趣谈将军饮马问题

海伦(Heron,约1世纪)是古希腊数学家、物理学家、天文学家.他曾巧妙地运用轴对称知识解答过一位希腊将军向他请教的“饮马问题”.     

“将军饮马”模型的拓展

相传,古希腊一位身经百战的将军在作战时遇到这样一个问题:如图1,从A地出发,到笔直的河岸边(直线l)去饮马,然后再去B地.走什么样的践线最短呢?将军百思不得其解,于是向居住在亚历山大久负盛名的学者海伦求教.海伦的解决方法就是"利用轴对称变换化折为直"的思想,把A,B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧,作     

HPM视角谈一类将军饮马问题的实践与思考

通过HPM视角对一些经典数学问题进行探究成为了一种可以操作的有效做法,本文从HPM视角对“将军饮马”问题进行深入研究,借助历史相似性原理,试图找到解决此类问题的方法和本质,最后给出了对HPM视角下的历史名题的一些思考.     

一类“线面角”问题的求解策略

一个平面的斜线和它在这个平面内的射线的夹角,叫做斜线和平面所成的角(本文简称为“线面角”),一般说来,求解“线面角”的问题遵循“构造-证明-计算”的步骤进行,求解此问题的关键是确定斜线在平面内的射影,确定斜线在平面内的射影主要有两种方法.(1)“立竿见影”:过斜线上不同于斜足的某特殊点作平面的垂线段,垂足和斜足的连线即为斜线在平面内的射影,此时“线面角”是一个直角三角形的锐角.(2)“垂面见影”:过斜线作与已知平面垂直的平面,则两个平面的交线即为斜线在平面内的射影(重要的结论).此时“线面角”是一个三角形的内角.事实上,并不是所有的求解“线面角”的问题都可以应用以上两个办法顺利求解,有些问题利用所给的条件不易或很难确定斜线在平面内的射影,面对“无影”这一障碍和困难,又将如何求解呢?本文以一道2011年一道高考题第二问为例加以说明.     

“饮马问题”的拓展

问题如图1,A为马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩A牵出马,到笔直的河岸l去饮马,然后回到帐逢B,走什么样的路线最短?解作A点关于直线l的对称点A′,连结A′B,交l于点P,根据对称性,则有PA= PA′,故有PA PB=PA′ PB．由“两点之     

又见“饮马问题”

1．问题提出（2013年高考重庆卷（理）第7题）已知圆C1：（x-2）^2＋（y-3）^2=1,     

一类求解单调变分不等式的隐式方法

1．引言变分不等式是一个非常有趣。非常困难的数学问题［"］．它具有广泛的应用（例如，数学规划中的许多基本问题都可以归结为一个变分不等式问题），因而得到深入的研究并有了不少算法［1，2，5－8，17－21］．对线性单调变分不等式，我们最近提出了一系列投影收缩算法Ig－13］．本文考虑求解单调变分不等式其中0CW是一闭凸集，F是从正p到自身的一个单调算子，一即有我们用比（·）表示到0上的投影．求解单调变分不等式的一个简单方法是基本投影法［1，6］，它的迭代式为然而，如果F不是仿射函数，只有当F一致强单调且LIPSChitZ连续…     

求解变分不等式问题的一类新算法

变分不等式问题(简称VIP)通过广义D-gap函数可以转化成无约束优化问题.在找到使优化问题目标函数达到最大的y值后,直接构造了一类下降方向,使算法避免了求解梯度问题.最后证明了这种算法具有全局收敛性.     

“饮马问题”的拓展与妙用

饮马问题是一个经典的数学问题,反映了数学中的对称性,它与四边形、圆、函数及实际生活紧密联系在一起,贯穿初中数学始终.由于饮马问题思考过程简单巧妙,越来越受到命题者的亲睐,本文以中考题为例加以分析和拓展,供学习参考.     

