抛物线中的几个常用性质

抛物线中的性质较多 ,如能熟练记忆 ,在解题过程中将大大提高解题速度 .本文主要介绍与抛物线焦点弦有关的几个性质 .图 1　证明用图以抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )为例 ,线段ＡＢ为过其焦点Ｆ的弦 ,由Ａ ,Ｂ分别向准线引垂线ＡＡ1,ＢＢ1,垂足分别为Ａ1,Ｂ1(见右图 )性质 1:以焦半径ＢＦ(或ＡＦ)为直径的圆与 ｙ轴相切 ;性质 2 :以焦点弦ＡＢ为直径的圆与其准线ｘ =- ｐ2 相切 ;性质 3:以线段Ａ1Ｂ1为直径的圆与ＡＢ相切 ,切点为Ｆ .证明　设Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) .性质 1:即证线段ＢＦ的中点到 ｙ轴的距离等于线段ＢＦ长度的一半 .设…     

抛物线焦点弦的基本图形分析

过抛物线r~2=2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于点P、Q,称线段PQ为抛物线的焦点弦,线段PF和QF分别为过点P,Q的焦点半径。又过P,Q作准线l的垂线,垂足为     

圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质及其简证

文 [1 ]指出了圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质 ,读了有所启发 ,李老师对圆锥曲线是椭圆、双曲线、抛物线的情况分别给出了证明 ,由于证明较繁 ,笔者经过探索发现点Ａ可以是圆锥曲线上任意点的情况 ,并给出它们的一个统一命题及其简证 .引理　设Ｆ为圆锥曲线焦点 ,其相应准线为Ｌ ,作一直线交圆锥曲线于Ａ ,Ｐ两点 ,交Ｌ于Ｍ点 ,则ＦＭ平分△ＡＦＰ的∠ＡＦＰ外角 .图 1证　如图 1 ,从Ａ ,Ｐ分别向Ｌ引垂线ＡＡ1 ,ＰＰ1 垂足为Ａ1 ,Ｐ1 ,由圆锥曲线定义得 :｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =ｅ ,｜ＰＦ｜｜ＰＰ1 ｜ =ｅ ,所以 ,｜ＡＦ｜｜ＡＡ1 ｜ =｜ＰＦ…     

圆锥曲线准线的尺规作图法

圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线 )的一个共同特性是 ,曲线上任意一点到焦点的距离和到相应准线的距离的比等于其离心率 .那么当给定了圆锥曲线的图形 (包括焦点的位置 )后 ,怎样画出该曲线的准线 ?这是教学中经常遇到的问题 .下面介绍一种利用直尺和圆规 (简称尺规 )画圆锥曲线准线的方法 .1　椭圆准线的尺规作图法例 1　试用直尺和圆规 ,作出图 1中椭圆的准线 ,图中点Ｆ、Ｆ′为椭圆的两个焦点 .图 1　椭圆图 2　椭圆及其准线作法　 (1 )连结ＦＦ′,作线段ＦＦ′的中点Ｏ .(2 )作射线ＯＦ交椭圆于点Ａ ,作射线ＯＦ′交椭圆于点Ａ′.(3 )过…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在进行圆锥曲线章节内容的教学时,发现圆锥曲线的一个性质:图1定理过圆锥曲线焦点弦的一个端点向相应的准线作垂线,垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应准线的垂线段的中点.如图1:AB为经过焦点F的焦点弦,l为相应的准线,过B作l的垂线,垂足为C,连AC,证明:AC经过FK的中点N.这个命题的证明可以用解析几何的方法证明,但为了体现圆锥曲线的统一性,给出如下的证明:证过A作l的垂线交l于D点.设圆锥曲线的离心率为e,则:BF=e·BC,AF=e·AD∵NFBC=AFAB,∴NF=AF·BCAB=e·AD·BCAB=AD·BFAB∵KNAD=CNCA=BFAB,∴KN=AD…     

