巧用整数的奇偶性解题几例

大家知道,任何一个整数要么是奇数,要么是偶数,两者必居其一而且只居其一,因此,有“奇数≠偶数”这一特性,许多有关的证明题,乍一看似乎感到难于下手,但若利用上述性质来证,常可使问题迎刃而解,现举数例说明如下。例1 设f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_n,是n次的整系数多项式,a_0,a_n,f(1)都是奇数,则方程f(x)=0没有有理根。(美国第十二届大学生数学竞赛试题)。证明假设x=p/q(p、q互质的自然数)是方程f(x)=0的有理根,则 a_0p~n+a_1p~(n-1)q+…+a_nq~n (Ⅰ)     

整数的多项式表示、性质及应用

对给定的一个p进制的n+1位正整数N,其各位上数字分别记为a_1,a_2,…a_(n+1),则此数可表示为: N=a_1p~n+a_2p~(n-1)+…+a_np+a_(n+1)其中a_i是整数,0≤a_i≤p-1 (i=1,2,…,n+1),且a_1≠0。当p为某一素数时,整数N、a_i、n及p之间具有下面性质:     

关于Chowla的一个猜想

在1978年赫尔辛基的ICM会议上,Apry给出(3)=sum from n=1 to (?) (1/n~3)是无理数的证明。为此,Apry定义了一个迭代数列a_n: a_0=1,a_1=5,n~3a_n-(34n~3-51n~2+27n-5)a_(n-1)+(n-1)~3a_(n-2)=0,(1) 它满足 这里Chowla在[1]中讨论了Apry数a_n的同余性质,他证明了a_(5n+1)≡0(mod p),a_(5n+3)≡0(mod p)以及对于奇素数p恒成立a_p≡5(mod p~2)。在文章最后     

Eisenstein定理的一种推广

定理 设 f(x)=a_0+a_1x+a_2x+…+a_nx~n(a_n≠0,n≥1是整数)是一个整系数多项式,并且f(x)没有有理根。如果能够找到一个素数p,使得 (1)最高次项系数a_n不能被p整除, (2)其余各项的系数都能被p整除, (3)一次项的系数a_1不能被p~2整除,那么多项式f(x)在有理数域上不可约。     

多项式函数奇偶性定理的证明和应用

在解题中,我们往往不自觉地应用了下面关于多项式函数奇偶性的定理: 定理多项式函数f(x)为奇函数(或偶函数)的充要条件是f(x)只含奇次项(或偶次项)。这个定理由于教材上未作介绍,而在解决这方面的问题时又经常用到,为此,笔者将此定理的证明写出,供参考。证明充分性是显然的。下证必要性。若f(x)为奇函数,即有f(x)=-f(-x)。我们写出多项式函数的一般形式,就有a_n(-x)~n+a_(n-1)(-x)~(n-1)+…+a_1(-x)+a。=a_nx~n-a_(n-1)x~(n-1)-…-a_1x-a (1) 若n为偶数,则有 2a_nx~n+2a_(n-2)a(n-2)+…+2a_2x~2+2a_o=0从而 a_n=0,a_(m-2)=0,…,a_2=0,a_0=0。     

n阶常系数齐次线性常微分方程通解的简单证法

<正> 方程a_0y~(n)+a_1y~(n-1)+……+a_(n-1)y’+a_ny=0(1)称为n阶常系数齐次线性常微分方程,这里a_0,a_1,…,a_n是一些常数,a_0≠0。(1)的通解表达式证明是很繁复的(譬如参见史捷班诺夫的常数微分方程一书)。我们来介绍一个简单的证法。用D来表示求导运算,即Dy=y’,则(1)可写成f(D)y=0 (2)其中f(D)是D的n次多项式f(D)=a_0D~n+a_1D~(n-1)+…+a_(n-1)D+a_n.(3)     

一元多项式

一般地,以χ为元的一元χ次多项式可以写成 a_nχ~n+a_(n-1)χ~(n-1)+…+a_1χ+a_0这里χ是确定的自然数,a_n≠0,χ称为f(χ)的次数,记作deg(χ)。多项式f(χ)是关于χ的函数,因此从函数角度研究其性质,探讨问题是十分自然重要的。如果多项式 f(χ)=a_nχ~2+a_(n-1)χ~(2-1)+…+a_1χ+a_0 与 g(z)=b_nχ~2+b_(n-1)χ~(2-1)+…+b_1χ+b_0的同次项系数都相等,即a=b_1,b=0,1,2,…,则称多项式f(χ)与g(χ)相等。显然,多项式f(χ)与g(χ)相等的充分必要条件是:次数相同,而且同次项系数都相等。特别地,称0为零多项式,这个概念也很有用。     

一个定理的应用一、二例

多项式a_nx~n+a_(n-1)~x~(n-1)+…a_1x+a。能被x-1整除的充要条件是a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0。根据因式定理,便可得到如下推论: “一元方程a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0=0, x=1是它的一个根的充要条件是 a_n+a_(n-1)+…a_1+a_0=0”。在初中数学中,为了证明上述推论,可用以下方法:设x=1是方程的一个根,则得a_n+a_(n-1)+…+a_1+a_0=0,证明了条件是必要的。次设条件成立,则得a_n(x~n-1)+a_(n-1)(x~(n-1))+…+a_1(x-1)=0,可知此方程有一根是x=1,证明了条件充分。     

常系数线性齐次递归式的一般解公式

本文给出常系数线性递归式 a_n=α_1a_(n-1)+α_2a_(n-2)+…+α_pa_(n-p),a_0=c_0,a_1=c_1,…,a_(p-1)=c_(p-1)的一般解公式 a_n=sum from k=0 to p-1(sum from i=k to p-1 c_iα_(p-i+k))F_(n-p-k)(n≥p),其中(?)     

