Il principio di minima certezza e le sue prime applicazioni alla meccanica statistica

Sommario Si introduce il concetto di certezza di una variabile casuale. Si dimostra poi sulla base di questa nozione che è possibile dedurre da un principio di minimo la legge di distribuzione diMaxwell-Boltzmann per l’energia senza imporre con ciò alla distribuzione dei punti rappresentativi nello spazio delle fasi di essere di tipo boltzmanniano.

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Résumé On a introduit la notion de certitude d’une variable aléatorie. On montre que sur la base de cette notion on peut déduire avec un principe de minimum la distribution deMaxwell-Boltzmann pour l’énergie sans que la distribution sur l’espace des phases soit du type deBoltzmann.

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Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Teoria di morse sul complementare d'una sottovarietà

Riassunto Si introduce la nozione di funzioni di Morse per una coppia di varietà differenziabili (X, Y) oveY è una sottovarietà chiusa inX. Si mostra che tale nozione è generica e coincide con quella di funzione stabile; inoltre si associa ad una tale funzione una equivalenza omotopica con unCW complesso. Si danno inoltre delle applicazioni.

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Resumé On introduit la notion de fonction de Morse pour un couple de varietés differentielles (X, Y), oùY est une sous varieté fermée dansX. On démontre, comme pour le cas classique, que c'est une notion générique et que c'est la même que celle de fonction stable; en plus on associe à une telle fonction une equivalence d'homotopie deX−Y avec unCW-complexe. On donne aussi des applications.

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Lavoro eseguito nell'ambito del GNSAGA del C.N.R.     

Una condizione di ergodicità per l’energia cinetica

Riassunto Si considera un sistema dinamico ooonomo ad un solo grado di libertà. Si semplifica la condizione di ergodicità di una variabile aleatoria e di tutte le funzioni di essa, data in un lavoro precedente da, B. Forte; questa nuova forma della condizione di ergodicità viene poi usata per stabilire a quale condizione necessaria e sufficiente deve soddisfare il potenziale della sollecitazione agente sul sistema perchè l’energia cinetica e tutte le funzioni di essa siano ergodiche.

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Résumé On considère un système dynamique à un degré de liberté. On simplifie la condition d’ergodicité d’une variable aléatoire et de toutes ses fonctions, donnée dans un travail précédent par B. Forte; ensuite on emploie cette nouvelle forme de la condition d’ergodicité pour établir à quelle condition nécessaire et suffisante doit satisfaire le potentielU du système pour que l’énergie cinétique et toutes ses fonctions soient ergodiques.

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Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Sulla ergodicità delle funzioni di una variabile aleatoria

Riassunto Dato uno spazio di probabilità (Ω.F,m) ed una trasformazioneT di Ω in Ω, si studiano alcune proprietà ergodiche della trasformazione indotta da una variabile aleatoria sul suo codominio. Si dà una condizione necessaria perchè sia ancora ergodica ogni funzione di una variabile aleatoria ergodica assegnata. Si stabilisce una condizione sufficiente per la ergodicità di una variabile aleatoria.

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Résumé Etant donné un espace de probabilité (Ω,F,m) et une applicationT mesurable de Ω dans Ω, on étudie certaines propriétés ergodiques de la application induite par une variable aléatorie sur son image. On donne une condition nécessaire pour que la fonction composée d’une variable aléatoire ergodique soit encore une variable aléatorie ergodique. On établit une condition suffisante pour l’ergodicité d’une variable aléatoire quelconque.

     

Sull’attenuazione dei modi non degeneri nelle guide a pareti assorbenti

Riassunto Si espone un metodo generale per il calcolo dell’attenuazione dei modi non degeneri che possono propagarsi in una guida d'onda a pareti non perfettamente conduttrici, alla cui superficie interna sia verificata la relazione diSchelkunoff. Di questo metodo che, a differenza di quello energetico, è valido auche a frequenze prossime o uguali a quelle critiche, è data poi un'applicazione al caso (di notevole interesse tecnico) dei modiTE ₀ della guida rettangolare: si perviene così ad una formola per l'attenuazione che, per la sua validità anche alle frequenze critiche può avere notevole interesse applicativo.