抛物线的三种画法

抛物线的焦点到准线的距离为Ｐ ,用直尺圆规画出抛物线 ,画法如下 :图 1画法 1　作线段ＫＦ ,使 |ＫＦ| =Ｐ ,Ｏ为线段ＫＦ的中点 ,过Ｋ作ＫＦ的垂线Ｌ ,在ＫＦ的延长线上取点Ｍ1 ,以Ｆ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画圆⊙Ｆ ,再以Ｋ为圆心 ,以ＯＭ1 为半径画弧交直线ＫＦ于点Ｎ1 ,过Ｎ1 作垂直于ＫＦ的直线交圆⊙Ｆ于点Ｐ1 Ｐ1 ′ ,改变Ｍ1 的位置 ,例如Ｍ2 ,Ｍ3… ,用同样的方法画出点Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,把点Ｏ ,Ｐ1 ,Ｐ1 ′ ,Ｐ2 ,Ｐ2 ′ ,Ｐ3,Ｐ3′…… ,用平滑的曲线连结起来 ,就得到抛物线的图象 (如图 1 ) .画法二　作直线Ｌ ,在…     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

一道高考题引出的圆锥曲线的二个性质及其推论

题目 :已知椭圆ｘ22 +ｙ2 =1的右准线Ｌ和ｘ轴相交于点Ｅ ,过椭圆右焦点Ｆ作直线与椭圆相交于Ａ ,Ｂ两点 ,点Ｃ在椭圆右准线上 ,且ＢＣ∥ｘ轴 ,求证直线ＡＣ经过线段ＥＦ的中点 .这是 2 0 0 1年高考广东、河南卷中的一道考题 ,从其几何证法不难发现 :结论与椭圆方程以及椭圆离心离率大小无关 ,因此 ,对于一般的圆锥曲线 ,命题仍然成立 ,可见 ,圆锥曲线有如下性质 :性质 1　若Ｆ是圆锥曲线的焦点 ,Ｅ是与焦点Ｆ相对应的准线Ｌ和圆锥曲线对称轴的交点 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,ＢＣ∥ＦＥ ,点Ｃ在Ｌ上 ,则直线ＡＣ平分线段ＥＦ .证明如下 :如图 ,…     

2010年浙江卷文科压轴题的推广

题已知m是非零实数,抛物线C:y2=2pxx>0的焦点F在直线l:x-my-(m2)/(2)=0上. (Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程; (Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.     

抛物线的三个性质

本文给出抛物线的三个性质以及与它们相对应的抛物线的三种画法;性质Ⅰ　设抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）,焦点为　图１Ｆ（ｐ２,０）,Ｑ是抛物线上除顶点外的任意一点,直线ＱＳ与ｘ轴平行,过点Ｆ作∠ＳＱＦ的角平分线的垂线,垂足为Ｐ,则点Ｐ的轨迹是ｙ轴（除去顶点Ｏ）;（如图１）证明　设直线ＱＳ与抛物线的准线ｌ,ｙ轴分别相交于点Ｓ和Ｖ,ＦＳ与ｙ轴交于点Ｐ′;易知ＳＶ＝ＯＦ,则Ｒｔ△ＳＶＰ′≌Ｒｔ△ＦＯＰ′;∴　ＳＰ′＝Ｐ′Ｆ．故　Ｐ′为线段ＳＦ的中点;由抛物线的定义得ＳＱ＝ＱＦ,所以△ＳＱＦ是等腰三角形;∴…     

