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文[1]由二次函数的两点式导出了二次函数图象的一个几何性质,巧妙的探讨了抛物线弓形面积问题,本文换种思路给出这一几何性质的证明,并用它证明抛物线的一组性质,较常规解法显得既新颖又美妙.定理直线l与抛物线y=ax2(a>0)交于点A,B,点P在抛物线上,点C在直线AB上,PC//y轴,点A,B到直线PC的距离分别为,直线l的倾斜角为θ,斜率为k,则PC=amn=acos2θ·AC·CB=a/1+k2·AC·CB. 相似文献
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众所周知,在二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)中,二次项系数a的符号,判别式△=b~2-4ac的符号及它的值域间有着互相制约的特性,这种特性在解题过程中有着极为广泛的应用。现举两例,供参考。例1 设A十B十C=π,且x,y,z∈r.求证x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2yzcosB 2zxcasA。分析:运用求差法,选定x为自变量可构造一个二次函数,显然a=1>0,再计算并△判定即可。解∵F(x)=x~2 y~2 z~2-2xycosC-2yzcosB-2zxcosA 相似文献
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二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质可从二次函数的图像中由二次项系数a、判别式△、函数y三者之间的内在联系而得到: (1)若a>0且△=b2-4ac≤0.则y=ax2+bx+c≥0; (2)若a<0且△=b2-4ac≤0,则y=ax2+bx+c≤0. 应用上述性质(1)、(2)去证明一元二次不 相似文献
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二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的性质,在证明不等式中有着广泛的应用。尤其是对一些较难的不等式,如运用恰当,则思路简捷,功效独特,现举例介绍如下。一、证明代数不等式例1 已知a,b,c,d,e是满足a b c d e=8,a~2 b~2 c~2 d~2 e~2=16的实数,试确定e的最大值(美国第7届中学数学竟赛 相似文献
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文[1]给出了三角形的一个简捷的性质:
已知ΔABC及其内部一点P,若λ1PA+λ2PB+λ3 PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1:λ2:λ3. 相似文献
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文[1]给出了三角形的一个简捷的性质:已知ΔABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,则△PBC,△PAC,△PAB的面积之比为λ1:λ2:λ3.对这一结论,我们给出一个证明并适当拓广:1性质证明图1三角形证明:建立如图1所示的直角坐标系,设A(a,0),B(bcosα,b 相似文献
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文[1]给出了圆锥曲线的一个新性质:性质已知直线l是圆锥曲线Γ的焦点F对应的准线,过l上一点P作曲线Γ两条切线PA,PB,A,B为切点,过PF的中点D且平行于直线l的直线l’与PA,PB分别交于点M,N,记△AFM,△PMN, 相似文献
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贵刊1982年第2期刊有曹中承的“反正切函数的一个性质”(以下简称〈曹文〉)和1983.1刊有江壁奎的“关于反正切函数的一个性质”(以下简用〈江文〉),二文提出关于反正切函数的一个性质和应用该性质求反正切函数值问题。实际应 相似文献
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一、利用“性胶”求扭值. 例1求x〔〔0.,l〕s月,/(二),x“+(2一6a)x+sa,的最小位,刀将得到的最小值看作是。的函数g(。).洲出它的图象. 解厂整理:/(二)盖〔,一(3a一1)〕’一6a“+6a一1. 设j(x)在x〔〔。,幻内鼓小值为夕.”势“3一<。,“·:·泣{J·<{.在。(二、1讨、,f(二)是增区数(图l)…g二f(0)=3。“2’)当:、,a一<,,尽},;‘·<:竹寸.口J、二工一3。一1时j(x)最刁、(图2),所以夕=f(3。一l)二一6。“+〔a气l3‘)当s。一J):。JJ。);时,在。《二<,;”:j、,) O是减函数(图3).所以g=l(l)=3。“一助+3二:(。一l)“ l龙{此得 3(。一)2g(a)=一… 相似文献
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若能对二次函数性质进行全面的认识,在解决与二次函数相关的问题,如函数值域、求解析式、一元二次方程根的限制条件等问题中,将会带来方便,或可避免繁杂的讨论.1注意转化为M次函数极值问题在解析几何或立体、三角中,往往遇到求在某一条件g(x,y)=0限制下的函数极值,这类极值可通过转化或变量替换化为二次函数极值.。,,。。_。Z;4_。。_。。。例IA为椭圆名十公一l上一点,B为圆(X一1)‘+/=1上任一点,求AB的最大值和最小值.解该题若设出A、B两点坐标,求DAB的最大、最小值较为困难.苦转化为到圆JI”、厂的昙十… 相似文献
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作为|a|+|b|≥|a+b|的应用,不等式|a|1+|a|+|b|1+|b|≥|a+b|1+|a+b|的证明是大家熟知的;事实上,它可推广成:|a|1+|a|+|b|1+|b|+|c|1+|c|≥|a+b+c|1+|a+b+c|;利用f(x)=x1+x在(0,+∞)上是增函数及|a|+|b|≥|a+b|不难给其证明,从略;通过类比,有以下重要结论:定理 若|a|<1,|b|<1,|c|<1,则(1)|a|1-|a|+|b|1-|b|+|c|1-|c|≥|a+b+c|1-13|a+b+c|;若|… 相似文献
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关于圆锥曲线的一个性质的证明 总被引:1,自引:0,他引:1
《上海中学数学》2000年第1期姜坤崇同志的《关于圆锥曲线的一个性质》(1)拜读之余思考是否存在更简单的证明?原文的命题应可归为如下两个命题: 相似文献
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二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0),经过配方整理后得: y=a(x+b/2a)~2+(4ac-b~2)/4a 这个公式叫二次函数的极值公式。把这个公式稍加变形得: y=a〔(x+(b/2a))~2+(4ac~2-b~2)/4a~2〕=a〔(x+(b/2a))~2-(b~2-4ac)/4a~2〕。这个变形后的公式,不仅可以求二次函数的极大值或极小值,而且还可以用来求抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)在x轴上所截得的线段的长度。定理:设抛物线y=ax~2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x_1,0)、B(x_2,0),(x_1≠x_2)则抛物线在x轴上所截得的线段长为: 相似文献
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在《圆和二次方程》一书中,给出了任何一组勾股数组a、b、c都可由公式a=m~2-n~2,b=2m~n,c=m~2+n~2表示(这里m、n-奇-偶,m>n,m、n均为自然数),同时指出“abc一定能被60整除”,因为它的证明“已经超出你们的知识范围,这里就不谈了”。为此,笔者给出一种浅显的证明。下面先证两个引理。引理1。任何自然数p若不能被3整除,则p~2-1能被3整除。证明:因为任何不能被3整除的自然数p均可表示勾:p=3k±1(这里k为自然数)而p~2=(3k±1)~2=9k~2±6k+1=3(3k~2±2k)+1,所以p~2-1能被3整除。引理2.任何自然数q若不能被5整除,则q~4-1能被5整除。证明:因为任何不能被5整除的自然数q可表示为q=5l±1,或q=5l±2 (这里l为自然数) 而当q=5l±1时,q-1或q+1能被5整除;当q=5l±2时,q~2=(5l±2)~2 相似文献