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Résumé On expose une méthode générale pour le calcul des affaiblissements relatifs aux ondes non dégénérées qui peuvent se propager dans un guide à parois non parfaitement conductrices dans l'hypothèse qu'à la surface intérieure des parois soit vérifiée la relation deSchelkunoff. De cette méthode qui, à différence des procédés énergétiques est valable aussi aux fréquences critiques, on fait de plus une application au cas (d'intérêt tecnique remarquable) des ondeH ₀ du guide à section rectangulaire, en donnant une formule de l'affaiblissement qui, en raison de sa validité aux fréquences critiques, peut avoir quelque intérêt au point de vue des applications.

     

Nuovi risultati nella teoria diametrale delle superficie algebriche

Riassunto Nella presente Nota metto in rilievo anzitutto una corrispondenza [1, (n−1)²] che sussiste fra i piani diametrali di una superficie algebrica di ordinen e le corrispondenti direzioni coniugate e ne deduco la proprietà che i piani diametrali si dispongono a gruppi di (n−1)² piani paralleli. Ciò posto, procedo alla ricerca dei piani diametrali autoconiugati e mutuamente coniugati della superficie in riferimento al comportamento della stessa superficie con il piano all’infinito ponendo particolare riguardo alle superficie di ordinen (pari) aventi in comune con il piano all’infinito una conica contatan/2 volte (quadriche generalizzate).

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Résumé Dans cette Note j’établis avant tout, une correspondance [1, (n−1)²] qui existe pour les plans diamétraux d’une surface algébrique générale d’ordren et les correspondantes directions conjuguées et j’en déduis la propriété que les plans diamétraux de la surface se disposent en groupes de (n−1)² plans parallèles. Cela posé, je proiede à la recherche des plaus diamétraux autoconjugués et mutuellement conjugués de la surface à l’égard de la nature de la courbe d’intersection de la surface avec le plan à l’infini, considerant particulièrment les surfaces d’ordren (pair) qui recontrent le plan à l’infini suivant une conique comptéen/2 fois (quadriques généralisées).

     

Una proprietà dei simboli non-omogenei,e degli operatori pseudo-differenziali associati

Riassunto In questo lavoro si considera la classe di simboli da noi introdotti nel lavoro [2] e si dimostra che tale classe è invariante rispetto a una certa trasformazione di variabili nello spazioR _ξ ⁿ ; in seguito, una certa maggiorazione per operatori pseudo-differenzialiA(x, D) associati a simboli ellittici, viene ottenuta.

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Résumé Dans ce travail on considère la classe de symboles introduite par nous dans le travail [2] et on démontre que cette classe est invariante par rapport à une certaine transformation de variables dans l'espaceR _ξ ⁿ ; ensuite une certaine majoration pour opérateurs pseudo-différentiels associés aux symboles elliptiques est obtenue.

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Questo lavoro è stato effettuato mentre l'autore godeva di una sovvenzione del Centro Nazionale delle Ricerche del Canadà. ≠ 6445, attraverso l'Università di Montréal.     

Convergenza in variazione e convergenza in lunghezza

Riassunto Viene stabilita, per le trasformazioni continue di una regione piana pluriconnessa, una maggiorazione per il numero delle imagini reciproche di un insieme dik punti del piano-imagine. Dalla disuguaglianza discende una limitazione superiore per il numero dei punti ?eccezionali?, ossia aventi un numero di modelli minore a quanti ne comporterebbe l'indice topologico.

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Résumé On établit, pour les transformations continues d'une région plane à plusieurs contours, une majoration du nombre des points de l'ensemble image-inverse d'un ensemble dek points du plane-image. Il en ressort une borne supérieure pour le nombre des points exceptionnels, c'e.-à-d. ayant moins d'images inverses qu'on s'attendrait de l'indice topologique.

     

Una formula asintotica per le differenze modificatee k (n) dell’ algoritmoQD

Sunto Si dà una formula asintotica per valutare le differenze modificatee _k ⁽ⁿ⁾ delYalgoritmo QD quandon tende all’infinito. Tale formula suggerisce un facil criterio per il controllo della perdita di precisione dovuta agli errori di arroton damento cui tale algoritmo è soggetto.

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Résumé On donne une formule asymptotique pour évaluer les différences modifiéese _k ⁽ⁿ⁾ de l'algorithme QD lorsquen tend vers l'infini. Cette formule suggère une méthode simple pour effectuer un contr?le de la perte de précision due aux erreurs d'arrondi, à laquelle cet algerithme est sujet.