椭圆双曲线准线的几何作图

在解析几何教材中 ,对于椭圆 ｘ2ａ2 +ｙ2ｂ2 =1和双曲线ｘ2ａ2 -ｙ2ｂ2 =1 ,都给出了它们的准线方程ｘ=± ａ2ｃ,而未给出准线的作图方法 .鉴于准线有着重要的几何意义 ,本文将根据椭圆、双曲线的有关性质 ,结合平面几何知识 ,给出准线的几种作图方法 .图 11　利用相似三角形进行作图先说明椭圆、双曲线的一个共同性质 :(图 1和 2 )焦点Ｆ、顶点Ａ和对应的准线交ｘ轴的垂足Ｈ与中心Ｏ构成三条线段 ,它们的长度成等比数列 ,即｜ＯＡ｜∶｜ＯＦ｜=｜ＯＨ｜∶｜ＯＡ｜.图 2证明　因为｜ＯＦ｜=ｃ=ａ· ｃａ =ａｅ,｜ＯＡ｜ =ａ ,｜ＯＨ｜ =ａ2…     

直角梯形——新教材中焦点弦的图形模式

数学学习的过程中 ,所积累的知识经验经过加工 ,会得到有长久保存价值或基本重要性质的典型结构与重要类型———模式 ,将其有意识地记忆下来 ,并作有目的的简单编码 ,当遇到一个新问题时 ,辨认它属于哪一类基本模式 ,联想起已经解决的问题 ,以此为索引 ,在记忆贮存中提取相应方法解决 ,这是模式识别的解题策略 .1　直角梯形 ,圆锥曲线焦点弦的图形模式图 1涉及圆锥曲线的焦点弦问题 ,如图 1,点Ｆ和直线ｌ是圆锥曲线相应的焦点和准线 ,ＡＢ是过焦点Ｆ的弦 ,过Ａ ,Ｂ分别作ｌ的垂线 ,垂足为Ａ1和Ｂ1,记ｅ为离心率 .在梯形ＡＡ1ＢＢ1中 ,记|Ａ…     

对椭圆一个性质的探究与推广

湖北省八校2008年三月调研数学试卷（理科）第10题：设AB是过椭圆x^2/4＋y^2/3=1右焦点F的动弦，过点A作右准线的垂线，垂足为点C，则直线BC必过定点     

有内切球的圆台的判别与构作

我们都知道，对于一个给定的球，总有它的外切圆台（不只一个）存在．但反过来，对于一个给定的圆台，却不总有其内切球．为此，本文将介绍抛物线焦点弦的一个应用——有内切球的圆台的判别与构作．定理如果抛物线的焦点弦与其对称轴不垂直，那么这条焦点弦绕其准线旋转一周而生成的圆台（焦点弦生成圆台侧面，其端点到准线的垂线段生成圆台的两底）必有其内切球．如图1，F为抛物线C的焦点，线段AB为C的一焦点弦，直线A；BI为C的准线，且AAI、BBI分别垂直AIBI于AI、BI；D为C的顶点，o为线段A1B；的中点．要证明直角梯形AIABBI…     

一个换算公式的启示

文 [2 ]在文 [1 ]的基础上给出如下一个换算公式 .定理　ＡＢ是过圆锥曲线焦点Ｆ的弦 ,其长度为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾角为θ(θ≠90°) ,ｔａｎθ=ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ与ｋ的关系式 :ｄ=2ｅｐ(1 +ｋ2 )｜ 1 +ｋ2 -ｅ2 ｜ 或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ± 2ｅｐ- 1 .在该定理的启示下 ,笔者进一步探究 ,得到一个类似的公式 ,现说明如下 .ＡＢ是经过横向型圆锥曲线顶点 (指的是抛物线的顶点、椭圆长轴顶点、双曲线实轴顶点 )Ａ的弦 ,其长度为ｄ ,斜率为ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则有ｄ=2ｅｐ 1…     

一个刻画圆锥曲线特征的角

椭圆、双曲线和抛物线这三种圆锥曲线具有不同的数量特征 ,同时这些特征又是有机的统一 .例如 :以离心率 e为特征 ,我们知道( )椭圆 :0 1 .又如 :若记圆锥曲线的内接三角形面积与对应的切线三角形面积之比为 m,则[1]( )椭圆 :0 2实际上圆锥曲线中还有一个尚未引起人们注意的角 ,它也可以展现出圆锥曲线间的差异及统一性 .定理　过圆锥曲线的焦点 F作弦 AB,过端点 A、B分别作对应准线的垂线 ,垂足为A′、B′,记∠ A′FB′=θ,则　　 ( )椭圆 :0 <θ <…     

