2005年全国各地高考与模拟数学试题评析——平面向量与复数

1考点与命题1.1客观题考点分析1.1.1平面向量在几何方面的考查,一般是根据几何元素所具有的特性或向量满足某些条件来判定其他几何元素或向量所具有的属性.例1[全国卷Ⅰ(11)]点O是三角形ABC所在平面内一点,满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点O是△ABC的()(A)三个内角平分线的交点.(B)三条边的垂直平分线的交点.(C)三条中线的交点.(D)三条高线的交点.简解由OA·OB=OA·OC OA·(OB-OC)=OA·CB=0,即得选(D).例2[江西卷(6)]已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),|c|=5,若(a+b)·c=52,则a与c的夹角为()(A)30°.(B)60°.(C)120°.(D)150°.简…     

一道几何最值问题的研题历程及思考

笔者对一道几何最值问题进行了一番研究,现将研题的历程及思考呈现如下. 1 问题呈现 如图1,平面直角坐标系中,已知边长为4的正△ABC,点A和B分别在x轴正半轴和第一象限角平分线上滑动,点C在第一象限,求OC的最大值. 2 研题历程 2.1 问题原型 (2009山东潍坊)如图2,已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A,B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连结OC,则OC的长的最大值是_.     

由一道竞赛题谈起

2007年全国高中数学联赛山东赛区预赛第13题出了这样一道题: 若平面上有点A(1,1),B(4,2),C(2,3),则△ABC的内心坐标( ) 此三角形为等腰直角三角形,解法上可以利用向量知识求两个角的平分线,再求交点;也可以利用到角公式求两个角的平分线,再求交点;或者利用角平分线定理及定比分点坐标公式获解.     

重视模型分析 激活解题思路——多视角分析一道几何证明题

在刚刚结束的2016年浙江省中学数学教师高级职称考试中,最后一题是以三角形为载体的几何证明题,题目图形简洁,条件短小精悍,结论优美. 1 问题的提出 试题 如图1,在△ABC中,∠C=60°,∠CAB的平分线AE与∠CBA的平分线BF交于点P.求证:1/PA+1/PB=2/PE+PF.     

诡辩一则--任意三角形均为等腰三角形

命题　如图 1 ,已知△ ABC是任意三角形 ,∠ A的平分线与 BC的垂直平分线交于点 O,则△ ABC是等腰三角形 .证明　如图 1 ,过 O作 OE⊥ AB,OF⊥ AC.∵　 AO为∠ A的平分线 ,∴　 OE =OF,又　 OA =OA,∴　 Rt△ AOE≌ Rt△ AOF.∴　 AE =AF.连结 OB、OC.∵　 O在 BC的垂直平分线上 .∴　 OB =OC.　又　 OE =OF,∴　 Rt△ BOE≌ Rt△ COF.∴　 BE =FC.又　 AE =AF,∴　 AB =AC.故△ ABC为等腰三角形 .诡辩揭密 :我们知道 ,准确作图是欧氏几何的特点之一 ,忽视规范作图是多数人常犯的通病 ,由此而得到错误结论…     

基于三角形的内角平分线问题的求解策略

三角形的角平分线是指三角形的一个角的平分线和对边相交,角的顶点和交点间的线段．这样在解析几何中涉及到与三角形的角平分线的问题常常有求三角形顶点的坐标、内角平分线的长度、内角平分线所在的直线方程、分点的坐标等．上述问题求解常用策略如下：     

三角形的五心初谈(一)

<正>在欧几里得的《几何原本》中,没有三角形五心的概念.对三角形"心"的认识应该说是平面几何认识的深化,是近代人们较为系统的开拓.1对三角形五心的初识人们在几何作图和证明中逐渐发现,三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线、三边的垂直平分线和一个内角的平分线以及另两个外角的平分线都是共点的.我们用极其初等的办法就可以证明.     

三角形重心的向量形式及应用

定理 1　点O是三角形ABC的重心的充要条件是OA→ +OB→ +OC→ =0 .证　必要性 :若O是三角形ABC的重心 ,则OA→ =23(12 CB→ +BA→ ) =13 CB→ +23 BA→ ,OB→ =23(12 AC→ +CB→) =13 AC→ +23 CB→ ,OC→ =23(12 BA→ +AC→ ) =13 BA→ +23 AC→ ,故OA→ +OB→ +OC→ =CB→ +BA→ +AC→ =0充分性 :若OA→ +OB→ +OC→ =0 ,由向量加法原理 ,知过O且与OA→ +OB→ 平行的直线必平分线段AB ,而OA→ +OB→ 与OC→ 是共线的 ,故直线OC平分线段AB .同理 ,可以证明直线OA ,OB分别平分BC ,AC .从而知点O是三角…     

涉及三角形外心线的一类几何不等式

我们知道,三角形中涉及高线、内角平分线、中线等几何元素的几何不等式非常丰富(见[1]).本文通过引入三角形的一个新几何元素-三角形的外心线,并类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的几何不等式,建立了三角形中一类与外心线有关的新的几何不等式.这里,我们给出三角形外心线的定义如下.定义1过三角形的一个顶点和它的外接圆的圆心的直线,与这个顶点的对边或其延长线相交于一点,该顶点与交点间的线段叫做三角形的     

初二几何第一学期期末自测题

A组一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .如果三角形的两条边上的垂直平分线的交点在第三边上 ,那么这个三角形是三角形 .2 .到线段两端点的距离相等的点在 .3 .等边三角形ABC中 ,∠B ,∠C的平分线交于O ,O到点B ,C的距离为 2 3 cm ,则△ABC的周边长为cm ,面积为cm2 .4.如图 1 .∠B =∠C =60°,∠B ,∠C的平分线交于O ,过O点作MN∥BC .若BC =6cm ,则MN= .5 .等腰直角三角形的面积为2cm2 ,则斜边上的高为cm .6.边长为a的等边三角形的面积等于 .7.以 1 0cm为底的等腰三角形 ,腰长x的取值范围是 .8.如图 2 .已知AD∥BC ,则∠ 1 …     

关于三角形外心线的几个不等式

众所周知,三角形中有高线、中线、内角平分线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式([1]),建立了三角形中与外心线有关的几个新的几何不等式.     

