封闭折线中的一个幽美不等式

本文所述的封闭折线，若无特别声明，都是指空间封闭折线（包括平面封闭折线在内）．定义1封闭折线A1A2A3…AnA1的任意两条相邻的边所成的劣角（小于平角的角），称为这年封闭折线的顶角．顶点为Ai的记作Ai（i＝1，2，…，n）．定义2所有项角都相等的封闭折线，称为等角闭拆线；否则，就称为非等角闭折线．定义3在封闭折线A1A2A3…AnA1中，若点Bi是边AiAi＋1的内点（i＝1，2，…，n，且An＋1为A1，如图1所示），则封闭折线B1B2B3…BnB1称为A1A2A3…AnA1的内接闭折线，在本文的讨论中，约定封闭折线A1A2A3…AnA1的周长记作pA，…     

星形成为正星形的充要条件

设中A1,A2，…，An是凸n边形的n个顶点，顺次连接每隔r（0≤r<-1）个点的两点，所组成的封闭折线，称为r阶n边星形．记作A（n，r）．其中厂称为这个星形的阶数或生成数．这个凸n边形A1A2…An称为该星形的外接n边形．若A（n，r）是由一条封闭折线组成，则A（n，r）称为素星形；若A（n，r）是由几条封闭折线组成,则称为合星形．其中每一条封闭折线称为合星形的一支．若A（n，r）的外接n边形是正n边垦形，则A（n，r）是正r阶n边星形，简称为亚星形．正”边形的中心，就称为正星形的中心．正星形可分为正素星形与正合星形两类．定理1若A（…     

蝶形初探

两个对顶的三角形，如图1（甲），就构成一个蝶形ABCD，也即有一个自交点的四边封闭折线．和，从而它七个项角的和等于一个ACF同一个四边形BDEG内角的总和，因此，是540°．在四边形中，两条对角线一连，就构成一对共生的蝶形，如图1（乙），在梯形、平行四边形研究中，派上了大用场．在三角形内任取一点E，如图1（丙），将顶点和这点连结延长，即把三角形划分为三个共生蝶形，它们不仅在三角形的各心，而且在高、角平分线、中线研究中发挥着独特作用．圆周角定理、相交弦定理，如图1（丁）的研究，也离不开蝶形．笔者试翻了近年各省市…     

平面折线的有向顶角及其求和公式

平面折线的有向顶角及其求和公式王方汉（武汉市二十三中４３００５０）１问题的提出边不自交的折线称为简单折线．简单封闭折线称为多边形．ｎ边形坏论凸凹）的内角记为其内角和公式为由于非简单折线一般无法区分其内外部，所以无“内角”概念．文献［１］规定：折线顶点...     

折线基本性质初探

为了从整体上掌握众多直线形的特征,应对折线的结构性质作一般考查,本文着重探讨平面折线的若干基本性质 1 折线的一般性质平面上一些线段顺次首尾相接构成的图形称为平面折线,我们约定,任何端点不在另外的线段上,构成折线的线段称为边,线段的端点称为顶点,共顶点的两边称为邻边,共边二顶点称为邻顶点,如果折线每条边都有两条邻边,就称为封闭折线,否则为开折线。定理1 n边封闭折线有n个顶点;n边开折线有n 1个顶点。边不相交的折线称为简单折线,简单封闭折线称为多边形,多边形划分平面的两部分,其中有限部分称为多边形内部,不难证明。定理2 n边形内部可用不相交的对角线划分为     

平面闭折线的分解及应用

平面闭折线的分解及应用姚勇（四川永川重庆印制六厂６３２１６０ｎ边闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ，熟知行遍它可有两个方向，一个是Ａ１→Ａ２→…→Ａｎ→Ａ１，常简记为Ａ１→Ａ２，另一个方向与此相反，简记为Ａ２→Ａ１．闭折线边之间交点（非顶点）称为自交点．无自交点的...     

在“MM教育方式”指导下运用计算机辅助教学一得

首先让我们看一个问题：如图1，在四边形ABCD中，分别从四个顶点A、B、C、D向对角线作垂线AE、BF、CG、HH，垂足分别为E、F、G、H．求证：四边形ABCD一四边形EFGH．我们把这个问题相应的图形输入计算机，让D点运动，当D点进入△ABC之内时，凸四边形一ABCD变为四四边形ABCD，我们看到四边形EFGH也变为四四边形（图2）；当D点运动到与A关于BC的异侧时，凸四边形变为有自交点的四边闭析线（蝴蝶形），四边形EFGH也变化为蝴蝶形（图3）．试问：它们是否能保持分别同原图形相似呢？按初中几何课本所说：“形状相同的图形是…     

四边形中的趣味竞赛题(上)

<正>在平面上由首尾相连的四条线段组成的封闭图形,叫做四边形.四边形可以分为凸四边形,凹四边形和交叉四边形.四边形具有四个顶点和四条边,我们一般研究凸四边形,也就是将每条边延长为直线后,其余各边都在这条边所在直线的一侧,四边形中没有公共顶点的两条边叫做对边,没有公共边的两个角叫做对角,对角顶点的连接线段叫做四边形的对角线.没有特别声明,今后     

封闭折线的同侧点及其性质

本文所讨论的封闭折线，都是平面封闭折线．定义1设M是封闭折线A2A2A3…AnA1所在平面内的定点．，动点P沿着这条析线的边A2A2，A2A3，…，AnA1依次行进，若定点M始终处于动点P行进方向的左侧（或右侧），则点M称为这条封闭折线的左侧点（或右侧．戈）．左侧点与右侧点统称为同侧点．定义2一条封闭析线的所有同侧点组成的集合，称为这条封闭折线的同侧域．例如，困1中的点M就是封闭折线AIA。A3…A7AI的同侧点，阴影部分（不包含边界）是这条封闭拆线的同侧城．定义3设封闭折线AIAZA3…A。AI有同侧，k．M，若，k．M位于ZA。A；…     