归结为“饮马问题”三例

<正>饮马问题是初中数学中的一个经典问题,其实质是利用轴对称求最短路线.近几年的中考命题非常重视其创新题的编制,现举几例分析说明,供同学们学习时参考.例1(2012年四川内江)已知A(1,5)、B(3,-1)两点,在x轴上取一点M,使AMBM取最大值时,则M的坐标为____.解如图1,作点B     

与阿氏圆有关的广义将军饮马问题北大核心

1知其然——问题与问题解答题目1（2018年初中数学联赛二试（A卷）第2（2）题）如图1—1,在扇形0AB中,∠AOB-90°,OA=12,点C在OA上,AC=4,点D为0B的中点,点E为弧AB上的动点,OE与CD的交点为F．求CE＋2DE的最小值．     

求解单调变分不等式问题的一类迭代方法

１．引言 变分不等式问题在数学规划中起着重要作用,它最初作为研究偏微分方程的工具,首先由 Ｆｉｓｈｅｒａ和 Ｓｔａｍｐａｃｃｈｉａ等于六十年代初提出,可参看［１］及其参考文献,之后也被广泛用于研究经济学和运筹学等领域中的均衡模型,互补问题和凸规划问题都是变分不等式问题的特殊情形,文献［２］对有限维变分不等式问题和非线性互补问题的理论、算法及应用作了十分全面的综述．设 Ｃ是实有限维空间 Ｒｎ,的非空闲凸子集, Ｆ是 Ｒｎ → Ｒｎ的映射,本文讨论的变分不等式问题ＶＩ（Ｃ,Ｆ）是： 求向量ｒ＊∈Ｃ．使得：Ｆ（…     

“牧童放牛”问题的求解策略

“牧童放牛”问题是初中数学中的一个经典问题,这类问题具有一定的探索性(目标不明确),解题时需要运用数形结合思想和轴对称的性质,同时在求最小值过程中还需要用勾股定理或三角函数.在此,笔者对这类问题的分析思路和解题方法进行探讨,与同行商榷.     

一类变系数线性微分方程的求解

众所周知,一般变系数线性微分方程没有一个普遍适用的求解方法。本文给出一类具有(a+bx)e~(kx)型特解的变系数线性微分方程的求解。     

一类类比试题的求解策略

新大纲提出加强对学生能力的考查 ,而核心能力是思维能力 .类比思想是解决高中数学试题的一种最基本的思维策略 ,而直接考查学生类比能力又是近几年高考中经常出现的一类试题 ,现结合例题浅淡一个解类比试题的基本策略 .1　参照物特征分析法例 1　 (2 0 0 0年上海市高考题 )已知等差数列 {an}中 ,a10 =0 ,则有等式a1+a2 +… +an=a1+a2 … +a19-n(n <19,n∈N )成立 .那么等比数列 {bn}中 ,若b9=1,则有等式成立 .分析　这是一个由等差数列类比等比数列的试题 ,解答这一题目时 ,首先应对参照物 (等差数列 )进行分析 ,再结合等比数列的相关知识…     

求解一类非光滑优化问题的改进变尺度方法

1 引言 近来，人们对用过剩其函数来表示信号的处理方法表现出极大的兴趣，原因是基函数类越大所表示出的函数类就越大，人们通常采用小波基和Gabor基，本文的目的是构造一个寻找优化（或最优）基函数的算法，该算法的出发点是从过剩的其函数中选择紧支撑的基向量。     

一类数列操作题的求解策略

在《数列》一章的学习过程中 ,同学们可能会接触到一类十分有趣的数列操作题 .如果掌握了求解此类问题的方法与策略 ,就一定能解得得心应手 ,妙趣横生 .例 1　求数列 :1,21,12 ,31,22 ,13,41,32 ,23,14 ,… ,的第 2 0 0 2项 .策略 1　以退为进 ,探索规律欲求第 2 0 0 2项 ,可能一时无从下手 ,不妨退一步先求第 2 0项 .此时最自然的想法莫过于直接写出前 2 0项 ,而恰恰就是这一过程将引导你发现数列的构成规律 ,并由此领悟出解决问题最关键的一个步骤———分段 .策略 2　化整为零 ,各个击破成功分段之后 ,原问题转化为 :1)所求的第 2 0 0 2…     

一类三角压轴题的求解策略

<正>解三角形是高考的重要考点之一,主要考查正余弦定理,三角形边角转换,向量等知识与方法.近来在高三复习中经常遇到三角类求面积最值问题,使学生一筹莫展,下面就谈谈解这类问题的一些处理策略.当遇到一些三角最值求解问题时,主要思路是借助正弦与余弦定理把三角形中边长与相关角的正余弦值,通过选取变量建立相应的     

一类概率问题的求解

在高三概率复习中,下面几道例题的求解许多同学觉得难以入手,出错率较高.本文对这类概率问题的求解作一些分析. [例1] 某型号的高射炮,每门发射1次击中飞机的概率为0.6,现有若干门炮同时独立