当角平分线这个条件出现时

三角形的角平分线是三角形的主要线段之一,它在几何的计算或证明中,起着桥梁的作用,几何问题中,若出现角平分线这一条件,可联想角平分线的特性,利用如下求解策略.     

三角形外角平分线三角形的性质

关于与三角形相关联的三角形 ,诸如垂足三角形、伪垂足三角形、中点三角形、内角三等分线三角形、外角三等分线三角形等等的研究 ,近年来有很多新的结果 .而对三角形外角平分线的交点所构成的三角形 (以下简称“三角形外角平分线三角形”)的研究并不多见 ,本文给出三角形外角平分线三角形的一些性质 ,旨在抛砖引玉 ,使对有关三角形的研究更趋完善 .图 1如图 1 ,△ ABC是一任意三角形 ,△ DEF是其外角平分线三角形 .设△ ABC的面积为△ ,外接圆半径为 R,三内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c;△ DEF的面积为△ 0 ,三内角 D、E、F所…     

数学诡辩一例

求证:任意三角形为等腰三角形.已知:在△ABC中,求证:AB=AC.证明　如图1,作∠A的平分线AN,再作BC的垂直平分线OH交AN于O,作OE⊥AB,OF⊥AC,垂足分别为E、F,连接OB、OC.∠1=∠2AO=AO∠AEO=∠AFO=90°　△AEO≌△AFO　　AE=AFOE=OFO在BC的垂直平分线上　OB=OC　　　　　1     

对旋转相似变换的探究

<正>1.问题提出(1)试题呈现(2014年山东淄博市中考数学第22题)如图1,在直角坐标系中,点A的坐标是(0,3),点C是x轴上的一个动点,点C在x轴上移动时,始终保持△ACP是等边三角形.当点C移动到点O时,得到等边三角形AOB(此时点P与点B重合).求点C在x轴上移动时,点P所在函数图像的解析式.(此处略去第一问)(2)中考阅卷参考答案解点P在过点B且与AB垂直的直线上.∵△AOB是等边三角形,A(0,3),     

三角形中一类新的几何不等式

众所周知,三角形中有高线、内角平分线、中线等几何元素.本文将给出与这些几何元素平行的一个新概念——三角形的外心线,并通过类比三角形中与高线、中线、内角平分线相关的不等式,建立三角形中一类与外心线有关的新的几何     

直击两道反比例函数中考题

<正>反比例函数问题,常含有几何图形背景,解法灵活多样.既要挖掘相应的几何内涵,又须利用函数图像上点满足函数解析式的值相等.现举例加以说明,供参考.一、与等边三角形相关联问题.例1(2014年武汉市)如图1,若双曲线y=k x与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点,且OC=3BD,则实数k的值为.     

平面直角坐标系中求三角形面积

<正>在学习函数及其图像时,图像上的点和平面直角坐标系中其它的一些点可构成一些三角形,而求这些三角形的面积是中考中常出现的题型.现在就举例剖析一下这些三角形面积的求法.大背景:已知二次函数y=x2-2x-3的图像(如图1),求(1)对称轴,(2)顶点D的坐标,(3)与y轴交点C的坐标,(4)与x轴的交点A、B的坐标.这是二次函数的基础知识,很容易求得:(1)对称轴x=1,(2)顶点坐标D(1,-4),(3)与y轴交点的坐标C(0,-3),(4)与x轴的交点的坐标A(-1,0)、B(3,0).一、巧用坐标轴解决面积问题1.以x轴上的线段为底图1问题1如图1,在背景问题的基础上求△ABC的面积.解∵点A、B都在x轴上,∴求△ABC的面积要以AB为底,S△ABC=12|AB|·|CO|=12×4×3=6.     

角平分线的向量特征及其应用举例

在高中数学新课程中,向量的工具作用被明显突出.向量具有代数与几何的双重属性,是数形结合的典型案例,同时也是高考命题的一大热点.引入向量,为解决数学问题提供了一种新的思维方式,使一些原本解决方法较为繁琐的问题解决起来变得更为快捷轻松.本文谈角平分线问题的向量求解视角,并举例说明.定理1若OC是∠AOB的平分线,则向量→OA/→OA｜＋→OB/→OB｜是直线OC的一个方向向量.     

利用角平分线的对称性解题

<正>角平分线是初中平面几何的重要概念之一,是初中几何题目中的"常客",如何挖掘角平分线的内在性质,往往成为解题的关键.本文就如何利用角平分线的对称性转移条件解题,谈谈自己的一点认识.原理角是一个轴对称图形,对称轴是角平分线所在的直线.操作角的角平分线一侧的图形元素(点、线段、三角形等),在角平分线的另一侧必有与之对应重合的部分.在图中找出,或在图中补出,实现题目条件的转移和转化,从而解