“有理数无理数问题”证明方法谈

在数学上,判断和证明一个实数是否为有理数,有时是很重要的。长期来,人们对两个重要无理数“π”和“e”的研究就是突出的例子,正由于此,国内外数學竞赛的命题者不时编拟出此方面的问题。本文,试就一些典型问题谈谈此类赛题的证明方法。一、根据定义判断和证明无限不循环小数叫做无理数:有限小数或无限循环小数是有理数。有理数总可以表示成既约分数P/q的形式,而无理数则不能。这些定义是判断和证明“有理数、无理数”问题的基础。     

利用有理数≠无理数解题

众所周知,任何一个实数要么是有理数,要么是无理数,两者必居其一而且只居其一,我们将实数集合的这一性质简称为有理数≠无理数。许多和实数有关的证明题,乍一看似乎感到难于下手,但若利用上述性质来证,常可使问题迎刃而解。现举例说明如下。     

有理数、无理数与实数

本文用通俗的语言向大学一、二年级学生介绍有理数,无理数与实数的基本性质,旨在把抽象的概念与艰涩的证明转化成有趣易懂的概念与方法.     

译名小议

近与人谈话以及从书上所见对当前数学中的一些译名似有商榷的必要。 1.外语中一个字附上前缀(字头,Prefix)或后缀(字尾suffix)则所产生的新字关于原字的含义多有所变动。 例如英语中Differentiable Manifold一词是当代数学中的一个重要分支,它与许多分支的关系都很密切。这词在法语中叫Variété Différentiable,德语     

无理数“生”无理数

学习了无理数后,同学们知道了无理数有根号型,如2~(1/2),3~(1/3),3(5~(1/5))等等,但要注意,带根号的数并非都是无理数,如9~(1/9),3(27~(1/27))是有理数;无理数有构造型,如0．101001000100001 ……(两个1之间依次多一个0), 4.212112111……(两个2之间依次多一个1); 无理数有特定型,如π,e．到高中学习阶段,     

Ⅱ.无理数的无理数次幂一定是无理数

题:无理数的无理数次方一定是无理数吗?为什么?这是一个判断题,则要求在事实的基础上加以判断。如果答案是否定的,则我们至少可以找出一个反例来,即至少可找出一个无理数的无理数之幂是有理数的情况来,我们有这样的反例吗?一个个地去找不就象大海捞针了?!鉴此,我们是否可以考虑问题的     

无理数e

在数学中有两个重要的无理数：π和e．我们知道π是圆的周长与直径之比，那么e又是怎样定义的呢?1nx为什么叫自然对数?在高中学习了指数函数和对数函数后，就初识了无理数e，对e，e^x，1nx，中学生往往有神秘莫测之感，下面我们就来谈谈这个问题．     

破译无理数

一、无理数不无理无理数,并不“无理”,它和有理数一样,都是现实世界的量的反映,“无理数”只是人们习惯采用的名称而已,它丝毫也不表示没有道理的意思．无理数和有理数一样,有无数多个．二、无理数的特征无理数是无限不循环小数．这说明无理     

小议“负数”

<正>负数知识,对我们来说,真是最寻常不过的事.早在小学五、六年级已开始学习和应用了.但是在人类的认识过程中,却经历了漫长的时期,从数的发展史看,早在两千多年前,我国就有了正、负数概念,比埃及、印度早六、七百年,比欧洲早了一千多年.这些内容在我国古代数学书《九章算术》中就有记载,后来,三国时的数学家刘徽曾有过详细说明:"正算赤,负算黑.否则,以邪正为异",意思是说,"用红色的小棍摆出的数表示正数,用黑色的小棍摆     

“有理数加法法则”的导学设计

通常的“有理数加法法则”的教学 ,是重操作轻理解教法的一个典型 .这也是目前的这种考查方式的一个结果——考试指挥棒的现行指挥方式的作品     

概率与无理数

概率是我们熟知的内容,无理数又与概率有什么关系呢?下面就几个无理数在概率方面的意义来作一阐述,让我们重新来认识无理数与概率之间的关系.     