用劈二次因子法解方程的一个三阶迭代格式

用劈二次因子法可以求出实系数多项式方程: f(x)=a_0x~n+a_1x~(n-1)+…+a_(n-1)x+a_n=0 (1)的复根,而避免复数运算。目前多采用具有二阶敛速的Bairstow方法,即设     

欧拉方程的直接解法

我们知道,对欧拉方程x~ny~(n) a_1x~(n-1)y~(n-1) … a_(n-1)xy′ a_ny=0(1)(a_1,a_2,…a_n为常数),可作变换x=e~t或t=1nx,得到常系数线性齐次方程(d~ny)/(dt~n) b_1(d~(n-1)y)/(dt~(n-1)) b_2(d~(n-2)y)/(dt~(n-2)) … b_(n-1)(dy/dt) b_ny=0 (2)     

一类无完整解数列题剖析

[题目]设数列{a_n}的前n项之和S_n,a_1=1且a_m~2+1=S_(n+1)+S_n(n∈N),求数列{a_n}的通项公式。(摘自新江《中学教研》1992年第七期《培养学生观察能力浅见》一文) 此题常见解法是: ∵a_(n+1)~2-a+_n~2=S_(n+1)-S_(n-1)=a_(n+1)+a_n (1) a_(n+1)~2-a_n~2=(a_(n+1)-a_n)(a_(n+1)+a_n) (2) 由(1)、(2)得:a_(n+1)-a_n=1 (3) 或a_(n+1)+a_n=0 (4) ∴数列{a_n}是公差为1的等差数列或公比为-1的等比数列。故a_n=a_1+(n-1)·1=n 或a_n=a_1(-1)~(n-1)=(-1)~(n-1) 此解法似无懈可击。现有一个不同于其解答的数列{b_m}:1、2、3、-3、-2、-1、1、-1、0、1、-1、…(其中当m≥10时,b_n=(-1)~n)也满足题设条件a_1=1和     

整数系数一元n次多项式系数的性质

我们已知定理:整数系数多项式f(x)=a_nx~n+a_(n-1)a~(n-1)+……a_1x+a_0有因式px+q(p,q为互质的整数)的必要条件是p为首项系数a_n的约数,q为末项系数a_0的约数。 利用这一定理及综合除法,我们便能进行一元多     

求等差数前列n项和的一个公式

设a_0,a_2,…,a_n,a_(n+1),…为等差数列,其公差为d,则有公式 (?)a_i~3=(a_n·a_(n+1))~2+(a_1a_0)~2/4d 下面给出证明。给定n个等式。 (a_n~2+da_n)~2-(a_n~2-da_n)~3=4da_n~3; (a_(n-1)~2+da_(n-1))-(a_(n-1)~2-da_(n-1))~2=4da_(n-1)~3; (a_(n-2)~2+da_(n-2))~2-(a_(n-2)~3 2-da_(n-2))~2=4da_(n-2)~3,…, (a_3~2+da_3)~2-(a_3~2-da_3)~2=4da_3~3,     

对一道数学题的质疑

前不久,某地区高中毕业班统考数学试题(理科)第七题为已知数列{a_n},其前n项和为S_n(n∈N), (1)若S_n=1+pa_n(-1相似文献   

等差数列的两个判定方法

本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2     

多項式值的几何求法

計算多項式 f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) a_2x~(n-2) … a_(n-1)x a_n的值。如所週知,可以用下面的方法ropnp来完成: P_0=a_0,P_1=P_0x a_1,P_2=P_1x a_2,…, …,P_n=P_(n-1)x a_n=f(x)。这些过渡的值P_1,P_2,…和最終的值可以用下面的方式几何地得到: (1)在与OX軸构成銳角的OY軸上,取(在正的方向)尺标綫段OM,通过点M引垂直于OX軸的直线ν。在OY軸上取线段OS,OS对应于要求算出f(x)的x值,(于是(?))过点S引出平行于OX軸的直线并与直线ν交于点P。直线OP在下面的研究中将起基础的作用, (2)在OY軸上取OO_0=a_0(較准确地說(?)     

关于一元n次方程的一个定理及应用

定理如果方程a_0x~n a_1x~n-1 … a_(n-1)x a_n=0有且仅有k个非零根a_1,a_2,…,a_2,那么方程a_nx~2 a_(n-1)x~(n-1) … a_1x a_0=0也有且仅有k个非零根,分别为1/a_1,1/a_2,…,1/a_2。此定理易证,在此证略,作为定理的应用,我们来看以下的两道例题: 例1 已知不等式     

利用韦达定理证明某些三角恒等式

给定复数a_0,a_1,a_2,……a_n,则n次代数方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+……+a_n=0 (a_0≠0)必存在n个根x_1,x_2,……x_n,韦达定理给出了这n个根与方程系数a_0,a_1,……a_n的关系如下:     

算术平均数不小于其几何平均数的一个推论

在高中教材不等式的证明这一节里提到。一般地有:n个(n是大于1的整数)正数的算术平均数不小于它的几何平均数。我们在教学中增加了一个推论:n个正数和与n个该数的倒数和之积不小于n的平方,用式子表示即 (a_1+a_2+…+a_n)(1/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n~2(其中a_1、a_2…,a_n均正数,n是大于1的整数)。等号当且仅当a_1=a_2=…=a_n时才成立。证明:(a_1+a_2+…+a_n)(l/a_1+1/a_2+…+1/a_n)≥n((a_1a_2…a_n)~(1/n))·(n((1/a_1)(1/a_2)…1/a_n)~(1/n)) =n~2 (*) 由算术平均数不小于几何平均数的定理中当