一道轨迹开放题的研究性学习

1　提出问题教师与学生共同选定问题 ,确定研究方案和计划 ,一周后展示结果 .问题 :已知定圆 O:x2 y2 =r2 ,定点A( a,0 ) ( a >0 ) ,( 1 )过定点 A且与圆 O相切的动圆圆心的轨迹是什么 ?( 2 )在 ( 1 )的轨迹上是否存在一点 N使ON⊥ NA?探索步骤 :1分别对 a,r赋值 ,利用《几何画板》软件作出轨迹 ;2猜想轨迹是什么图形 ?并进行证明 ;3分析 a,r对轨迹的影响 ;4完整解答 ( 1 ) ;5在作出的轨迹上寻找点 N(利用《几何画板》软件 ) ;6分析找到或找不到的原因 ;7完整解答 ( 2 ) ;8就本问题情境 ,自己再编拟出一个小问题 ,并自己作出解答 .学…     

圆锥曲线切线与过焦点直线夹定角的一个结论

过有心圆锥曲线的焦点的直线到动切线的角一定时,两条直线的交点的轨迹会是怎样的呢?这个轨迹与有心圆锥曲线有怎样的位置关系呢?本文探究以上问题,得到了一般结论.     

球的影子为什么是椭圆

阳光灿烂的早晨,操场上的一只篮球的影子边缘是椭圆.同学们是否想过,影子为什么是椭圆?这个椭圆的焦点、准线在哪里?长轴、短轴长与球的半径有什么关系?如果不是白天而是漆黑的夜晚,一盏孤灯下的球的影子又是什么图形?     

一道数学历史名题引出的研究性学习

1一道数学历史名题:卡丹旋轮问题(Cardan's Spur Wheel Problem) 一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时,这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么? 这个有趣的问题看似平凡,其实大有来头,是一道数学历史名题.意大利数学家卡丹(Cardano,1501～1576)设计了一个所谓"卡丹旋轮":一个圆盘沿另一个大圆盘的内沿滚动,大圆盘半径是小圆盘半径的2倍.     

对一类轨迹问题的探究

1问题的提出在"圆锥曲线"一章中,我们研究过平面内到两个定点的距离的和、差、商为定值的点的轨迹.这里还有"积"没有研究,为此我们提出如下的问题1.问题1平面内到两个定点A,B的距离的积为常数的点P的轨迹是什么曲线?2问题的探究在解析几何中我们研究曲线的一般方法是先建立曲线的方程,然后根据曲线的方程来研究曲线的性质并画出曲线.令|AB|=2c(c>0),|PA|与|PB|的乘积为a2(a>0),以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,可知A(-c,0),     

交轨法求轨迹方程

交轨法即轨迹交点法之简称.它是平面几何中常用的作图方法之一.我们借用交轨法的基本思想,在平面解析几何里,求一些第三类型轨迹问题的轨迹方程,颇为见效. 交轨法的基本思想是什么呢?我们知道,一个动点在平面上生成的轨迹,是该动点满足某些     

再谈滚动中的“玄机”

一、问题的提出有两个圆,其中一个圆固定不动,另一个圆与这个固定圆不滑动地相切滚动,如图1.当动圆绕着定圆滚动到某一位置时,这个动圆自转的周数是多少?应怎样计算?目前有几种不同的说法.     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…     

摆线趣谈

一、问题的提出很早以前 ,人们就对沿直线前进的马车车轮上的点的轨迹产生了浓厚的研究兴趣 .有人误认为这个轨迹是一段段周而复始的圆弧 ,也有人误认为这个轨迹是一段段的抛物线 .实际上 ,当一个圆沿一条定直线作无滑动的滚动时 ,动圆圆周上一个定点的轨迹是一条摆线 ,也叫旋轮线 .二、摆线的方程和图像设圆的半径为ａ ,取圆滚动所沿的定直线为ｘ轴 ,圆周上定点Ｐ落在直线上的一个位置为原点 ,建立直角坐标系 (如图 1) .图 1设点Ｐ(ｘ ,ｙ)为轨迹上任意一点 ,圆心滚动到Ｂ点时 ,圆与直线相切于Ａ点 .取∠ＡＢＰ=θ为参数 ,作ＰＤ⊥Ｏｘ ,Ｐ…     

学会观察与联想

解决数学问题总是从观察与联想开始.通过观察,对问题产生一定的感性认识.进而对问题展开广泛的联想,从而探索出解决问题的途径.现对一例进行观察与联想. 问题已知z为非零复数,z 4/z∈R,且|z-2|=2,求z. 看到z 4/z∈R这个条件可联想到什么呢?z 4/z的共轭复数是它的本身,即z 4/z=z 4/z,从而得z2(?) 4(?)=z(?)2 4z.看到|z-2|=2可联想到什么呢?点Z的轨迹是点     