     

Sull’entropia di ordine α

Sommario Si propone per l’entropia di ordine α un sistema semplificato di assiomi, basato sull’assunzione di una definizione modificata dell’entropia condizionata. Il sistema tende in maniera continua al sistema classico per l’entropia diShannon.

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Résumé On propose pour l’entropie α un système simplifié d’axiomes, en s’appuyant sur une définition modifiée de l’entropie liée. Ce système tend d’une fa?on continue au système deShannon lorsque α→1.

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Lavoro eseguito per il C.N.R.—Gruppo di Ricerca n. 7. L’autore è grato al Prof.B. Forte per i suoi preziosi suggerimenti.     

Sur le principe de l'équipartition de l'énergie dans la théorie statistique des milieux continus

Sommaire On formule et démontre un principe d'équipartition de l'énergie dans la thèorie statistique des milieux continus, considérés comme milieux possédant une infinité dénombrable de degrés de liberté. Un tel principe s'accorde avec le principe classique d'é₁uipartition de l'énergie, relatif aux milieux à un nombre fini de degrés de liberté, et il en est une extension naturelle. Travaux exécutés pour la réalisation du programme du Groupe de recherche n^o 7 du C. N. R. (1962–1963). Le principe de l'équipartition de l'énergie, traité dans le § 3 a été établi parB. Forte. Les liaisons entre ce principe et le principe classique ont été developpées par M.lleBraccini, auteur aussi de l'introduction de cet ouvrage.     

Sulla riducibilità delle curve algebriche sghembe ottenute per «piccola variazione» sopra superficie algebriche irriducibili

Riassunto In questa Nota viene data una condizione per stabilire se, partendo da una curva algebrica sghemba riducibile situata sopra una superficie algebrica irriducibile di ordine qualunque ed operando per ?piccola variazione? sulla superficie stessa, sia possibile ottenere una curva algebrica sghemba irriducibile o, se irriducibile, abbia a contenere una o più componenti della curva data.

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Résumé On donne une condition pour vérifier s’il est possible, à partir d’une courbe algébrique gauche réductible placée sur une surface algébrique irréductible d’ordre quelconque et en opérant par ?petite variation? sur la même surface, d’obtenir une courbe algébrique gauche, irréductible ou, si réductible, contenant une ou plusieurs composantes de la courbe donnée.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività del Gruppo di ricerca n. 26 del Comitato Nazionale per la Matematica del C.N.R. per l’anno accademico 1964–65.     

Sulle pseudo-probabilita’ associate all’informazione

Sommario Si definiscono pseudo-probabilità quelle funzioni di evento associate alla funzione di informazione quando si postula per l’informazione della unione di due eventi una legge di carattere universale. Si studiano le principali proprietà delle pseudo-probabilità e si dimostra che esse sono caratterizzate da una classe particolare di soluzioni di una equazione funzionale.

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Résumé On définit pseudo-probabilité les fonctions d’événement associées à la fonction d’information quand on postule que l’information de deux événements suit une loi à caractère universel. On étudie les principales propriétés des pseudo-probabilités et l’on démontre qu’elles sont caractérisées par une classe particulière de solutions d’une équation fonctionelle.

     

Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’un groupe de Lie compact commutatif

Résumé Nous montrons dans cet article comment les connaissances acquises sur les espaces fonctionnels de source le classifiant du groupeZ/p ([La2], [DS]) et l’utilisation de MU-résolutions instables permettent d’obtenir des résultats sur les espaces fonctionnels de source le classifiant d’unp-groupe abélien fini ou d’un tore si l’on impose au but d’avoir une cohomologie à coefficientsp-adiques sans torsion. Nous montrons notamment que l’ensemble des classes d’homotopie d’applications du classifiant X d’un tore dans un espace Y simplement connexe dont l’homologie entière est nulle en degré impair et un groupe abélien libre de dimension finie en chaque degré pair, et dont la cohomologie rationnelle est polynomiale, s’identifie à l’ensemble des applications de la K-théorie de Y dans la K-théorie de X qui préservent la structure de λ-anneau. Le premier auteur a bénéficié pendant l’achèvement de ce travail d’une allocation de recherche de l’école Polytechnique.     

