巧用公共弦方程解题

众所周知 ,若相交两圆的方程分别为x2 y2 D1x E1y F1=0 ,x2 y2 D2 x E2 y F2 =0 ,则它们的公共弦所在直线的方程为( D1- D2 ) x ( E1- E2 ) y ( F1- F2 ) =0 .这个方程应用很广 ,它不仅使解有关两圆相交问题简捷方便 ,而且还有利于解有关圆锥曲线的弦的方程问题 .例 1　在椭圆 x21 6 y24 =1内有一定点A( 1 ,1 ) ,过点 A作一直线与椭圆相交于 B,C两点 ,且使得点 A恰好是弦 BC的中点 ,求此直线的方程 .解　设 B,C两点的坐标分别为 B( x,y) ,C( x1,y1) ,则由中点坐标公式得x1=2 - x,　 y1=2 - y,因为 B,C两点…     

摭谈“点差法”在解析几何中的应用

<正>关于圆锥曲线的中点弦问题,通常采用方程思想,通过联立直线和圆锥曲线的方程,并借助于判别式、韦达定理、中点坐标公式来进行运算,但由于这种解法计算量较大并不受学生欢迎."点差法"是一条可选择的有效路径,何为点差法?设直线l与圆锥曲线C的两个交点分别为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),把这两点坐标代入圆锥曲线的方程后对所得到的两式进行作差处理,于是可得到一个与弦AB的中点和斜率有关     

纠错 究底 修正 寻源——对一道高考题命题问题的思考

(2013浙江高考理-15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于______. 一、纠错与究底 试题考查直线与抛物线的相交位置关系,由|FQ| =2可知所求为确定的相交状态.典型的解析几何问题,解决过程是方程思想的常规应用,获得相交弦的中点Q的坐标即可利用两点间距离公式解决.     

圆锥曲线的中点弦的性质及其应用

在平面解析几何中常需要求圆锥曲线的过定点的动弦的中点轨迹。例如,给定双曲线x~2-y~2/2=1,过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P_1及P_2,求线段P_1P_2的中点P的轨迹方程。为了求出P点的轨迹方程,已有各种各样方法:有用直线的点斜式方程的;有用直线的点斜式参数方程的;有用直线的两点式参数方程的;     

中点弦方程变换公式

过二次曲线内一点P作弦AB,点A、B为弦的两位端点,若P为AB的中点,则称线段AB为此二次曲线内关于点P的中点弦．经笔者思考,得到了一个有关中点弦所在直线方程的一个性质(不妨称为中点弦方程变换公式)．     

圆锥曲线中的切点弦及其方程

设点P是圆锥曲线C外一点,过点P作圆锥曲线C的两切线,切点为A,B,我们将圆锥曲线C的弦AB称为与点P对应的圆锥曲线C的切点弦．在近年来的高考和竞赛中,有关切点弦的试题频频出现,而对于求切点弦所在直线的方程,我们若处理不当,往往会引发繁琐的运算．为此本文将介绍求圆锥曲线的切点弦所在直线的方程的一种简便方法,并结合例题说明切点弦方程的应用,供读者参考．     

由习题谈弦长公式

<正>高中数学选修2-1(以下简称课本)第三章圆锥曲线与方程"4.3直线与圆锥曲线的交点"一节中有如下几道习题:习题1求直线x-y=0被曲线2x2+y2=2截得的弦长.习题2直线x-2y+2=0与椭圆x2+4y2=4相交于A、B两点,求A、B两点间的距离.……这些题目的共同特点是:已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求线段AB的距离(即弦长).当然这类题目均可先联立方程组求出交点A、B的坐标,再由两点间距离公式求弦长     

“点差法”在解析几何中的灵活运用

在历年高考中,经常会出现有关直线与圆锥曲线关系的试题．特别在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点、对称问题时,我们常用如下解法：设直线与曲线的两个交点的坐标为A（x1,y1）、B（x2,y2）后,     

解析几何中的对称问题

1、点关于点的对称问题例1已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标．解设C点的坐标为(x,y),由中点坐标公式有(?),所以(?)所以点C的坐标为(3,-6)．小结点关于点的对称是解答其它对称问题的基础,常用中点坐标公式求解．     

第49届国际数学奥林匹克(IMO)试题及解答

试题 　　1.已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A1,A2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B1,B2;以边AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C1,C2,证明:六点A1,A2,B1,B2,C1,C2共圆.(俄罗斯提供)……     