关于能否通过走廊拐角问题的新解

问题 一个直角走廊（内外壁均平行）宽为1.5m,如图1所示,有一转动灵活的载重平板水平推车宽为1m,试确定能够推过直角走廊的最大允许车长.这个问题通常的解法是建立AD长度或者点O到BC的距离关于某个角的三角函数,求这个函数的最大值,再与给定的条件比较等,比较繁琐.今另解如下：建立图示直角坐标系,则P点坐标为（1.5,1.5）.1.若是一根水平放置的木棒,则这根木棒能通过该走廊拐角,其长度最长是多少？     

《直线和平面》教学中的能力培养问题

数学教学就整体而言,要注重培养计算能力,逻辑思维能力和空间想象能力。对于具体的一章一节的教学,能力的具体表现是什么?通过什么途径去培养?这个问题的讨论,无疑对能力的培养有积极意义。本文仅就立体几何第一章《直线和平面》来讨论这个问题。     

勾股定理的考场遭遇

1 勾股定理是什么 勾股定理是什么?有的高中生听到这个问题感到好笑,以为这是一个不值一提的问题,去问问初中生还可以,若去问高中生,确实有点乏味.     

关于球的表面积的教学的一些尝试

(一)导言球的表面积公式是旋转体一章的重点内容,从教材的科学性看是没有问题的——在给出预备定理的基础上,再建立球面积的计算公式。但跳出传授知识之外,在教学中我们总有点感到不满足。因为按照现行教材的体系。我们无法回答这样几个问题: 已经有一整套圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式,为什么还需要这个统一公式? 这个预备定理起什么作用?人们又是怎样想到引入这个定理的? 讲授预备定理是不是仅仅为了学习球面积公式提供敲门砖,还是也要让学生获得别的什么? 针对这些问题,我们的试验小组对此作了初步的探讨。现将我们讨论的意见和处理方案扼要介绍如下。不当之处请批评指正。     

椭圆还“圆”法的应用

<正>高考及自主招生中的圆锥曲线问题往往计算量较大,在解题时较为麻烦,但对于一些题目,可以将椭圆通过伸缩变换化为圆,进而通过解决圆中的几何问题来解决椭圆中的问题.在人教A版选修2-1第42页有这样一道例题:圆x²+y2+y²=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段的中点M的轨迹是什么?为什么?     

模式化解多元最值问题

<正>现在各行各业都讲究一个模式,其实解数学题也可以模式化.模式化解题的基本思路其实就是三个问题:第一,这是什么题型?第二,这个题型有哪些方法?第三,这些方法如何优化?什么题型,需要老师和学生一起总结归纳;哪些方法,强调方法的完整性;如何优化,     

漫谈曲线x~(2/3) y~(2/3)=a~(2/3)的构成

曲线总是作为符合某种条件的动点的集合(轨迹)。方程x~(2/3) y~(2/3)=a~(2/3)所表示的是一种特殊的曲线。它是符合什么条件的动点的集合呢?一般都是采用圆的一种内摆线形成方法而得出方程。有的书上就直接就方程进行讨论,从而指出这个方程所表示的曲线通常称为星形线。     

如何形成解题思路

著名数学教育家波利亚说过:"掌握数学意味着什么?这就是说,善于解题."解题的关键是尽快地、准确地找到解题的思路,在解答数学题时,如何才能形成思路呢?下面对这个问题作一些探索.一、借助图形,寻找突破口数学中很多问题都具有"形"的因素,如果能给数学命题以直观、形象的图形描述,就可化抽象为形象,化难为易,形成解题的思路.     

浅谈梯子滑动问题——勾股定理的小应用

人民教育出版社八年级下册中有一道关于梯子滑动的例题:一个长3m的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AE上,此时AE高为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?按人们主观想象,底端也会外移0.5m,但是当我们通过仔细观察和严格的数学计算后,发现梯子外移约0.58m,这个问题引发了师生们浓厚的兴趣和深入的思考.梯子上、下端滑动的距离为什么会不一样呢?它们之间的大小关系和哪些因素有关呢?下面我们就通过做数学实验和利用刚刚学习的勾股定理来解释这个小问题.实验一:长5m的梯子AB斜靠在一竖直的墙上,AE的距离为4m,则EB的距离…     

例谈轨迹圆的条件与应用

<正>满足什么样的条件的点的轨迹是圆?平面内与定点距离等于定长的点的轨迹是圆;平面内与两个定点距离之比为不等于1的正数的点的轨迹也是一个圆.在解题中也常会遇到一些轨迹是圆的问题,本文拟通过一些实例来谈谈轨迹圆的条件与应用.一、阿波罗尼斯圆:平面内与两个定点距