Sulla certezza condizionata

Riassunto Si dimostrano alcune proprietà della certezza di una variabile casuale

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Résumé On montre quelques propriétés de la certitude d’une variable aléatoire.

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Lavoro eseguito per la realizzazione del programma di ricerca del Gruppo n. 7 del C.N.R.     

Moltiplicatori(L^{\vec p} - L^{\vec q} ) degli integrali di Fourierdegli integrali di Fourier

Riassunto In questa nota si considerano gli spazi funzionali con norma mista, studiati daA. Benedek eR. Panzone, e vengono date delle condizioni sufficienti perchè una funzione misurabile sia un moltiplicatore dell’integrale di Fourier da a . Tali condizioni sono l’estensione di quelle trovate daP. I. Lizorkin nel caso degli spazi di LebesgueL ^p (R _n ).

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Résumé Dans cette note on considère les espaces fonctionnels avec norme mixte, étudiés parA. Benedek etR. Panzone, et l’on obtient quelques conditions suffisantes afin que une fonction mesurable soit un multiplicateur de l’intégral de Fourier. Ces conditions sont la généralisation de ceux découvertes parP. I. Lizorkin dans le cas des espaces de LebesgueL ^p (R _n ).

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Lavoro esequito nell’ambito dell’attività dei gruppi di ricerca matematici del C.N.R.     

Type des orbites périodiques des flots associés à des lagrangiens optiques homogènes

Résumé. Soit L : T M → ℝ un lagrangien optique et homogène dans la fibre défini sur le fibré tangent d’une variété orientable de dimension n et γ un lacet régulier 1-périodique qui est un point critique non dégénéré d’indice p de l’action lagrangienne associée à L (il lui correspond alors un point périodique (x, v) du flot d’Euler-Lagrange (φ_t )). Soit T une transversale en (x, v) au champ de vecteurs dans la surface d’énergie et P l’application de premier retour de Poincaré dans cette transversale; on montre alors que le nombre de Lefschetz pour P en (x, v) est (−1)^n−1+p. On en déduit que si 2n_h est le nombre de multiplicateurs de Floquet réels strictement positifs et non nuls, alors: n_h = n − 1 + p (mod 2). On explique comment déduire qu’un lagrangien optique quelconque défini sur le fibré tangent d’une variété orientable compacte de dimension paire de π₁ non trivial a une une orbite périodique qui est soit dégénérée, soit a un exposant de Floquet hyperbolique dans tout niveau d’énergie au dessus du niveau critique de Ma?é.      

Contributi alla geometria della retta

Riassunto In questo lavoro si studia la geometria sopra una retta con riferimento al gruppo delle congruenze, supposto non transitivo e con diverse ipotesi di rigidità. Si perviene a strutture algebriche di tipo generale, che suggeriscono varie operazioni di immersione e contrazione, e ciò mantenendo sempre vivo il legame con una intuizione che sia la più generale possibile della realtà empirica.

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Résumé Dans cet travail on étudie la géométrie sur une droite par rapport au groupe des congruences, supposé non transitif et avec des diverses hypothèses de rigidité. On arrive à des structures algébriques d'un type général suggérant diverses opérations d'immersion et de contraction, et cela en maintenant toujours la liaison par une intuition qui soit la plus générale que possible de la réalité empirique.

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Lavoro fatto nel gruppo di ricerca n. 25 del C.N.R.: ?Strutture algebriche e loro legami con la geometria moderna?.     

Défaut de postulation et singularités du schéma de Hilbert

Résumé Le résultat principal de cette Note est le Th. III.6 qui donne un procédé général pour exhiber des points singuliers de HilbP ³, situés sur une composante irréductible, génériquement lisse du schéma de Hilbert. Ces points singuliers représentent des courbes lisses, irréductibles deP ³. On étudie, plus en détail, le schéma de Hilbert des courbes lisses, irréductibles de dégré 18 et genre 39.

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Riassunto Il risultato principale di questa Nota è il Teorema III.6 che dà un procedimento generale per esibire punti singolari di HilbP ³, situati sopra una componente irriducibile, genericamente liscia dello schema di Hilbert. Questi punti singolari rappresentano delle curve liscie, irriducibili di ordine 18 e genere 39.

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Pendant la préparation de ce travail le premier auteur était ?professore visitatore del CNR? à l'Istituto Matematico, Università di Ferrara.