解析几何中的对称问题浅析

对称和对称问题在高中数学课本虽然没有专门研究,但对称和对称问题在高中数学中经常出现.根据教材所涉及的对称知识和高考中所考查的有关对称的试题,在此就解析几何中的三个问题进行总结.1.基本的对称问题1.1点关于点的对称问题例1已知两条直线l1:x-3y 10=0和l2:2x-y-8=0,过定点P(3,2)作一条直线分别与l1,l2交于A,B两点,使得P点是AB的中点,求该直线方程.解设A(x,y),则由题意得B(6-x,4-y).∴x-3y 10=02(6-x)-(4-y)-8=0x-3y 10=02x-y=0x=2,y=4.∴直线AB的斜率k=24--23=-2,所求直线方程为y-2=-2(x-3),即2x y-8=0.小结本题中P点是AB的中点…     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…     

中点弦公式和应用

一、问题的提出所谓中点弦问题，即已知一点和一圆锥曲线，求以这点为中点的圆锥曲线的弦的方程．此问题按习惯解法是：设点斜式方程代入圆锥曲线，由韦达定理求中点，从而求出斜率得直线方程．此法运算量大，特别带参数时运算更繁，下面给出较简单的方法及证明．二、引理...     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

一道圆方程问题的解答与拓展探究

<正>圆的方程是高中数学的核心知识,在考试中经常与直线方程一同出现,形式灵活多样．如何解决已知直线与圆相交求圆方程的问题呢?下面对一道期末试题展开分析．1问题再现(2020届山东省滨州市高三上期末)在平面直角坐标系xO y中,A为直线l:y=3x上在第三象限内的点,B(-10,0),以线段AB为直径的圆C(C为圆心)与直线l相交于另一个点D,AB⊥CD,则圆C的标准方程为．     

有心圆锥曲线上四点的两种不同形式类西摩松线

根据文[1],直线l及其平行线被有心圆锥曲线L截得弦的中点和曲线L的中心都在同一直线l’上,直线l’叫有心圆锥曲线L关于直线l的共轭直径.有心圆锥曲线中类西摩松线的内容是:在中心为O的圆锥曲线L上任取三点A、B、C,曲线L关于直线BC、CA、AB的共轭直径分别为OD、OE、OF,在曲线L上取异于A、B、C的一点     

一道双曲线习题的探究

<正>以下题目是新课标人教版2-1第二章《圆锥曲线》里面的一道课后习题.一、题目及解答已知双曲线C:x²-y2-y²/2=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是AB线段的中点?解假设过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是AB线段的     

“换点”巧求中点弦

二次曲线的中点弦问题,在各种书刊中,一般都是用韦达定理来求解的。作者在教学实践中,发现了一种更简捷的方法——换点法。下面仅举两例略述如下。例1 已知双曲线x~2/4-y~2=1及点A(3,1),求以A点为中点的弦所在直线的方程。解设弦所在直线与双曲线的一个交点为M_1(x,y),由中点坐标公式,可得另一交点M_2的坐标为(6-x,2-y),因点M_1、M_2都在双曲线上,将它们的坐标公别代入双曲线方程中,得:(2)-(1)并整理得: 3x-4y-5=0 这就是弦所在直线的方程。在上述解法中,巧妙地运用中点坐标公     

例谈利用根与系数关系处理直线与圆锥曲线问题

直线与圆锥曲线的关系是平面解析几何的常见题型之一 ,特别是历年高考试题中 ,常常以直线与圆锥曲线的关系为载体 ,综合函数、不等式、方程及三角函数等知识来考查考生的综合能力 .其涉及面很广 ,解题方法灵活且多变 .本文仅就利用一元二次方程根与系数关系处理这类问题的几种方法作点简介 .1　设参消参图 1例 1　如图 1,过点A(- 1,0 )斜率为 k的直线l与抛物线 C:y2 =4 x交于P、Q两点 .过曲线 C的焦点 F与 P、Q、R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR,求点 R的轨迹方程 .分析　设点 R的坐标为 (x,y) ,直线 a的方程为 y =k(x +1) ,点 P…     

巧用四点共线解一类解析几何题

解析几何是每年高考必考内容之一,直线与圆锥曲线相交的问题更是高考的热点,而利用四点（直线与圆锥曲线相交的两端点A、B,线段AB的中点M,直线经过的某定点N）共线则是解决这类问题的一种十分简洁的方法,下面通过几个具体例子来加以说明。