师生共话无理数

学生　有理数和无理数有什么区别 ?老师　主要区别有两点 :1.把有理数和无理数都写成小数形式时 ,有理数能写成有限小数或循环小数 ,比如 4 =4 .0 ;45=0 .8;110 =0 .1;13=0 .333…而无理数只能写成无限不循环小数 ,比如 2 =1.4 14 2… ,根据这一点 ,人们把无理数定义为无限不循环小数 .2 .所有的有理数都可以写成两个整数之比 ,而无理数却不能写成两个整数之比 .根据这一点 ,有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子 ,把有理数改叫“比数” ,把无理数改叫“非比数” .本来嘛 ,无理数并不是不讲道理 ,只是人们最初对它太不理解罢了 .学生　无限小…     

无理数的自白

我的名字叫"无理数",是实数家族中重要成员之一,我和我的好兄弟"有理数"精诚合作,团结一心,共同构建了我们实数家族的和谐"社会".     

有理数

第１课正数与负数一、教学目标了解正数与负数在实际生活中的作用，理解正数和负数的概念，会初步应用正负数表示相反意义的量。二、观察、阅读与思考：（读书Ｐ４２－４７）１、观察（Ｐ４２图）并回答：北京冬季的最高气温是（Ｃ。），夜晚的最低温底是零下（Ｃ。）。思...     

趣谈无理数e

有一个关于高利贷的故事 :商人向财主借钱 ,条件是每借 1元到一年时归还 2元 ,即年利率为10 0 % .财主想如果每半年结一次账 ,利息岂不更多 ?因为半年的利率是 5 0 % ,即借一元到半年时还 1.5元 ,又把 1.5元作为本金借给商人 ,再过半年 ,即到了年底 ,又收利益 1.5× 5 0 % =0 .75 (元 ) .这样 ,一年利息是 1.2 5元 ,比原来的 1元利息多了 0 .2 5元 .半年结算一次 ,即一年结算两次 ,用算式表示 ,1元钱到一年时归还 1+ 122 =2 .2 5 (元 ) .财主马上又想 ,如果一年结算 3次 ,4次 ,… ,36 5次 ,甚至随时结算 ,它不发了大财 ,他便让账房先生算一…     

小议“分段函数”

我已有四十多年没有教工科和理科的《高等数学》课了．不知道从什么时候、哪一本教材开始,出现了“分段函数”这一名称．看书中解释,大意是指函数因不同区间有不同的解析表达式者．我心中产生了一些疑问．首先,“解析表达式”这一名词本身是模糊的,它并没有精确的定义．如果指的是初等函数表达式,就说是初等函数好了,何必用此名词呢？如果还包含有别的,如初等函数序列的极限以及被积式为初等函数的变上限积分等等,那就范围太宽了．例如,著名的狄里克莱函数当X为有理数,当X为无理数在整个数轴上就有了统一的解析表达式而不需分段…     

“有理数的乘方”教学实践与反思

“有理数的乘方”是七年级数学起到承前启后作用的内容,它既是有理数乘法的推广和延续,又是学习有理数混合运算等的基础．因此在设计该课时时,笔者通过生活中的实例和学生已有的知识经验引入乘方的概念,在理解概念的基础上探索乘方的符号规律,通过适当的例题和练习掌握有理数乘方的计算．练习的设计应由简到难,自然过渡,应符合学生的认知规律．     

“有理数”的信息化2.0教学策略与实践

初中数学内容开始从感性知识转向理性知识,在这个转变过程中,学生容易出现抽象概念不能良好理解、性质知识学习容易掉队、规则知识不能快速实践等问题.针对这些问题,本文中以“有理数”的教学为例,设计采用信息化2.0教学技术,对抽象概念使用互联网访问实际案例的情境化教学来帮助学生物化理解,对渐进式的性质知识使用弹幕互动来帮助教师掌握学生掉队节点,对运算规则使用编程演练来帮助学生在动手操作中感知.本文中所提策略和方法,将数学知识的教学与多种信息技术有机融合,做出了将信息技术深度融入基础教育课堂教学的初步尝试,可为他人提供参考与借鉴.     

谈有理数乘法创设情境中的“世界性难题”

教学设计是课堂教学的起点,反映出老师的教学理念和教学策略,体现了以数学知识发生发展过程为载体的"思维的教学"的基本特征.许多初中数学教师对苏教版数学七年级上"有理数的乘法"教学中的问题情境产生困惑,感觉学生对水位的知识不是很熟悉,并不贴近学生的生活.即使有老师的讲解,学生理解这个抽象的过程还是有困难.所以说在有理数的乘法中,创设"负数×负数=正数"的实际