抛物线弦中点轨迹的一个重要结论

以下三道关于抛物线弦中点的轨迹问题引起了我的思考 ,即 :例 1　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =4ｘ的顶点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 2　直线ｌ过抛物线 ｙ2 =16ｘ的焦点 ,与抛物线相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .例 3　直线ｌ过 (0 ,4 )点 ,与抛物线ｘ2 =8ｙ相交所得的弦为ＰＱ ,求ＰＱ的中点Ｍ的轨迹方程 .将以上三题的相关结果列表如下 :表 1　例 1,例 2 ,例 3的解答结果内容题号抛物线方程弦中点轨迹方程弦所过定点弦中点轨迹顶点抛物线通径弦中点轨迹通径例 1ｙ2 =4ｘ ｙ2 =2ｘ (0 ,0 ) (0 ,…     

线面角计算的一个有用定理

线面角计算是立几计算的一个重要内容 ,但有时苦于角难作 ,或者角虽作出了 ,但计算碰到了困难 .本文介绍一个关于线面角计算的定理 ,能起到难点转移 ,简化解题过程的作用 .图 1　定理图定理　设点Ａ ,Ｂ分别在二面角Ｍ ＰＱ Ｎ (锐角或直角 )的两个面Ｎ ,Ｍ上 ,直线ＡＢ与面Ｍ ,Ｎ所成角分别为α ,β .过点Ａ ,Ｂ分别作棱ＰＱ的垂线ＡＥ ,ＢＦ ,垂足为Ｅ ,Ｆ .则 ＡＥＢＦ =ｓｉｎαｓｉｎβ.　　证　如图 1,过Ａ ,Ｂ分别作ＡＣ ,ＢＤ垂直于平面Ｍ ,Ｎ ,垂足分别为Ｃ ,Ｄ .连结ＣＥ ,ＤＦ ,ＢＣ ,ＤＡ ,则∠ＡＢＣ =α ,∠ＢＡＤ =β .在Ｒ…     

再探与抛物线对称轴上定点弦有关的几个问题

再探与抛物线对称轴上定点弦有关的几个问题崔俊富（山西省潞城市一中０４７５００）本文在文［１］的基础上继续探讨以下几个问题．问题１设ＡＢ是过抛物线Γ的对称轴上的定点Ｄ的动弦，曲线Ｃ是以ＡＤ（或ＢＤ）的中点为中心，｜ＡＤ｜（或｜ＢＤ｜）为长轴长，且长轴平...     

三角形的伴内心及其性质

设△ＡＢＣ的三条内角平分线为ＡＤ,ＢＥ,ＣＦ,内心点为Ｉ,点Ｄ关于ＢＣ边中点的对称点为Ｄ′,Ｅ关于ＣＡ边中点的对称点为Ｅ′,Ｆ关于ＡＢ边中点的对称点为Ｆ′,则我们有 引理 三条直线ＡＤ′、ＣＦ′、ＢＥ′共点． 证明 由于ＢＤ′＝ＣＤ,ＣＤ′＝ＢＤ,ＣＥ′＝ＡＥ,ＡＥ′＝ＣＥ,ＡＦ′＝ＢＦ,ＡＦ＝ＢＦ′,由Ｃｅｖａ定理及ＡＤ、ＥＢ、ＤＦ共点知 由Ｃｅｖａ逆定理得ＡＤ′、ＢＥ′、ＣＦ′共点．记此点为Ｉ′,我们称之为△ＡＢＣ的伴内心． 性质 １ 设厂为么ＡＢＣ的伴内心,则 ＡＩ（ｂ ＋ ｃ）ＢＩ（ｃ＋ａ） ７７＝…