等式“已知 :a >0 ,b >0 ,a3 +b3 =2 ,则a +b≤ 2”作出了一系列的讨论 .本文将给出该不等式的两个拓广 ,并由此证明了文 [2 ]末给出的猜想命题 1　若an +bn=2 ,a ,b∈R ,n≥ 2且n∈N ,则a +b≤ 2 ,ab≤ 1.上述命题为原不等式在指数上的推广 ,即文 [2 ]中猜想 1.证　 1)当a >0 ,b >0时 ,∵an+bn≥ 2anbn ,∴ 2anbn ≤ 2 ,即anbn≤ 1.∴ab≤ 1.又an+1+… +1n -1个 1+bn+1+… +1n -1个 1≥n nan +n·nbn,即na +nb≤ 2 +2 (n - 1) ,∴a +b≤ 2 .2 )若a <0 ,b <0 ,由题设n必为偶数 .此时 ,an+bn=(-a) n+(-b) n=2 .由 1)知 :(-…     

勾股定理的一个拓广

定理设00的直径DC一2左,O口,、00:、00:分别与00内切于刀、e、注,则00,、O认、003间两两外公切线长有如下关系: t}3(凡一,2) t;:(左一::)=tfZ(儿一几3)(1)其中‘,(‘护力表示O口‘与O仇的外公切线长,,‘是OQ的半径,且00.中的某一个(或全部)可能是“零圆”。(图1)即t}3(凡一,2) t;3(刀一,,)=tlZ(R一,3)· 显然,当。o,、002、00,均是“零圆、,时,(1)式所反映的就是勾股定理. 例O口的直径为BD,点p在BD上,O口.与002是分别以B尸、PD为直径的圆,它们的内公切线PA交O口于A,求‘2(图2) 解把点注看作“零圆”O。,设O。与O口,的外公切线长…     

一个不等式的拓广

Kantorovich 不等式的推广文〔4〕给出了x′Ay y′A~(-1)x/(x′xyy′)的上界,其中A是n 阶实正定阵,x、y 是n 维非零实向量。本文给出x′Ay y′A~(-1)x/(x′xy′y)的上界和下界,其中A 是任何n×m 实矩阵,A~(-1)是A 的广义加号逆,x、y 分别是n 维和m 维非零实向量。     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

数学竞赛命题中的一个基本图形

如图所示，设面△ABC的三内角平分线分别交三边于A0、B0、C0，交其外接圆于D、E、F；又交△DEF的三边于A1、B1、C1．点M、N；P、Q；R、S分别是△ABC与△DEF三边的交点．记A．B、C为△ABC的三内角，其对边分别为a、b、c；D、E、F为△DEF的三内角，其对边分别为a’b’c’R（R’）、r（r’）、p（p’）、S（S’）分别为△ABC（△DEF）的外接圆半径、内切圆半径、半周长和面积，△ABC的内心为I．这一常见的构图，可以衍生出一系列数学竞赛题．题1AD⊥EF．（199且年第32届IMO加拿大训练题第6题）知类似可知故I为西DEF…     

一个数学命题的三种几何解释

新编教材《高中数学》第二册 (上 )Ｐ11习题6.2题 3 :已知ａ ,ｂ都是正数 ,求证 :21ａ+1ｂ≤ａｂ≤ａ +ｂ2 ≤ ａ2 +ｂ22 当且仅当ａ =ｂ时等号成立 .通常称 ａ +ｂ2 为算术平方数 ,ａｂ为几何平均数 ,21ａ+1ｂ为调和平均数 ,ａ2 +ｂ22 为二次幂平均数 .教材中给出了ａｂ≤ ａ +ｂ2 的一种几何解释 (从略 ) ,现给出这一命题的另外几种几何解释 ,供同学们学习时参考 .1　以直角三角形为基础 ,构造模型图 1如图 1 ,以 ａ +ｂ2(ａ >ｂ)长的线段ＡＢ为直径作半圆 ,以Ａ点为圆心 ,ａ -ｂ2 长为半径作弧交半圆于Ｃ ,连结ＡＣ ,ＢＣ ;过点Ｃ作ＣＤ…     

全局极值定理的一个拓广

本文在有限维Ｈｉｌｂｅｒｔ空间上改进了全局极值定理并给出了改进后定理的某些应用．     

数学归纳法应用功能的拓广

人们通常认为 ,数学归纳法用于证明与自然数有关的命题 ,采用的是等距的“间断归纳”(第二步无限递推从n =k命题成立 ,推出n =k+1时命题成立) ,是否存在等距的(或不等距的 )“连续归纳”?一、连续归纳证不等式一例下面抛砖引玉 ,以一个不等式的证明对此作出了正面的回答 ,希望有兴趣的读者继续研究 ,探索发现“连续归纳”更多的应用 .例　证明不等式 :2 x>97x2 ,x∈ (6,+∞ )证明　 (6,+∞ ) =(6,7]∪(7,8]∪…∪ (n ,n+1 ]∪… ,x∈ (6 ,7]时 ,2 x>2 6=64,97x2 ≤ 97× 72 =63,这就证明了n =6 ,x∈[6,7)时不等式 2 x>97x2 成立 ;假设n =k时…     

数学问题的拓广与教学

本文中所谓数学问题的拓广,是指把一些简单的或已经得到解决的问题所代表的思路在新的领域或条件下充分展示。它在问题的提法上与已知命题具有相似性,但它不完全是已知     

数学问题1786的简解与拓广

<数学通报>2009年4月号数学问题1786题是一道命题:已知锐角△A1A2A3内接于半径为R的圆O,圆心O到△A1A2A3三边的距离分别为d1,d2,d3.证明:R(d12+d22+d32)+2d1d2d3=R3. 原解答利用凸四边形的托勒密定理和齐次线性方程组理论,证明较为繁杂.本文利用三角形的面积、正弦定理和一个熟知的三角恒等式给出(1)式的一个简证,并将结论拓广至直角三角形和钝角三角形.     

三角形的一个性质的证明及拓广

文[1]给出了三角形的一个简捷的性质:已知ΔABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1:λ2:λ3.对这一结论,我们给出一个证明并适当拓广:1性质证明图1三角形证明:建立如图1所示的直角坐标系,设A(a,0),B(bcosα,b     

一个数学命题的简证、拓展与应用

《数学通报》2012年10月号问题2087(本文称命题1)为:命题1椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆中心为圆心且过长轴顶点的圆.问题提供者在2012年11期给出的解法思路是:先解方程组求出焦点在椭圆切线上的射影的坐标,再求出射影的轨迹方程,解答比较繁琐.本文抓住问题的本质,利用椭圆切线的性质从几何角度给出问题的简证,并将结论拓展到双曲线和抛物线,最     

三角形的一个性质的证明及拓广

文[1]给出了三角形的一个简捷的性质： 已知ΔABC及其内部一点P，若λ1PA＋λ2PB＋λ3 PC=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3．     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质: 命题1如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且→AM=x→AB,→AN=y→AC,则1/x+1/y=3.     

三角形的一个向量性质及其空间拓广

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行了探讨，笔者阅读后深受启发，得到了三角形的一个向量性质，并进行空间拓广．