面积等式的一种证法

本文约定，按照反时针顺序排列n（n>3，nN）边形的顶点：A1（x1，y1），A2（x2，y2），……，An-1（xn-1，yn-1），An（xn，yn）．n边形的面积S－＝MIj。Zt、I．、。。…、；．、；、，J“＼y！yZ””’yn－ly。yil一7卜IyZ＋xZy3＋”””十x。－I人十xJ！一（yllZ－I－y。2。＋…－I－y。；2。－I－ygn；）］［‘］（l）本文应用公式（豆）证明一些数学竞睿试题中的面积等式（面积不等式另文介绍）．例1在凸四边形ABCD中，E、F分别是BC、DA的中点．已知凸W面积为2．8，thAED面积为2．4，求四边形ABCD的面积（1990年安庆市…     

关于序号数列的遍历性

关于序号数列的遍历性王方汉（武汉市二十三中４３００５０）一、序号数列遍历性与星形生成的关系由凸ｎ（ｎ≥３）边形的边或对角线组成的ｎ边封闭折线，称为ｎ边星形．沿着ｎ边星形所在圈的某一方向（逆或顺时针），将它的顶点标号为１，２，…，ｂｉ，…，ｎ，ｎ＋１，...     

配极四边形面积研究

<正>配极四边形定义四边形ABCD内接于圆,以该四边形的顶点为切点,作外接圆的四条切线,四条切线构成的封闭图形为圆外切四边形EFGH,此圆外切四边形与原内接四边形互为配极四边形.定理1内外配极四边形面积的关系式为     

一个序号数列遍历性猜想的证明

1 引言--几个相关概念 由凸n(n≥3,n∈N)边形的边或对角线组成的n边封闭折线,称为n边星形.沿n边星形所在圈的某一方向(逆时针或顺时针)将它的顶点依次标号为1,2,…,bi,…,n,m+1,…,并约定bn+i与6i是同一顶点的标号.     

whc32的解决

ｗｈｃ３２的解决张汉清（山西财专基础部０３００２４）既有内切圆又有外接圆的四边形称为双圆四边形，又叫双心四边形．９０年代初，对双心四边形的研究曾经盛极一时，得到了许多图１有趣的性质．如图１，双心四边形ＡＢＣＤ的外接圆为⊙Ｏ，内切圆为⊙Ｉ，⊙Ｉ切四边于...     

圆内接闭折线垂心的一个性质

从闭折线A1A2A3…以An的n个顶点中,任意除去3个顶点Aj、Am、Al(1≤j相似文献   

双圆封闭折线一类特例研究

杨之先生在其名著[1 ] 中倡导研究的“双圆多边形”是指既有外接圆又有内切圆的多边形 .仿此 ,我们给出下面的定义　若一条封闭折线的顶点都在一个圆上 ,每条边都与另一个圆相切 ,则称该折线为双圆封闭折线 .相应地 ,若它的边数为 n,环数为 k,则称为 n边 k环双圆封闭折线 .图 1     

完全四线形的牛顿线定理的推广

完全四线形的牛顿线定理的推广刘毅（齐齐哈尔教育学院１６１００５）四条直线两两相交于六点所形成的图形叫做完全四线形．一个完全四线形有四条边和六个顶点，不共边的两个顶点称为对顶点，其连线称为对顶线．下面定理是由著名的英国数学家牛顿发现的．定理完全四线形的...     

非等边的双圆闭折线的存在性

非等边的双圆闭折线的存在性熊曾润（江西赣南师范学院３４１０００）既有外接圆又有内切圆的闭折线，称为双圆闭折线．众所周知，正星形（例如正五角星和正多边形）是双圆闭折线，且其各边相等．现在要问：对任意给定的正整数ｋ和ｎ（ｎ＞２ｋ，且（ｎ，ｋ）＝１），是否...     

一个几何模型的构建及其应用

在多边形与圆的关系中,下面的问题为我们提供了一个几何模型,即平面上任意多边形是否可以通过改变顶角（各边长及其顺序不变,能内接于唯一的一个圆？为了方便建模,我们对平面上折线的刚体运动作如下定义：在平面上一条折线的任意折点处,相邻两边所夹的角可以连续地改变,而折线的各边长及其顺序保持不变的几何变换,称之为折线的刚体运动;一个任意多边形是由一条封闭折线所围成,封闭折线的刚体运动如同在多边形的顶点处用柔韧的关节使各边连接起来,通过改变在关节处的角度使这个由关节连成的系统变形;现提出如下假设：１．设多边形…     

复数形式的多边形面积公式

在约定了用大写字母既表示点,也表示相应的复数后,文［１］给出了任意△ＡＢＣ复数形式的面积公式：Ｓ△ＡＢＣ＝１２Ｉｍ〔（Ｂ－Ａ）（Ｃ－Ａ）〕　（Ⅰ）文［２］给出了平面上任意四边形ＡＢＣＤ复数形式的面积公式：ＳＡＢＣＤ＝１２Ｉｍ〔（Ａ＋Ｂ－Ｃ－Ｄ）（Ｂ－Ｄ）〕　（Ⅱ）并且当△ＡＢＣ、四边形ＡＢＣＤ的顶点按逆时针绕行时,（Ⅰ）式和（Ⅱ）式的右边为正值;反之,（Ⅰ）式和（Ⅱ）式的右边为负值,此时应取它的绝对值;本文试图把上述公式推广为平面上任意多边形的面积公式;先对上述两个公式分别作规范化变形：Ｓ△ＡＢ…